Анализ геометрических высказываний

1. Укажите но­ме­ра верных утверждений.

1) Если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го треугольника, то такие тре­уголь­ни­ки подобны.

2) Вер­ти­каль­ные углы равны.

3) Любая бис­сек­три­са рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его медианой.

 

Решение.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го треугольника, то такие тре­уголь­ни­ки подобны» — верно по при­зна­ку по­до­бия треугольников.

2) «Вертикальные углы равны» — верно, это теорема планиметрии.

3) «Любая бис­сек­три­са рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его медианой» — неверно, это утвер­жде­ние справедливо толь­ко для рав­ностороннего треугольника.

 

Ответ: 12.

Ответ: 12

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1301.

Задание 20 № 93

2. Укажите но­ме­ра вер­ных утверждений.

1) Су­ще­ству­ет квадрат, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся прямоугольником.

2) Если два угла тре­уголь­ни­ка равны, то равны и про­ти­во­ле­жа­щие им стороны.

3) Внут­рен­ние накрест ле­жа­щие углы, об­ра­зо­ван­ные двумя па­рал­лель­ны­ми прямыми и секущей, равны.

 

Решение.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Существует квадрат, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся прямоугольником» — некорректное утверждение, кор­рект­ное — «Существует прямоугольник, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся квадратом».

2) «Если два угла тре­уголь­ни­ка равны, то равны и про­ти­во­ле­жа­щие им стороны» — верно, т. к. треугольник, два угла которого равны является равнобедренным, причём равные стороны лежат напротив равных углов.

3) «Внутренние на­крест лежащие углы, об­ра­зо­ван­ные двумя па­рал­лель­ны­ми прямыми и секущей, равны» — верно, это тео­ре­ма планиметрии.

 

Ответ: 23.

Ответ: 23

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1305.

Задание 20 № 119

3. Укажите но­ме­ра верных утверждений.

1) Бис­сек­три­са равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, про­ти­во­ле­жа­щей основанию, делит ос­но­ва­ние на две рав­ные части.

2) В любом пря­мо­уголь­ни­ке диагонали вза­им­но перпендикулярны.

3) Для точки, ле­жа­щей на окружности, рас­сто­я­ние до цен­тра окружности равно радиусу.

 

Решение.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Биссектриса рав­но­бед­рен­но­го треугольника, проведённая из вершины, про­ти­во­ле­жа­щей основанию, делит ос­но­ва­ние на две рав­ные части» — верно по свой­ству равнобедренного треугольника.

2) «В любом пря­мо­уголь­ни­ке диагонали вза­им­но перпендикулярны» — неверно, это утвер­жде­ние справедливо ис­клю­чи­тель­но для ромба, а не для прямоугольника.

3) «Для точки, ле­жа­щей на окружности, рас­сто­я­ние до цен­тра окружности равно радиусу» — верно, т. к. окруж­ность — мно­же­ство точек, на­хо­дя­щих­ся на за­дан­ном расстоянии от дан­ной точки.

 

Ответ: 13.

Ответ: 13

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1309.

Задание 20 № 145

4. Укажите но­ме­ра верных утверждений.

1) Цен­тры вписанной и опи­сан­ной окружностей рав­но­сто­рон­не­го треугольника совпадают.

2) Су­ще­ству­ет квадрат, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся ромбом.

3) Сумма углов лю­бо­го треугольника равна 180°.

 

Решение.

-------------------

Дублирует 315121

 

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Центры впи­сан­ной и опи­сан­ной окружностей рав­но­сто­рон­не­го треугольника совпадают» — верно, т.к. сов­па­да­ют точки пе­ре­се­че­ния биссектрис и се­ре­дин­ных перпендикуляров этого треугольника.

2) «Существует квадрат, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся ромбом» — неверно; вер­ным будет утверждение: «Существует ромб, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся квадратом».

3) «Сумма углов лю­бо­го треугольника равна 180°» — верно по свой­ству треугольника.

 

Ответ: 13.

Ответ: 13

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1313.

Задание 20 № 171

5. Укажите номера верных утверждений.

1) Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.

2) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

3) В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности.

 

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым» — неверно, т. к. смежные углы в сумме составляют 180°.

2) «Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны» — верно, т. к. квадрат — частный случай ромба.

3) «В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности» — верно, т. к. окружность — это множество точек, находящихся на заданном расстоянии от данной точки.

 

Ответ: 23.

Ответ: 23

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1317.

Задание 20 № 197

6. Укажите но­ме­ра верных утверждений.

1) Если три сто­ро­ны одного тре­уголь­ни­ка пропорциональны трём сто­ро­нам другого треугольника, то тре­уголь­ни­ки подобны.

2) Сумма смеж­ных углов равна 180°.

3) Любая вы­со­та равнобедренного тре­уголь­ни­ка является его биссектрисой

Решение.

Проверим каж­дое из утверждений.

 

1) «Если три сто­ро­ны одного тре­уголь­ни­ка пропорциональны трём сто­ро­нам другого треугольника, то тре­уголь­ни­ки подобны» — верно, по пер­во­му признаку по­до­бия треугольников.

2) «Сумма смеж­ных углов равна 180°» — верно по свой­ству смежных углов.

3) «Любая вы­со­та равнобедренного тре­уголь­ни­ка является его биссектрисой» — неверно, это утвер­жде­ние справедливо толь­ко для рав­но­сто­рон­не­го треугольника.

 

Ответ: 12.

Ответ: 12

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1303.

Задание 20 № 169915

7. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°.

2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку.

3) Через любые три точки проходит ровно одна прямая.

4) Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1.

 

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°» — верно, по теореме о вертикальных углах.

2) «Любые две прямые имеют ровно одну общую точку» — неверно, утверждение справедливо только для пересекающихся прямых.

3) «Через любые три точки проходит ровно одна прямая» — неверно, не всегда через три точки можно провести одну прямую.

4) «Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1.» — неверно, перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

Задание 20 № 169916

8. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.

2) Любые две прямые имеют не менее одной общей точки.

3) Через любую точку проходит более одной прямой.

4) Любые три прямые имеют не менее одной общей точки.

 

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.» — верно, так как если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

2) «Любые две прямые имеют не менее одной общей точки.» — неверно, две прямые имеют не более одной общей точки.

3) «Через любую точку проходит более одной прямой.» — верно, через одну точку проходит множество пересекающихся в этой точке прямых.

4) «Любые три прямые имеют не менее одной общей точки.» — неверно, любые три прямые, которые не совпадают, если и имеют общую точку, то только одну.

 

Ответ: 13.

Ответ: 13

Задание 20 № 169917

9. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие углы со­став­ля­ют в сумме 90°, то эти две пря­мые параллельны.

2) Если угол равен 60°, то смеж­ный с ним равен 120°.

3) Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой внут­рен­ние од­но­сто­рон­ние углы равны 70° и 110°, то эти две пря­мые параллельны.

4) Через любые три точки про­хо­дит не более одной прямой.

Решение.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие углы со­став­ля­ют в сумме 90°, то эти две пря­мые параллельны.» — неверно, если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой внут­рен­ние од­но­сто­рон­ние углы со­став­ля­ют в сумме 180°, то эти две пря­мые параллельны.

2) «Если угол равен 60°, то смеж­ный с ним равен 120°.» — верно, сумма смеж­ных углов равна 180°.

3) «Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой внут­рен­ние од­но­сто­рон­ние углы равны 70° и 110°, то эти две пря­мые параллельны.» — верно, если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой внут­рен­ние од­но­сто­рон­ние углы со­став­ля­ют в сумме 180°, то эти две пря­мые параллельны.

4) «Через любые три точки про­хо­дит не более одной прямой.» — верно, через три точки либо нель­зя провести прямую, если они не лежат на одной линии, либо можно, но только одну.

 

Ответ: 234.

Ответ: 234

Задание 20 № 169922

10. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же хорду окружности, равны.

