Центральные и вписанные углы

1. Цен­траль­ный угол AOB опи­ра­ет­ся на хорду AB дли­ной 6. При этом угол OAB равен 60°. Най­ди­те радиус окружности.

Решение.

Рассмотрим тре­уголь­ник AOB: он равнобедренный, его бо­ко­вые стороны равны радиусу.

Углы при ос­но­ва­нии равнобедренного тре­уголь­ни­ка равны. Пусть AOB равен x, тогда x + 60° + 60° = 180°, где x = 60°. Треугольник, у ко­то­ро­го все углы равны, — рав­но­сто­рон­ний треугольник; значит, ра­ди­ус равен 6.

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1305.

Задание 17 № 142

2. В окруж­но­сти с цен­тром в точке О про­ве­де­ны диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Най­ди­те величину угла OAB.

Решение.

Вписанные углы ВСD и ВАD опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу окружности, по­это­му они равны. Тем самым, угол OAB = 30°.

 

Ответ: 30.

Ответ: 30

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1313.

Задание 17 № 311319

3. Найдите гра­дус­ную меру ∠ MON, если известно, NP — диаметр, а гра­дус­ная мера ∠ MNP равна 18°.

Решение.

Треугольник MON — равнобедренный. Тогда ∠ MON = 180° − 2·18° = 144°.

 

Ответ: 144.

Ответ: 144

Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 1)

Задание 17 № 311331

4. Найдите ∠ DEF, если гра­дус­ные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.

Решение.

Дуга FD, не со­дер­жа­щая точку Е, равна 360° − 150° − 68° = 142°, по­это­му ∠ DEF = 71°.

 

Ответ: 71.

Ответ: 71

Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 2)

Задание 17 № 311354

5. Найдите гра­дус­ную меру ∠ACB, если известно, что BC яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окружности, а гра­дус­ная мера ∠AOC равна 96°.

Решение.

Так как ∠ AOC и ∠ AOB — смежные, ∠ AOB = 84°. Цен­траль­ный угол равен дуге на ко­то­рую он опирается, по­это­му градусная мера дуги AB равна 84°. Угол ACB — впи­сан­ный и равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую опирается, по­это­му ∠ ACB = 42°.

 

Ответ: 42.

Ответ: 42

Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 4)

Задание 17 № 311374

6. Найдите ∠ KOM, если известно, что гра­дус­ная мера дуги MN равна 124°, а гра­дус­ная мера дуги KN равна 180°.

Решение.

Так как вся окруж­ность составляет 360°, гра­дус­ная мера дуги KM = 360° − 180° − 124° = 56°. По­это­му угол KOM яв­ля­ет­ся центральным, он равен дуге, на ко­то­рую опирается, ∠ KOM = 56°.

 

Ответ: 56.

Ответ: 56

Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар.6)

Задание 17 № 311398

7. В окруж­но­сти с цен­тром O AC и BD — диаметры. Угол ACB равен 26°. Най­ди­те угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол ACB — вписанный, равен по­ло­ви­не центрального угла, опи­ра­ю­щий­ся на ту же дугу, то есть AОВ = 52°. Угол ВОD — развернутый, по­это­му угол AOD равен 180° − 52° = 128°.

 

Ответ: 128.

Ответ: 128

Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 2.(5 вар)

Задание 17 № 311479

8. Прямоугольный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 5 см и 12 см впи­сан в окружность. Чему равен ра­ди­ус этой окружности?

Решение.

Пусть R — ра­ди­ус описанной окружности. Так как окруж­ность описана во­круг прямоугольного треугольника, то ее центр лежит на се­ре­ди­не гипотенузы. Таким образом, ги­по­те­ну­за равна 2 R.

По тео­ре­ме Пифагора имеем:

 

 

Ответ: 6,5.

Ответ: 6,5

6,5

Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа № 3. (1 вар)

Задание 17 № 311483

9. Точки A и B делят окруж­ность на две дуги, длины ко­то­рых относятся как 9:11. Най­ди­те величину цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на мень­шую из дуг. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Дуги окруж­но­сти относятся как 9:11, что в сумме дает 20 частей. По­это­му длина мень­шей дуги со­став­ля­ет от всей окружности, тем самым, она равна . Так как угол AOB — центральный, то он равен той дуге на ко­то­рую он опирается. Таким образом, .

