Часть 1. Исследование статистических функций

При статических исследованиях широко используются специальные функции законы нормального распределения, распределений хи-квадрат, Стьюдента и Фишера. Получим графики этих функций и исследуем их свойства.

 

Функция плотности нормального распределения имеет вид:

Она зависит от двух параметров m и s,

которые имеют смысл математического ожидания и среднего квадратического отклонения. Построим график этой функции и исследуем

влияние параметров m и s на него.

 

Запускаем программу EXCEL и задаем значения параметров m и s.

Пусть, например, m= 3 и s=1. Для этого в ячейки А1 и А2 первого

листа вводим подписи «m=» и «sig=» (кавычки здесь и далее вводить

не надо), а в соседние В1 и В2 вводим значения 3 и 1. Для построения

графика протабулируем в столбцах С и D функцию плотности нор-

мального распределения на отрезке (0;6) с шагом 0,2. Для этого вво-

дим в С1 подпись «Х=», а в D1 подпись «f=». Вводим в С2 значение 0,

в С3 значение 0,2, обводим, выделяя, ячейки С2 и С3 и захватив за

нижний правый угол рамки вокруг ячеек С2 и С3, перетягиваем его

вниз до ячейки С32, что позволит автоматически занести в столбец

значения от 0 до 6 с шагом 0,2. Ставим курсор в ячейку D2 и вызываем

функцию плотности нормального распределения. Для этого нажимаем

кнопку мастера функций fx выбираем категорию «Статистические» и функцию НОРМРАСП (NORMDIST).

рис.1.1

 

Появляется окно, показанное на рисунке рис.1.1.

Вводим ссылкой на переменную Х: «С2» (для ввода ссылки

достаточно щелкнуть мышью по ячейке с данной адресацией), ссылкой

на m и s - «$B$1» и «$B$2». Эти ссылки абсолютные, т.к. ячейки со

значениями m и s всегда В1 и В2, поэтому пишется знак $ (чтобы быстро относительную ссылку сделать абсолютной в EXCEL нужно после ввода

ссылки нажать F4(в CALC:SHIFT+F4)

Строим график по данным. Ставим курсор в любой свободной

ячейке. Вызываем мастер диаграмм выбрав пункты меню

ВСТАВКА/ДИАГРАММА. Выбираем тип диаграммы «График» и вид

– левый график в верхнем ряду, нажимаем «Далее». Ставим курсор в

поле «Диапазон» и обводим курсором ячейки D2-D32, переходим на

закладку «Ряд», ставим курсор в поле «Подписи оси Х» и обводим

диапазон данных С2-С32, нажимаем «Готово». Получаем график

плотности нормального распределения.

 

Исследуем, как влияют параметры на вид графика. Для этого

изменяем в ячейке В1 значение 3 на значение 4, нажимаем Enter. Ви-

дим, что график сместился вправо, изменяем на 2, график сместился

влево. Возвращаем в В1 значение 3, и изменяем в В2 значение 1 на 2.

График растянулся. Изменяем в В2 на 0,5 – график сжался.

 

Делаем вывод: параметр m изменяет положение графика, с увеличением параметра график смещается вправо. Параметр s влияет на ширину графи-

ка, с увеличением параметра график растягивается.

 

Рассмотрим теперь другие виды законов распределений.

1. Распределение хи – квадрат определяется как сумма k не-

зависимых стандартных нормальных величин. Число k называется

числом степеней свободы. Когда k =1 случайная величина равна квад-

рату стандартной нормальной величины. Хи – квадрат распределение

имеет только один параметр – число степеней свободы k, являющийся

целым положительным числом. Функция, возвращающая значение

плотности распределения хи-квадрат находится в категории «Стати-

стические» и называется «ХИ2РАСП (CHIDIST)».

 

Задание 1. Построить график плотности распределения хи-квадрат, протабулировав эту функцию от a до b с шагом h и взяв степень свободы k. Проанализировать зависимость параметра распределения k на график.

(В таблице в верхней строке номера вариантов)

 

a
b
h	0.2	0.2	0.1	0.1	0.1	0.2	0.1	0.1	0.2	0.2	0.2	0.1
k
m
n

 

 

2. t - распределение Стьюдента важно в тех случаях, когда рассматриваются оценки среднего, оценки коэффициентов регрессионного уравнения, оценки параметров временных рядов. t - распределение Стьюдента с единственным параметром k, называемым степенью свободы сосредоточено на всей действительной оси, симметрично относительно начала координат.

Функция, возвращающая значение плотности распределения Стьюдента находится в категории «Статистические» и называется «СТЬЮДРАСП(TDIST)». Функция имеет дополнительный чисто вычислительный параметр «Хвосты», который не связан с распределением Стьюдента, а связан с выводом полученных результатов программой EXCEL. Его всегда задаем равным 1.

 

Задание 2. Построить график плотности распределения Стьюдента, протабулировав эту функцию на отрезке от a до b с шагом h и взяв степень свободы k. Проанализировать зависимость параметра распределения k на график.

 

3. F- распределение Фишера возникает в регрессионном,

дисперсионном, дискриминантном анализе, а также в других видах

многомерного анализа данных. Случайная величина, имеющая F- распределение с парой степеней свободы m и n, определяется как отношение двух независимых случайных величин, имеющих распределение

хи – квадрат со степенями свободы m и n с умножением на нормированный сомножитель n/m. F- распределение сосредоточено на положительной полуоси. Это распределение несимметрично. Функция, возвращающая значение плотности распределения Фишера находится в категории «Статистические» и называется «FРАСП(FDIST)».

Она имеет два параметра m и n, называемых степенями свободы.

 

Задание 3. Построить график плотности распределения Фи-

шера, протабулировав эту функцию на отрезке от a до b с шагом h и

взяв степени свободы m и n. Проанализировать зависимость параметров распределения m и n на график.