2) Если ра­ди­у­сы двух окруж­но­стей равны 5 и 7, а рас­сто­я­ние между их цен­тра­ми равно 3, то эти окруж­но­сти не имеют общих точек.

3) Если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 3, а рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до пря­мой равно 2, то эти пря­мая и окруж­ность пересекаются.

4) Если впи­сан­ный угол равен 30°, то дуга окружности, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся этот угол, равна 60°.

 

Решение.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Вписанные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же хорду окружности, равны.» — неверно, вписанные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же хорду окружности, равны, если их вершины лежат по одну сторону от хорды.

2) «Если ра­ди­у­сы двух окруж­но­стей равны 5 и 7, а рас­сто­я­ние между их цен­тра­ми равно 3, то эти окруж­но­сти не имеют общих точек.» — неверно, окруж­но­сти имеют две общие точки.

3) «Если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 3, а рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до пря­мой равно 2, то эти пря­мая и окруж­ность пересекаются.» — верно, если рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до пря­мой мень­ше радиуса, то пря­мая и окруж­ность имеют две общие точки.

4) «Если впи­сан­ный угол равен 30°, то дуга окружности, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся этот угол, равна 60°.» — верно, впи­сан­ный угол из­ме­ря­ет­ся по­ло­ви­ной дуги,на ко­то­рую он опирается.

 

Ответ: 34.

Ответ: 34

Задание 20 № 169923

11. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Через любые три точки про­хо­дит не более одной окружности.

2) Если рас­сто­я­ние между цен­тра­ми двух окруж­но­стей боль­ше суммы их диаметров, то эти окруж­но­сти не имеют общих точек.

3) Если ра­ди­у­сы двух окруж­но­стей равны 3 и 5, а рас­сто­я­ние между их цен­тра­ми равно 1, то эти окруж­но­сти пересекаются.

4) Если дуга окруж­но­сти со­став­ля­ет 80°, то впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на эту дугу окружности, равен 40°.

 

Решение.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Через любые три точки про­хо­дит не более одной окружности.» — верно, Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, про­хо­дит единственная окруж­ность. Если точки лежат на одной прямой, то окружность провести невозможно. Тем самым, через любые три точки можно провести не более одной окружности.

2) «Если рас­сто­я­ние между цен­тра­ми двух окруж­но­стей боль­ше суммы их диаметров, то эти окруж­но­сти не имеют общих точек.» — верно, если рас­сто­я­ние от цен­тра до пря­мой мень­ше радиуса, то окруж­но­сти имеют две общие точки, если окруж­но­сти ка­са­ют­ся то окруж­но­сти имеют одну общую точку, если рас­сто­я­ние боль­ше радиуса, то окруж­но­сти не имеют общих точек.

3) «Если ра­ди­у­сы двух окруж­но­стей равны 3 и 5, а рас­сто­я­ние между их цен­тра­ми равно 1, то эти окруж­но­сти пересекаются» — неверно, окружность, ра­ди­ус ко­то­рой равен 3, лежит внут­ри окруж­но­сти с ра­ди­у­сом 5.

4) «Если дуга окруж­но­сти со­став­ля­ет 80°, то впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на эту дугу окружности, равен 40°.» — верно, впи­сан­ный угол из­ме­ря­ет­ся по­ло­ви­ной дуги,на ко­то­рую он опирается.

 

Ответ: 124.

Ответ: 124

Задание 20 № 169924

12. Какие из следующих утверждений верны?

1) Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°.

2) Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°.

3) Диагонали квадрата делят его углы пополам.

4) Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

 

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°.» — неверно, сумма углов выпуклого n — угольника равна (n – 2)·180°.

2) «Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°.» — неверно, в параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

3) «Диагонали квадрата делят его углы пополам.» — верно, Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам, делят углы квадрата пополам. Таким образом, прямоугольные треугольники равны.

4) «Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.» — неверно, если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

Задание 20 № 169926

13. Какие из сле­ду­ю­щих утверждений верны?

1) Если в па­рал­ле­ло­грам­ме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

2) Если диа­го­на­ли параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб.