 

Ответ: 162.

Ответ: 162

Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа № 4.(1 вар.)

Задание 17 № 311510

10. В угол ве­ли­чи­ной 70° впи­са­на окружность, ко­то­рая ка­са­ет­ся его сто­рон в точ­ках A и B. На одной из дуг этой окруж­но­сти вы­бра­ли точку C так, как по­ка­за­но на рисунке. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла ACB.

Решение.

Угол ACB — вписанный, он равен по­ло­ви­не дуги AB. Угол АОВ — центральный, опи­ра­ю­щий­ся на ту же дугу. Проведём ра­ди­у­сы ОА и ОВ в точки касания. Сумма углов четырёхугольника AOBD равна 360°. По­это­му

 

 

 

Ответ: 55.

Ответ: 55

Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа №2 (5 вар)

Задание 17 № 311517

11. Величина цен­траль­но­го угла AOD равна 110°. Най­ди­те величину впи­сан­но­го угла ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол AOB смеж­ный с углом AOD, по­это­му AOB = 180° − 110° = 70°. Цен­траль­ный угол AOB и впи­сан­ный угол ACB опи­ра­ют­ся на одну дугу. По­это­му

 

Ответ: 35.

Ответ: 35

Источник: ГИА-2012. Математика. Контрольная работа (2 вар)

Задание 17 № 311523

12. Точки A, B, C и D лежат на одной окруж­но­сти так, что хорды AB и СD вза­им­но перпендикулярны, а ∠ BDC = 25°. Най­ди­те величину угла ACD.

Решение.

Треугольник BOD — прямоугольный, сумма его ост­рых углов равна 90°. По­это­му ∠ ABD = ∠ OBD = 90° − 25° = 65°. Углы ABD и ACD опи­ра­ют­ся на одну дугу, по­это­му эти углы равны. Таким образом, ∠ ACD = 65°.

 

Ответ: 65.

Ответ: 65

Источник: ГИА-2012. Математика. Тренировочная работа №2(2вар)

Задание 17 № 311848

13. В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, BC = 18, tg A = 3. Най­ди­те AC.

Решение.

Тан­генс угла равен от­но­ше­нию про­ти­во­ле­жа­ще­го углу ка­те­та к при­ле­жа­ще­му, поэтому

 

 

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская работа по ма­те­ма­ти­ке 01.10.2013 ва­ри­ант МА90106.

Задание 17 № 311956

14. Треугольник ABC впи­сан в окруж­ность с цен­тром в точке O. Най­ди­те гра­дус­ную меру угла C тре­уголь­ни­ка ABC, если угол AOB равен 48°.

Решение.

Угол AOB яв­ля­ет­ся цен­траль­ным углом, ACB — вписанным. Оба угла опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу, следовательно, угол AOB в два раза боль­ше угла ACB. Тем самым, он равен 24°.

 

Ответ: 24.

Ответ: 24

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 19.11.2013 ва­ри­ант МА90202.

Задание 17 № 314811

15. Точка О — центр окруж­но­сти, ∠ AOB = 84° (см. ри­су­нок). Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла ACB (в гра­ду­сах).

Решение.

Вписанный угол ACB равен по­ло­ви­не цен­траль­но­го угла AOB, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же дугу, по­это­му он равен 42°.

 

Ответ: 42.

Ответ: 42

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 17 № 333117

16. На окруж­но­сти с цен­тром O от­ме­че­ны точки A и B так, что Длина мень­шей дуги AB равна 63. Най­ди­те длину боль­шей дуги.

Решение.

Пусть длина боль­шей дуги равна Длина дуги прямо про­пор­ци­о­наль­на её гра­дус­ной мере, по­это­му имеет место отношение:

 

 

Ответ: 747.

Ответ: 747

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 17.04.2014 ва­ри­ант МА90605

Задание 17 № 339419

17. На окруж­но­сти по раз­ные стороны от диа­мет­ра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠ NBA = 38°. Най­ди­те угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол NBA — вписанный, по­это­му он равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опирается. Следовательно, дуга AN = 2∠ NBA = 2 · 38° = 76°. Диа­метр AB делит окруж­ность на две рав­ные части, по­это­му величина дуги ANB равна 180°. От­ку­да дуга NB = 180° − 76° = 104°. Угол NMB — вписанный, по­это­му он равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опирается, то есть равен 104°/2 = 52°.

