Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2017-12-10 | 203 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Тишин В. И.
Основные методы
решения
тригонометрических
Уравнений
Г.
Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем.
Года
Содержание
Тригонометрические уравнения. 4
1. Метод разложения на множители. 4
Задание 1. 18
2. Метод замены переменных и сведение к алгебраическим уравнениям 18
2.1. Применение формул двойного и половинного аргумента. 21
2.2. Применение формул приведения. 26
Задание 2. 30
3. Уравнения, однородные относительно и ....... 31
3.1. Применение формул приведения. 34
Задание 3. 37
Задание 4. 40
4. Метод замены переменных. 41
4.1. Замена . 41
Задание 5. 45
4.2. Замена ............ 45
4.3. Случаи, когда в уравнении не содержится ........ 47
4.4. Случаи, когда аргументы кратны 2x и x. 49
Задание 6. 51
4.5. Замена . Универсальная тригонометрическая подстановка 51
Задание 7. 58
5. Метод оценки левой и правой частей уравнения. 59
Задание 8. 63
6. Введение вспомогательного аргумента. 64
Задание 9. 67
7. Системы тригонометрических уравнений. 68
Задание 10. 70
Задание 11. 72
Ответы.. 73
К заданию 1. 73
К заданию 2. 73
К заданию 3. 73
К заданию 5. 73
К заданию 6. 74
К заданию 7. 74
К заданию 9. 74
Тригонометрические уравнения
Метод разложения на множители
Пример 1. Решите уравнение .
Решение
Преобразуем уравнение. Применим формулу:
.
Получим уравнение: .
Это уравнение решим разложением на множители: .
Получим совокупность уравнений:
.
Ответ: .
Пример 2. Решите уравнение
Решение
Преобразуем уравнение:
- решений не имеет.
Ответ: .
Пример 3. Решите уравнение
Решение
Преобразуем уравнение. Применим формулы:
|
и .
Получим уравнение:
.
Получим совокупность двух уравнений:
(1) и (2) .
Уравнение (1) является однородным. В нем . В самом деле, если допустить противное, т. е., что , тогда, подставив его в уравнение (1), найдем, что и , что невозможно при одних и тех же значениях аргумента (в частности, не будет выполняться основное тригонометрическое тождество ). Итак, .
Разделим обе части уравнения (1) на , получим .
Решим второе уравнение:
.
Ответ: , .
Пример 4. Решите уравнение .
Решение
Преобразуем уравнение.
Уравнение примет вид:
.
Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:
Объединим полученные решения, если это возможно. Попробуем выработать общие принципы для объединения нескольких решений в одно.
Объединим два последних решения в одно: - это значит, что при четных значениях k из множества корней получаются корни , значит, являются общими решениями двух последних решений.
Далее, найдем общие решения .
, т. е. при нечетных значениях n из первого множества корней получаются корни , следовательно, - являются общими решениями трех полученных результатов.
Ответ: .
Пример 5. Решите уравнение .
Решение
Преобразуем уравнение
Ответ:
Пример 6. Решите уравнение
Решение
Преобразуем уравнение, для этого прибавим к левой части уравнения и вычтем, чтобы выражение не изменилось, произведение тогда уравнение примет вид
- это уравнение не имеет решений, так как
Ответ: .
Пример 7. Решите уравнение .
Решение
I-й способ
Левая часть этого уравнения представляет собой однородное выражение относительно и . Уравнение было бы однородным, если бы в правой части уравнения был нуль.
Для преобразования уравнения в однородное, правую часть представим в виде: .
, а затем все перенесем в левую часть и приведем подобные слагаемые:
II-й способ
Преобразуем уравнение. Перенесем 25 из правой части в левую и сгруппируем с первым членом, получим:
|
.
Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
Решая первое уравнение, находим: .
Второе уравнение является однородным первой степени,
Если допустить, что тогда подставив это значение в уравнение, получаем: . Но одновременно и не могут равняться нулю. Итак, Разделим на него обе части уравнения, получим:
Ответ: ,
Пример 8. Решите уравнение
Решение
Область допустимых значений переменной: .