3) Если один из углов, при­ле­жа­щих к сто­ро­не параллелограмма, равен 50°, то дру­гой угол, при­ле­жа­щий к той же стороне, равен 50°.

4) Если сумма трех углов вы­пук­ло­го четырехугольника равна 200°, то его чет­вер­тый угол равен 160°.

 

Решение.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Если в па­рал­ле­ло­грам­ме диагонали равны, то этот па­рал­ле­ло­грамм — прямоугольник.» — верно, если в па­рал­ле­ло­грам­ме диагонали равны, то этот па­рал­ле­ло­грамм — прямоугольник.

2) «Если диа­го­на­ли параллелограмма делят его углы пополам, то этот па­рал­ле­ло­грамм — ромб.» — верно, если диа­го­на­ли параллелограмма делят его углы пополам, то этот па­рал­ле­ло­грамм — ромб.

3) «Если один из углов, при­ле­жа­щих к сто­ро­не параллелограмма, равен 50°, то дру­гой угол, при­ле­жа­щий к той же стороне, равен 50°.» — неверно, сто­ро­ны параллелограмма па­рал­лель­ны и об­ра­зу­ют односторонние углы, а сумма од­но­сто­рон­них углов равна 180°.

4) «Если сумма трех углов вы­пук­ло­го четырехугольника равна 200°, то его чет­вер­тый угол равен 160°.» — верно, сумма углов вы­пук­ло­го четырехугольника равна 360°.

 

Ответ: 124.

Ответ: 124

Задание 20 № 169928

14. Какие из следующих утверждений верны?

1) Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.

2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.

4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

 

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.» — верно, oколо треугольника можно описать окружность, притом только одну.

2) «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.» — верно, в любой треугольник можно вписать окружность.

3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.» — неверно, центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

4) «Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.» — неверно, центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.

 

Ответ: 12.

 

Примечание.

Выражение «не более одной» означает, что окружностей не может быть больше одной.

Выражение «не менее одной» означает, что окружностей не может быть меньше одной.

Ответ: 12

Задание 20 № 169929

15. Какие из сле­ду­ю­щих утверждений верны?

1) Около лю­бо­го правильного мно­го­уголь­ни­ка можно опи­сать не более одной окружности.

2) Центр окружности, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка со сторонами, рав­ны­ми 3, 4, 5, на­хо­дит­ся на сто­ро­не этого треугольника.

3) Цен­тром окружности, опи­сан­ной около квадрата, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния его диагоналей.

4) Около лю­бо­го ромба можно опи­сать окружность.

 

Решение.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Около лю­бо­го правильного мно­го­уголь­ни­ка можно опи­сать не более одной окружности.»— верно, около лю­бо­го правильного мно­го­уголь­ни­ка можно опи­сать окружность, и при­том только одну.

2) «Центр окружности, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка со сторонами, рав­ны­ми 3, 4, 5, на­хо­дит­ся на сто­ро­не этого треугольника.» — верно, тре­уголь­ник с та­ки­ми сторонами яв­ля­ет­ся прямоугольным, таким образом, центр окруж­но­сти лежит на гипотенузе.

3) «Центром окружности, опи­сан­ной около квадрата, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния его диагоналей.» — верно, диа­го­на­ли квадрата точ­кой пересечения де­лят­ся пополам, таким образом, цен­тром окружности яв­ля­ет­ся точка пре­се­че­ния диагоналей.

4) «Около лю­бо­го ромба можно опи­сать окружность.» — неверно, чтобы около четырёхуголь­ни­ка можно было опи­сать окруж­ность, не­об­хо­ди­мо, чтобы сумма про­ти­во­по­лож­ных углов четырёхуголь­ни­ка со­став­ля­ла 180°. Это верно не для лю­бо­го ромба.

 

Ответ: 123.

Ответ: 123

Задание 20 № 169930

16. Какие из следующих утверждений верны?

1) Окружность имеет бесконечно много центров симметрии.

2) Прямая не имеет осей симметрии.

3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.

4) Квадрат не имеет центра симметрии.