 

Ответ: 52.

Ответ: 52

Задание 17 № 339429

18. Точка O – центр окружности, на ко­то­рой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ ABC = 15° и ∠ OAB = 8°. Най­ди­те угол BCO. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Проведём ра­ди­ус OB. Рас­смот­рим тре­уголь­ник AOB: AO = OB, следовательно, углы ∠ OAB = ∠ ABO = 8°. Рас­смот­рим тре­уголь­ник BOC: BO = OC, следовательно, ∠ BCO = ∠ OBC = ∠ ABC − ∠ ABO = 15° − 8° = 7°.

 

 

Ответ: 7.

 

Приведём дру­гое решение.

Угол ABC — вписанный, по­это­му он равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую опирается. Следовательно, ве­ли­чи­на дуги ADC равна 30°. Дуги ADC и ABC вме­сте со­став­ля­ют пол­ную окружность, по­это­му дуга ABC равна 360° − 30° = 330°. Рас­смот­рим угол AOC четырёхугольника AOCB, он центральный, опи­ра­ет­ся на дугу ABC, по­это­му он равен 330°. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, от­ку­да ∠ BCO = 360° − ∠ AOC − ∠ ABC − ∠ OAB = 360° − 330° − 15° − 8° = 7°.

Ответ: 7

Задание 17 № 340116

19. AC и BD — диа­мет­ры окруж­но­сти с цен­тром O. Угол ACB равен 79°. Най­ди­те угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол ACB — вписанный, опи­ра­ет­ся на дугу AB, по­это­му он равен по­ло­ви­не дуги AB, то есть ве­ли­чи­на дуги AB равна 2 · 79° = 158°. По­сколь­ку BD — диаметр, гра­дус­ная мера дуги BAD равна 180°. Гра­дус­ная мера дуги AD равна раз­но­сти гра­дус­ных мер дуг BAD и AB: 180° − 158° = 22°. Угол AOD — центральный, по­это­му он равен дуге, на ко­то­рую опирается, следовательно, он равен 22°.

 

Ответ: 22.

Ответ: 22

Задание 17 № 340229

20. В угол C ве­ли­чи­ной 83° впи­са­на окружность, ко­то­рая ка­са­ет­ся сто­рон угла в точ­ках A и B. Най­ди­те угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Радиус окруж­но­сти пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной в точке касания, по­это­му углы CAO и OBC равны 90°. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, откуда:

 

∠ AOB = 360° −∠ CAO − ∠ OBC − ∠ ACB = 360° − 90° − 90° − 83° = 97°.

Ответ: 97.

Ответ: 97

Задание 17 № 341355

21. Треугольник ABC впи­сан в окруж­ность с цен­тром в точке O. Най­ди­те гра­дус­ную меру угла C тре­уголь­ни­ка ABC, если угол AOB равен 115°.

Решение.

Угол ACB − вписанный угол, он равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Т. е.

Ответ: 57,5

57,5

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 07.04.2015 ва­ри­ант МА90702.

Задание 17 № 341673

22. Сторона AC тре­уголь­ни­ка ABC со­дер­жит центр опи­сан­ной около него окружности. Най­ди­те , если . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Так как AC — диа­метр окружности, то дуга AC равна сумме дуг AB и BC и равна 180°. А так как углы ACB и BAC — впи­сан­ные и опи­ра­ют­ся на эти дуги, то их сумма равна , а зна­чит,

 

Ответ: 15.

Ответ: 15

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по математике 29.09.2015 ва­ри­ант МА90103.

Задание 17 № 348379

23. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 30°. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой. Таким образом, угол равен 90°. Таким образом:

 

 

Ответ: 60

Ответ: 60

Задание 17 № 348493

24. На окружности с центром в точке отмечены точки и так, что . Длина меньшей дуги равна 50. Найдите длину большей дуги .

Решение.