Преобразуем уравнение:
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
Решение
Преобразуем разность синусов в произведение, получим
С учетом этого преобразования, уравнение примет вид
Ответ:
Пример 10. Решить уравнение
Решение
Преобразуем уравнение:
Получим совокупность уравнений:
Ответ:
Пример 11. Решить уравнение .
Решение
Преобразуем уравнение, используя формулу , получим:
.
Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:
Ответ:
Пример 12. Решить уравнение
Решение
Преобразуем уравнение:
Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:
Второе уравнение совокупности решений не имеет, поскольку
Первое уравнение решим как однородное. Разделим обе его части на в противном случае, из уравнения, получим, что и что невозможно). В результате деления на , приходим к уравнению:
Ответ:
Пример 13. Решите уравнение .
Решение
Преобразуем уравнение:
.
Это уравнение равносильно совокупности уравнений:
Ответ:
Пример 14. Решить уравнение .
Решение
Преобразуем уравнение: . Применим тождество преобразования суммы синусов в произведение: .
Учитывая, что cosx функция четная, получим: .
Уравнение примет вид: .
Это уравнение равносильно совокупности уравнений:
.
Ответ: .
Пример 15. Решите уравнение .
Решение
Преобразуем уравнение, применяя тождество понижения порядка
, получим:
Ответ:
Пример 16. Решите уравнение
.
Решение
Преобразуем произведение функций в сумму, получим
Ответ:
Пример 17. Решите уравнение
.
Решение
Преобразуем уравнение, применяя формулы приведения:
|
.
Ответ: .
Пример 18. Решите уравнение
Решение
Область допустимых значений:
Преобразуем уравнение, заменив 1 на и преобразуя разность синусов, в правой части уравнения, в произведение. Тангенс, заменим на частное от деления синуса на косинус.
Отсюда находим
Задание 1
Решите уравнения
27. . 28. .
29. .
30. 31. .
32. 33. .
34. . 35. .
36. . 37. .
Задание 2
Решите уравнения.
58. . 59. .
60. . 61. .
62. . 63. .
64. . 65. .
66. . 67. .
68. . 69. .
70. .
71. . 72. .
73. . 74. .
75.
3. Уравнения, однородные относительно и
Определение. Рассмотрим уравнение вида
где - действительные числа. В каждом слагаемом левой части уравнения (1) степени одночленов равны n, т. е. сумма степеней синуса и косинуса одна и та же и равна n. Такое уравнение называется однородным относительно и , а число n называется показателем однородности.
Ясно, что если , то уравнение примет вид:
решениями которого являются значения x, при которых , т. е. числа . Второе уравнение, записанное в скобках также является однородным, но степени на 1 ниже.
Если же , то эти числа не являются корнями уравнения (1).
При получим: , и левая часть уравнения (1) принимает значение .
Итак, при , и , поэтому можно разделить обе части уравнения на . В результате получаем уравнение:
которое, подстановкой легко сводится к алгебраическому:
.
1. Однородные уравнения с показателем однородности 1. При имеем уравнение .
Если , то это уравнение равносильно уравнению , ,
откуда .
Пример 76. Решите уравнение .
Решение
Это уравнение однородное первой степени . Разделим обе его части на получим: .
Ответ: .
Пример 77. При получим однородное уравнение вида
.
Решение
Если , тогда разделим обе части уравнения на , получим уравнение , которое подстановкой легко приводится к квадратному: . Если , то уравнение имеет действительные корни . Исходное уравнение будет иметь две группы решений: .
Если , то уравнение не имеет решений.
Пример 78. Решите уравнение .
Решение
Это уравнение однородное второй степени. Разделим обе чести уравнения на , получим: . Пусть , тогда , , . .
|
Ответ: .
3. К уравнению вида (1) сводится уравнение
Для этого достаточно воспользоваться тождеством
В частности, уравнение сводится к однородному, если заменить d на , тогда получим равносильное уравнение:
.
Пример 79. Решите уравнение .
Решение
Преобразуем уравнение к однородному:
.