 

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Окружность имеет бесконечно много центров симметрии.»— неверно, плоская фигура обладает

центральной симметрией, если она симметрична сама себе относительно центра

2) «Прямая не имеет осей симметрии.» — неверно, прямая имеет бесконечное число осей симметрии.

3) «Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.» — верно, каждая ось симметрии любого правильного многоугольника с нечетным числом сторон проходит через вершину и середину противоположной стороны.

4) «Квадрат не имеет центра симметрии.» — неверно, центр симметрии квадрата является точка пересечения диагоналей.

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

Задание 20 № 169931

17. Какие из сле­ду­ю­щих утверждений верны?

1) Пра­виль­ный шестиугольник имеет шесть осей симметрии.

2) Пря­мая не имеет осей симметрии.

3) Цен­тром симметрии ромба яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния его диагоналей.

4) Рав­но­бед­рен­ный треугольник имеет три оси симметрии.

 

Решение.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Правильный ше­сти­уголь­ник имеет шесть осей симметрии.»— верно, при чет­ном количестве углов оси сим­мет­рии проходят через про­ти­во­по­лож­ные вершины и через се­ре­ди­ны противоположных сторон.

2) «Прямая не имеет осей симметрии.» — неверно, пря­мая имеет бес­ко­неч­ное число осей симметрии.

3) «Центром сим­мет­рии ромба яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния его диагоналей.» — верно, ромб яв­ля­ет­ся параллелограммом, а се­ре­ди­на диагонали па­рал­ле­ло­грам­ма является его цен­тром симметрии.

4) «Равнобедренный тре­уголь­ник имеет три оси симметрии.» — неверно, у рав­но­бед­рен­но­го треугольника одна ось симметрии.

 

Ответ: 13.

Ответ: 13

Задание 20 № 169932

18. Какие из следующих утверждений верны?

1) Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей.

2) Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.

3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.

4) Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения ее диагоналей.

 

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей.» — верно, прямоугольник является параллелограммом, а середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии.

2) «Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.» — верно, ромб является параллелограммом, а середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии.

3) «Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.» — верно, при нечетном количестве углов каждая ось симметрии проходи через вершину и середину противоположной стороны.

4) «Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения ее диагоналей.» — неверно, у равнобедренной трапеции нет точек симметрии.

 

Ответ: 123.

Ответ: 123

Задание 20 № 169933

19. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.

2) Любые два равнобедренных треугольника подобны.

3) Любые два прямоугольных треугольника подобны.

4) Треугольник ABC, у которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, является тупоугольным.

 

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.»— верно, по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

2) «Любые два равнобедренных треугольника подобны.» — неверно, так как углы, заключенные между пропорциональными сторонами, не равны.

3) «Любые два прямоугольных треугольника подобны.» — неверно, так как нет второго равного угла.

4) «Треугольник ABC, у которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, является тупоугольным.» — неверно, треугольник с такими сторонами является прямоугольным.

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

Задание 20 № 169934

20. Какие из сле­ду­ю­щих утверждений верны?

1) Любые два пря­мо­уголь­ных треугольника подобны.

2) Если катет и ги­по­те­ну­за прямоугольного тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но 6 и 10, то вто­рой катет этого тре­уголь­ни­ка равен 8.

3) Сто­ро­ны треугольника про­пор­ци­о­наль­ны косинусам про­ти­во­ле­жа­щих углов.

4) Квад­рат любой сто­ро­ны треугольника равен сумме квад­ра­тов двух дру­гих сторон без удво­ен­но­го произведения этих сто­рон на ко­си­нус угла между ними.

 

Решение.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Любые два пря­мо­уголь­ных треугольника подобны.» — неверно, так как нет вто­ро­го равного угла.

2) «Если катет и ги­по­те­ну­за прямоугольного тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но 6 и 10, то вто­рой катет этого тре­уголь­ни­ка равен 8.» — верно, по тео­ре­ме Пифагора квад­рат гипотенузы равен сумме квад­ра­тов катетов.

3) «Стороны тре­уголь­ни­ка пропорциональны ко­си­ну­сам противолежащих углов.» — неверно, по тео­ре­ме синусов сто­ро­ны треугольника про­пор­ци­о­наль­ны синусам про­ти­во­ле­жа­щих сторон.

