Связь дирекционного угла с горизонтальными углами. Прямая и обратная геодезические задачи.

Ответ

Когда говорят об измерении углов на местности, то имеют в виду не сами величины углов, образованных в общем случае наклонными направлениями с наблюдаемых пунктов на выбранные пункты (цели, ориентиры), а углы между проекциями этих направлений на горизонтальную плоскость при измерении горизонтальных углов или на вертикальную плоскость при измерении вертикальных углов и углов наклона.

Именно эти углы необходимы для вычисления взаимного положения пунктов А и Б на земной поверхности в определенной системе координат.

Так, если АОВ — угол на местности между наклонными направлениями ОА и ОВ, то его горизонтальная проекция А’ОВ’ получится в результате проецирования точек А и В на горизонтальную плоскость (точки А’ и В’). Мерой этого угла будет линейный угол β, называемый горизонтальным углом.

Для получения превышений между пунктами на земной поверхности АОВ проецируется на вертикальную плоскость (точки А» и В). Полученный угол x называется вертикальным углом.

Угол в вертикальной плоскости, образованный горизонтальной плоскостью, проходящей через точку О, и направлением на какой-либо объект, называется углом наклона. На рис.2.14 показаны два угла наклона:

- для направления ОА - γА;

- для направления ОВ - γВ.

Переход от дирекционного угла одного направления к дирекционному углу другого направления

От дирекционного угла одного направления к дирекционному углу другого направления, исходящих из одной и той же точки, переходят при вычислениях теодолитных (буссольных) ходов, прямых и обратных засечек, определении дирекционного угла продольной оси топопривязчика (машины), а также при выполнении графических построений и измерений на карте (планшете).

Пусть с точки А известен дирекционный угол (АС) направления на точку С, и на этой же точке А измерены два горизонтальных угла 1 и 2.

 

Требуется определить дирекционные углы (АВ) и (АD) с точки А на точки В и D, которые называют соответственно левым и правым относительно биссектрисы измеренного угла.

 

дирекционному углу другого направления

 

(АD) = (АС) +2,

 

дирекционный угол левого направления

 

(АВ) = (АС) — 1.

На этом основании можно сформулировать следующие правила вычисления дирекционных углов:

1. Дирекционный угол правого направления равен дирекционному углу левого направления плюс горизонтальный угол между ними. Если полученная сумма будет больше 360о (60-00), то из нее вычитают 360о (60-00).

2. Дирекционный угол левого направления равен дирекционному углу правого направления минус горизонтальный угол между ними. Если исходный дирекционный угол меньше значения горизонтального угла, то к нему прибавляют 360о (60-00).

 

Пример 2.4

Известен дирекционный угол

(АD) = 282о35‘46«

и измерены углы: 1 = 102о15’42″;

2 = 85о12’32″; 3 = 172о31’46″.

Вычислить дирекционные углы (АВ) и (АС)

Решение

Каждый из определяемых дирекционных углов может быть вычислен через дирекционный угол (АD) двумя способами.

Первый способ:

1. (АВ) = (АD) + 1.

(АВ) = 282о35’46″ + 102о15’42″ = 384о51’28″ = 24о51’28″.

2. (АВ) = (АD) — (2 + 3).

(АВ) = 282о35’46″ — (172о31’46″ + 85о12’32″) = 24о51’28″.

Второй способ:

1. (АC) = (АD) + 3.

 

(АC) =282о35’46″ — 172о31’46″ = 110о04’00″.

АC) = (АD) + 1 + 2.

(АC) = 282о35’46″ + 102о15’42″ + 85о12’32″ = 470о04’00″.

(АC) = 470о04’00″ — 360о00’00″ = 110о04’00″.

Рассмотренные правила можно заменить одним, если измерять горизонтальные углы по ходу часовой стрелки от направления, дирекционный угол которого известен, до определяемого направления.

В этом случае дирекционный угол определяемого направления будет равен дирекционному углу известного (исходного) направления плюс измеренный горизонтальный угол.

Рассмотрим порядок определения дирекционных углов сторон треугольника (АВ) и (АС).

В треугольнике АВС измерены углы1, 2, 3. Известен дирекционный угол стороны (АС). Вычислить дирекционные углы (АВ) и (ВС).

Вычислим дирекционный угол (АВ):

(АВ) = (АС) + 1.

Дирекционный угол (ВА) отличается от дирекционного угла (АВ) на 180о. От дирекционного угла (ВА) переходим к дирекционному углу (ВС): (ВС) = (ВА) +2.

Для контроля вычисления определяем дирекционные углы (СА) и (АС)выч через дирекционный угол (СВ):

(СВ) = (ВС) + 180о;

(СА) = (СВ) +3;

(АС)выч= (СА) + 180о.

Вычисленный дирекционный угол (АС)выч и дирекционный угол (АС) заданный вид должны совпадать. В этом случае можно утверждать, что вычисления выполнены верно.

Рассмотренные правила и формулы вычисления дирекционных углов ориентирных направлений применимы и для определения истинных или магнитных азимутов этих же направлений в градусной мере и в делениях угломера.

