Сложение вращений вокруг параллельных осей

 

Рассмотрим случай, когда относительное движение тела является вращением

с угловой скоростью вокруг оси , закрепленной на кривошипе (рис.1а), а переносное – вращением кривошипа вокруг оси , параллельной , с угловой скоростью . Тогда движение тела будет плоскопараллельным по отношению к плоскости, перпендикулярной к осям.

Примем, что вращения направлены в одну сторону. Изобразим сечение тела плоскостью, перпендикулярной осям (рис. 1 б). Следы осей в сечении обозначим буквами и . Тогда и . При этом векторы и параллельны друг другу, перпендикулярны и направлены в разные стороны. Тогда точка является мгновенным центром скоростей , а следовательно, ось , параллельная осям и , является мгновенной осью вращения. Для определения угловой скорости абсолютного вращения тела вокруг оси и положения самой оси, т.е. точки , воспользуемся свойством мгновенного центра скоростей

,

откуда

.

Подставив в эти равенства значения и , окончательно получим

		(1)
		(2)

Итак, при сложении двух направленных в одну сторону вращений вокруг параллельных осей результирующее движение тела будет мгновенным вращением с абсолютной скоростью вокруг мгновенной оси, параллельной данным, положение которой определяется пропорциями (2).

С течением времени мгновенная ось вращения меняет свое положение, описывая цилиндрическую поверхность.

Рассмотрим теперь случай, когда вращения направлены в разные стороны (рис.2).

Допустим, что . Тогда, рассуждая, как в предыдущем случае, для угловой скорости абсолютного движения тела вокруг оси и положения самой оси, получим

		(3)
		(4)

Таким образом, при сложении двух направленных в разные стороны вращений вокруг параллельных осей, результирующее движение тела будет мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью вокруг мгновенной оси, положение которой определяется пропорциями (4).

Заметим, что в этом случае точка делит расстояние между параллельными осями внешним образом.

Рассмотрим частный случай, когда вращения вокруг параллельных осей направлены в разные стороны, но по модулю (рис.3).

Такая совокупность вращений называется парой вращений, а векторы и образуют пару угловых скоростей. В этом случае получим и , то есть = . Тогда мгновенный центр скоростей находится в бесконечности и все точки тела в данный момент времени имеют одинаковые скорости .

Следовательно, результирующее движение тела будет поступательным (или мгновенно поступательным) движением со скоростью, численно равной и направленной перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы и . Таким образом, пара вращений эквивалентна мгновенно поступательному движению со скоростью , равной моменту пары угловых скоростей этих вращений.

Примером пары угловых скоростей является движение велосипедной педали относительно рамы велосипеда (рис.4).

Это движение представляет собой совокупность переносного вращения вместе с кривошипом вокруг оси и относительного вращения педали по отношению к кривошипу вокруг оси . Педаль за все время движения остается параллельной своему первоначальному положению, т.е. совершает поступательное движение.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Кривошип вращается вокруг оси по часовой стрелке с угловой скоростью , а диск радиуса вращается вокруг оси по часовой стрелке с той же угловой скоростью относительно кривошипа. Найти величину и направление абсолютных скоростей точек и (рис.5).

Решение. Так как угловые скорости переносного и относительного вращений равны по модулю и направлены в одну сторону, то мгновенный центр вращений диска лежит посредине между и , т.е. . Модуль абсолютной угловой скорости вращения диска вокруг точки равен . Отсюда находим:

, ,

, .

Пример 2. Кривошип вращается вокруг оси с угловой скоростью . На палец кривошипа свободно насажена шестерня радиуса , сцепленная с неподвижным зубчатым колесом радиуса . Найти абсолютную угловую скорость шестерни и ее угловую скорость относительно кривошипа (рис.6).

Решение. Так как шестерня сцеплена с неподвижным колесом, то абсолютная скорость точки зацепления шестерни с этим колесом равна нулю, т.е. точка является для шестерни мгновенным центром вращения. Отсюда или ,

откуда

.

Заметим, что направление вращения шестерни совпадает с направлением вращения кривошипа.

Тогда абсолютную угловую скорость шестерни находим из равенства

или

.