4) «Квадрат любой сто­ро­ны треугольника равен сумме квад­ра­тов двух дру­гих сторон без удво­ен­но­го произведения этих сто­рон на ко­си­нус угла между ними.» — верно, по тео­ре­ме косинусов.

 

Ответ: 24.

Ответ: 24

Задание 20 № 169935

21. Какие из следующих утверждений верны?

1) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними.

2) Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.

3) Треугольник ABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остроугольным.

4) В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.

 

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними.» — неверно, квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

2) «Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.» — верно, по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

3) «Треугольник ABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остроугольным.» — верно, остроугольным называется треугольник у которого все углы меньше 90°.

4) «В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.» — верно, по теореме Пифагора.

 

Ответ: 234.

Ответ: 234

Задание 20 № 169936

22. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры.

2) Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту.

3) Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого треугольника равна 10.

4) Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10.

 

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры.» — неверно, фигуры, у которых равны площади называются равновеликими, но не равными.

2) «Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту.» — неверно, площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

3) «Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого треугольника равна 10.» — неверно, площадь треугольника равна

4) «Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10.» — верно, площадь параллелограмма равна

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

Задание 20 № 169938

23. Какие из следующих утверждений верны?

1) Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности.

2) Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.

3) Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.

4) Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.

 

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности.» — неверно, площадь многоугольника равна произведению половине периметра на радиус вписанной окружности.

2) «Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.» — верно, площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

3) «Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.» — верно, площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту.

4) «Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.» — верно, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

 

Ответ: 234.

Ответ: 234

Задание 20 № 311684

24. Укажите но­ме­ра верных утверждений.

1) Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной прямой, можно про­ве­сти прямую, па­рал­лель­ную этой прямой.

2) Тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 существует.

3) Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.

4) Центр опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окружности все­гда лежит внут­ри этого треугольника.

 

Решение.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной прямой, можно про­ве­сти прямую, па­рал­лель­ную этой прямой» — верно, это ак­си­о­ма планиметрии.

2) «Треугольник со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 существует» — неверно: для того, чтобы су­ще­ство­вал треугольник, сумма любых его двух сто­рон должна быть боль­ше третьей стороны.

3) «Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квад­рат.» — верно, в этом слу­чае противоположный угол тоже будет равен 90°, а зна­чит и два дру­гих (равных) угла будут равны по 90°.

4) «Центр опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окружности все­гда лежит внут­ри этого треугольника.» — неверно, центр опи­сан­ной вокруг пря­мо­уголь­но­го треугольника окружности, лежит на его стороне.

 

Ответ: 13.

Ответ: 13

Источник: Демонстрационная вер­сия ГИА—2014 по математике.

Задание 20 № 311763

25. Укажите но­ме­ра вер­ных утверждений.

1) Через любую точку про­хо­дит не менее одной прямой.

2) Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой со­от­вет­ствен­ные углы равны 65°, то эти две пря­мые параллельны.

3) Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие углы со­став­ля­ют в сумме 90°, то эти две пря­мые параллельны.

 

 

Решение.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) Через любую точку про­хо­дит бес­ко­неч­ное мно­же­ство прямых, следовательно, утвер­жде­ние 1 верно.

2) Если при пересечении двух прямых секущей со­от­вет­ствен­ные углы равны, то прямые параллельны - верно, это признак параллельности прямых.

3) На­крест ле­жа­щие углы двух па­рал­лель­ных прямых, пересечённых тре­тьей, равны. Утвер­жде­ние 3 неверно: прямые могут оказаться непараллельными.

 

Ответ: 12.

Ответ: 12

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская работа по ма­те­ма­ти­ке 01.10.2013 ва­ри­ант МА90101.

Задание 20 № 311851

26. Укажите но­ме­ра вер­ных утверждений.

1) Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой со­от­вет­ствен­ные углы равны 37°, то эти две пря­мые параллельны.

2) Через любые три точки про­хо­дит не более одной прямой.

