Определение скоростей и ускорений точек при плоском движении

На рисунке изображен плоский кривошипно-ползунный механизм. Звено ОА вращается вокруг точки О по закону ϕ(t)=π/3t2 радиан. Известны длины звеньев OA и AB. Найти скорость и ускорение точки B, а также угловую скорость и угловое ускорение звена AB в момент времени t=1c. На рисунке изображен механизм в положении, соответствующем моменту времени t=1c. В этот момент времени между звеньями OA и AB прямой угол.

Для определения скорости точки B запишем теорему о скоростях плоской фигуры AB, выбрав за полюс точку А:

v⃗ B=v⃗ A+v⃗ BA. (1)

Скорость точки А определим, зная что эта точка вращается вместе со звеном ОА вокруг точки А:

vA=ωOA=ϕ˙(t)OA

Скорость точки А будет направлена перпендикулярно звену ОА.

В уравнении (1) известно направление скорости точки B: скорость точки B направлена по горизантали. Пусть v⃗ B направлена справа налево, в результате дальнейших вычислений знак в выражении для vB покажет истинное направление скорости v⃗ B. Известно также направление скорости точки B при её движении вокруг полюса А: v⃗ BA⊥AB. Величина этой скорости определяется следующим образом:

vBA=ωABAB,

где ωAB - угловая скорость звена AB. Для определения неизвестных, входящих в векторное уравнение (1) (скорость точки B и угловая скорость ωAB), спроецируем это векторное уравнение на вертикальную и горизонтальную оси. Проекция векторов уравнения на ось x:

vB=vAsinϕ+vBAcosα.

Проекция векторов уравнения на ось x:

 

0=vAcosϕ+vBAsinα.

Из последнего уравнения определяем vBA и угловую скорость звена AB:

 

vBA=−vAcosϕsinα, ωAB=−vAcosϕABsinα.

Знак минус перед выражением для vBA и ωAB говорит о том, что действительное направление угловой скорости звена AB отличается от того что показано на рисунке. Подставляя vBA в первое уравнение, найдем скорость точки B:

vB=vAsinϕ−vAcosϕtanα.

Ускорение точки B определим, используя теорему об ускорениях:

 

a⃗ B=a⃗ A+a⃗ nBA+a⃗ τBA.

Точка A вращается вместе с телом OA с известным угловым ускорением и угловой скоростью. Ускорение точки А будет складываться из вращательного и осестремительного ускорений:

a⃗ A=a⃗ τA+a⃗ nA.

Осестремительное ускорение, направленное к оси вращения, определится следующим образом:

anA=ω2OA=ϕ˙(t)OA

Вращательное ускорение точки А, перпендикулярно ОА и равно:

 

aτA=εOA=ω˙OA=ϕ¨(t)OA

Ускорение точки В, входящее в уравнение (1) направено вдоль оси x. Предположим, что ускорение a⃗ B направлено справа налево. Направления компонент полного ускорение точки B при ее движении вокруг точки А: a⃗ nBA и a⃗ τBA, показаны на рисунке. Зная угловую скорость вращения звена АВ, определим осестремительное ускорение точки В при её движении вокруг полюса (точка А):

anBA=ω2ABAB.

Вращательное ускорение точки В вокруг полюса выражается следующим образом:

aτBA=εABAB.

Спроецируем векторное уравнение на оси x и y. Проекция на ось x:

aB=anAcosϕ+aτAsinϕ+anBAcosα−aτBAsinα.

Проекция на ось y:

 

0=−anAsinϕ+aτAcosϕ+anBAsinα+aτBAcosα.

Из последнего уравнения определяем вращательное ускорение точки В вокруг полюса и угловое ускорение звена АВ:

aτBA=anAsinϕ−aτAcosϕ−anBAsinαcosα, εAB=aτBAAB.

Подставив aτBA, найдем ускорение точки B:

aB=anAcosϕ+aτAsinϕ+anBAcosα−(anAsinϕ−aτAcosϕ−anBAsinα)tanα.

 

53. Мгновенный центр ускорений – точка (Q) плоской фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Для его построения из точки А откладываем под углом к ускорению а_А отрезок , при этом угол откладывается от ускорения в сторону, направления углового ускорения e. Модули ускорений точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям от этих точек до мгн.ц. ускорений, а векторы ускорений составляют с отрезками, соединяющими эти точки и м.ц.у. один и тот же угол : . Мгновенный центр скоростей Р и мгновенный центр ускорений Q являются различными точками плоской фигуры.

Определение ускорений точек тела с помощью М.Ц.У.

 

 

Следовательно, ускорение любой точки тела равно ее ускорению во вращательном движении вокруг мгновенного центра ускорений Q.

 

 

То есть ускорения точек тела пропорционально их расстояниям от мгновенного центра ускорений.