Пример 2.5

Известны:

- дирекционный угол (АВ) = 83о54’12″;

- угол 1 = 115о6’30″.

Вычислить дирекционный угол (ВС).

Решение

(BC) = (AB) + 180о — 115о6’30″ = 83о54’12″ + 180о — 115о6’30″ = 148о47’42″.

Определение величины горизонтального угла по дирекционным углам направлений, составляющих этот угол

Определение горизонтального угла по дирекционным углам ориентирных направлений, составляющих этот угол, выполняется при решении прямой, обратной и комбинированной засечек; при определении угломеров для ориентирования орудий или основных отсчетов для ориентирования приборов, а также для проведения контроля ориентирования путем определения дирекционных углов двух ориентирных направлений разными способами или разными приборами.

Пусть с точки Р определены дирекционные углы направлений на точки А, В и С, т.е. (РА), (РВ) и (РС). Требуется вычислить горизонтальные углы: 1, 2, 3.

Из рис.2.19 видно, что дирекционный угол (РВ) больше дирекционного угла (РА) на величину горизонтального угла 1, следовательно:

1 = (РВ) — (РА).

Аналогично 2 = (РС) — (РВ);

3 = (РА) — (РС).

На основе полученных равенств можно сформулировать правило определения величины горизонтального угла.

Горизонтальный угол между двумя направлениями равен разности дирекционных углов правого и левого направлений, образующих этот угол.

Если значение дирекционного угла правого направления окажется меньше дирекционного угла левого направления, то к первому прибавляют 360о (60-00).

Правое и левое направления оцениваются относительно биссектрисы определяемого угла. Направления РА и РВ будут соответственно левым и правым относительно биссектрисы 1, а РВ и РС — относительно биссектрисы 2.

Помимо этого, сумма вычисленных углов (практическая) должна быть равна теоретической сумме углов.

Пример 2.6

Вычислить горизонтальные углы 1, 2, 3 между ориентирными направлениями на точки А, В, С, если дирекционные углы их имеют следующие значения:

(РА) = 102о 12,6′;

(РВ) = 194о 48,8′;

(РС) = 308о 26,6′.

Решение

 

Для угла 1 правым является направление РВ, а левым — РА, тогда

1 = (РВ) — (РА) = 194о48,8′ — 102о12,6′ = 92о36,2′.

Для угла 2 правым является направление РС, а левым — РВ, следовательно,

2 = (РС) — (РВ) = 308о26,6′ — 194о48,8′ = 113о37,8′.

Для угла 3 правым является направление РА, а левым — РС, но (РА) < (РС), тогда

3 = [(РА) + 360о00,0'] — (РС) = 102о 12,6′ + 360о00,0′ — 308о26,6′ = 153о46,0′.

В данном случае сумма вычисленных углов 1, 2, 3 должна быть равна теоретической сумме, т.е. 360о:

1 + 2 + 3 = 92036,2‘ + 113о37,8‘ + 153о46,0‘ = 360о.

 

Геодезическая задача

Геодезическая задача – математического вида задача, связанная с определением взаимного положения точек земной поверхности и подразделяется на прямую и обратную задачу.

Прямой геодезической задачей (ПГЗ) называют вычисление геодезических координат - широты и долготы некоторой точки, лежащей на земном эллипсоиде, по координатам другой точки и по известным длине и дирекционному углу данного направления, соединяющей эти точки.

Обратная геодезическая задача (ОГЗ) заключается в определении по геодезическим координатам двух точек на земном эллипсоиде длины и дирекционного угла направления между этими точками.

В зависимости от длины геодезической линии, соединяющей рассматриваемые точки, применяются различные методы и формулы, разработанные в геодезии. По размерам принятого земного эллипсоида (см. Эллипсоид Красовского) составляются таблицы, облегчающие решение геодезических задач и рассчитанные на использование определённой системы формул.

Для определения координат точки в прямой геодезической задаче обычно применяют формулы:

1) нахождения приращений:

2) нахождения координат:

В обратной геодезической задаче находят дирекционный угол и расстояние:

 

1) вычисляют румб по формуле:

2) находят дирекционный угол в зависимости от четверти угла:четверти: Первая четверть Вторая четверть Третья четверть Четвертая четверть

знак приращения +X, +Y -X, +Y -X, -Y +X, -Y

диреционныйугол a = r a = 180 - r a = 180 + r a = 360 - r

3) определяют расстояние между точками:

Геодезическая задача в том и другом виде возникает при обработке полигонометрии и триангуляции, а также во всех тех случаях, когда необходимо определить взаимное положение двух точек по длине и направлению соединяющей их линии или же расстояние и направление между этими точками по их геодезическим координатам. В ряде случаев геодезические задачи решают в пространственных прямоугольных координатах по формулам аналитической геометрии в пространстве. В этих случаях вместо длины и дирекционного угла, соединяющей две точки, используют длину и пространственные компоненты направления прямой линии между этими точками.