3) Сумма вер­ти­каль­ных углов равна 180°.

 

Решение.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой со­от­вет­ствен­ные углы равны, то эти две пря­мые параллельны. Утвер­жде­ние 1 верно, в силу при­зна­ка параллельности прямых.

2) Через любые три точки про­хо­дит не более одной прямой. Утвер­жде­ние верно, через любые три точки либо нель­зя провести прямую, если они не лежат на одной прямой, либо можно про­ве­сти одну прямую, если они лежат на одной прямой.

3) Вер­ти­каль­ные углы равны по построению, при этом их сумма равна 180°, толь­ко если эти углы прямые, утвер­жде­ние 3 неверно.

 

Ответ: 12.

Ответ: 12

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская работа по ма­те­ма­ти­ке 01.10.2013 ва­ри­ант МА90106.

Задание 20 № 311915

27. Укажите но­ме­ра вер­ных утверждений.

1) Пло­щадь тра­пе­ции равна по­ло­ви­не высоты, умно­жен­ной на раз­ность оснований.

2) Через любые две точки можно про­ве­сти прямую.

3) Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной прямой, можно про­ве­сти един­ствен­ную прямую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную дан­ной прямой.

 

Решение.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Пло­щадь тра­пе­ции равна по­ло­ви­не высоты, умно­жен­ной на раз­ность оснований.» — неверно, пло­щадь тра­пе­ции равна по­ло­ви­не высоты, умно­жен­ной на сумму оснований.

2) «Через любые две точки можно про­ве­сти прямую.» — верно, это ак­си­о­ма геометрии.

3) «Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной прямой, можно про­ве­сти един­ствен­ную прямую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную дан­ной прямой.» — верно, это тео­ре­ма планиметрии.

 

Ответ: 23.

Ответ: 23

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 19.11.2013 ва­ри­ант МА90201.

Задание 20 № 311959

28. Укажите но­ме­ра вер­ных утверждений.

1) В любую рав­но­бед­рен­ную тра­пе­цию можно впи­сать окружность.

2) Диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма делит его углы пополам.

3) Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его катетов.

 

Решение.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «В любую рав­но­бед­рен­ную тра­пе­цию можно впи­сать окружность.» — не­вер­но, не в любую рав­но­бед­рен­ную трапецию можно впи­сать окружность.

2) «Диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма делит его углы пополам.» — неверно, диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма делит его углы по­по­лам толь­ко в том случае, когда па­рал­ле­ло­грамм яв­ля­ет­ся ромбом.

3) «Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его катетов.» — верно, это тео­ре­ма пла­ни­мет­рии.

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 19.11.2013 ва­ри­ант МА90202.

Задание 20 № 314814

29. Какие из дан­ных утвер­жде­ний верны? За­пи­ши­те их но­ме­ра.

1) Во­круг лю­бо­го тре­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность.

2) Если в па­рал­ле­ло­грам­ме диа­го­на­ли равны и пер­пен­ди­ку­ляр­ны, то этот па­рал­ле­ло­грамм — квад­рат.

3) Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию сред­ней линии на вы­со­ту.

 

Решение.

Проверим каж­дое из утверждений.

 

1) «Во­круг лю­бо­го тре­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность» — верно, по свой­ству треугольника.

2) «Если в па­рал­ле­ло­грам­ме диа­го­на­ли равны и пер­пен­ди­ку­ляр­ны, то этот па­рал­ле­ло­грамм — квад­рат» — верно; из всех па­рал­ле­ло­грам­мов толь­ко в квад­ра­те диа­го­на­ли равны и пер­пен­ди­ку­ляр­ны одновременно.

3) «Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию сред­ней линии на вы­со­ту» — верно, по свой­ству трапеции.

 

Ответ: 123.

Ответ: 123

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 20 № 314818

30. Какие из дан­ных утвер­жде­ний верны? За­пи­ши­те их но­ме­ра.

1) Каж­дая из бис­сек­трис рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его ме­ди­а­ной.

2) Диа­го­на­ли пр