Разделим обе части уравнения на , получим уравнение:
. Пусть , тогда приходим к квадратному уравнению: .
.
Ответ: .
Пример 80. Решите уравнение .
Решение
Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что они имеют положительные значения: ,
.
Пусть , тогда получим .
.
Ответ: .
Пример 81. Решите уравнение .
Решение
Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что они имеют положительные значения: ,
.
Получили однородное уравнение: .
Пусть ,
,
.
Ответ: , .
I-й способ
Преобразуем уравнение, используя формулы приведения, получим:
Получим совокупность уравнений:
Ответ:
II-й способ
Применим формулы приведения:
- это однородное уравнение второй степени, .
Разделим обе части уравнения на , .
Пусть tgx = t, тогда получим: .
, .
Ответ: ; .
Пример 84. Решить уравнение .
Решение
Преобразуем уравнение к однородному:
Полученное уравнение - однородное. Разделим обе части этого уравнения на (, ибо, в противном случае, из уравнения следует, что и , что невозможно, так как тогда не будет выполняться основное тригонометрическое тождество ). В результате деления на , получим: .
Положим , получим
Ответ:
Пример 85. Решить уравнение .
Решение
Это уравнение не является однородным. Перепишем его иначе:
. Умножим левую часть уравнения на 1, а точнее на её значение . После приведения подобных слагаемых имеем:
. Это однородное уравнение третьей степени относительно sinx и cosx, . Если cosx = 0, то из уравнения следует sinx=0, что невозможно.
Разделим обе части уравнения на , получим: .
Положим tgx = y, получим . Нетрудно заметить, что y = -1 является корнем уравнения. Разделим левую часть на y + 1, получим:
Уравнение примет вид: .
Уравнение не имеет корней, так как дискриминант трехчлена отрицателен. .
Ответ:
Пример 86. Решить уравнение .
Решение
I-й способ
Преобразуем уравнение:
;
- решений не имеет.
Ответ: .
II-й способ
Преобразуем уравнение: . Умножим левую часть уравнения на , получим: .
После приведения подобных слагаемых получим однородное уравнение третьей степени относительно sinx и cosx: , .
Разделим обе части уравнения на , получим: .
Пусть tgx = y, тогда - не имеет корней.
.
Ответ: .
|
Пример 87. Решить уравнение .
Решение
Преобразуем уравнение: ,
,
Умножим левую часть уравнения на , получим:
,
,
Последнее уравнение - однородное четвертой степени относительно sinx и cosx.
. Если допустить, что cosx = 0, тогда из уравнения следует sinx = 0, что невозможно. Разделим обе части уравнения на , .
Пусть , получим квадратное уравнение: ,
. - не удовлетворяет условию и является посторонним корнем.
Ответ: .
Задание 3
88. . 8 9. .
90. . 91. .
92. . 93. .
94. . 95. .
96. .
97. . 98. .
99. . 100. .
101. .
102. .
103. . 104. .
4. Для преобразования уравнений было использовано основное тригонометрическое тождество . Это тождество не только позволяет сводить некоторые уравнения к однородным, но и в некоторых случаях дает возможность найти более простые решения таких уравнений. Для этой цели используются тождества, получаемые с помощью основного тригонометрического тождества.
,
отсюда находим .
Далее,
.
Преобразуем сумму , используя формулу (4).
.
Выше приведенные формулы очень часто используются при решении тригонометрических уравнений, и не только однородных.
Пример 105. Решите уравнение
.
Решение
Преобразуем уравнение, используя формулу (4): , получим уравнение: .
Пусть приходим к квадратному уравнению:
,
Ответ: .
Пример 106. Решите уравнение
.
Решение
Преобразуем уравнение, используя формулу (4): , получим уравнение: ,
,
.
Уравнение 2 - sin2x = 0, sin2x = 2 не имеет решений.
Ответ: .
Пример 107. Решите уравнение .
Решение
Преобразуем уравнение, используя формулу: , получим:
.
Ответ: .
Пример 108. Решите уравнение .
Решение
Преобразуем уравнение, используя формулу: , получим:
.
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!