Пусть длина боль­шей дуги равна Длина дуги прямо про­пор­ци­о­наль­на её гра­дус­ной мере, по­это­му имеет место отношение:

 

 

Ответ: 400

Ответ: 400

Задание 17 № 348543

25. Центр окружности, описанной около треугольника , лежит на стороне . Найдите угол , если угол равен 44°. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой. Таким образом, угол равен 90°. Таким образом:

 

 

Ответ: 46

Ответ: 46

Задание 17 № 348670

26. В угол величиной 157° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках и , точка — центр окружности. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Радиус окруж­но­сти пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной в точке касания, по­это­му углы CAO и OBC равны 90°. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, откуда:

 

∠ AOB = 360° −∠ CAO − ∠ OBC − ∠ ACB = 360° − 90° − 90° − 157° = 23°.

Ответ: 23.

Ответ: 23

Задание 17 № 348698

27. На окружности с центром в точке отмечены точки и так, что . Длина меньшей дуги равна 5. Найдите длину большей дуги .

Решение.

Пусть длина боль­шей дуги равна Длина дуги прямо про­пор­ци­о­наль­на её гра­дус­ной мере, по­это­му имеет место отношение:

 

Ответ: 95.

Ответ: 95

Задание 17 № 348800

28. На окружности с центром в точке отмечены точки и так, что . Длина меньшей дуги равна 61. Найдите длину большей дуги .

Решение.

Пусть длина боль­шей дуги равна Длина дуги прямо про­пор­ци­о­наль­на её гра­дус­ной мере, по­это­му имеет место отношение:

 

 

Ответ: 119.

Ответ: 119

Задание 17 № 348961

29. Центр окружности, описанной около треугольника , лежит на стороне . Радиус окружности равен 6,5. Найдите , если

Решение.

Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой. Таким образом, угол - прямой. Тогда по теореме Пифагора найдем :

 

 

Ответ: 5

Ответ: 5

Задание 17 № 348970

30. Центр окружности, описанной около треугольника , лежит на стороне . Радиус окружности равен 8,5. Найдите , если .

Решение.

Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой. Таким образом, угол — прямой, и данный треугольник является прямоугольным. По теореме Пифагора получаем :

 

 

Ответ: 15

Ответ: 15

Задание 17 № 349063

31. В угол C ве­ли­чи­ной 72° впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся сто­рон угла в точ­ках A и B, точка O - центр окружности. Най­ди­те угол AOB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Решение.

Радиус окруж­но­сти пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной в точке касания, по­это­му углы CAO и OBC равны 90°. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, откуда:

 

∠ AOB = 360° −∠ CAO − ∠ OBC − ∠ ACB = 360° − 90° − 90° − 72° = 108°.

Ответ: 108.

Ответ: 108

Задание 17 № 349182

32. На окруж­но­сти с цен­тром O от­ме­че­ны точки A и B так, что Длина мень­шей дуги AB равна 98. Най­ди­те длину боль­шей дуги.

Решение.

Пусть длина боль­шей дуги равна Длина дуги прямо про­пор­ци­о­наль­на её гра­дус­ной мере, по­это­му имеет место отношение:

 

 

Ответ: 1862.

Ответ: 1862

Задание 17 № 349186

33. На окруж­но­сти с цен­тром O от­ме­че­ны точки A и B так, что Длина мень­шей дуги AB равна 58. Най­ди­те длину боль­шей дуги.

Решение.

Пусть длина боль­шей дуги равна Длина дуги прямо про­пор­ци­о­наль­на её гра­дус­ной мере, по­это­му имеет место отношение:

 

 

Ответ: 203.

Ответ: 203

Задание 17 № 349187

34. В угол C ве­ли­чи­ной 90° впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся сто­рон угла в точ­ках A и B, точка O - центр окружности. Най­ди­те угол AOB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Решение.

Радиус окруж­но­сти пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной в точке касания, по­это­му углы CAO и OBC равны 90°. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, откуда:

 

∠ AOB = 360° −∠ CAO − ∠ OBC − ∠ ACB = 360° − 90° − 90° − 90° = 90°.

Ответ: 90.

Ответ: 90

Задание 17 № 349314

35. AC и BD — диа­мет­ры окруж­но­сти с цен­тром O. Угол ACB равен 36°. Най­ди­те угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол ACB — вписанный, опи­ра­ет­ся на дугу AB, по­это­му он равен по­ло­ви­не дуги AB, то есть ве­ли­чи­на дуги AB равна 2 · 36° = 72°. По­сколь­ку BD — диаметр, гра­дус­ная мера дуги BAD равна 180°. Гра­дус­ная мера дуги AD равна раз­но­сти гра­дус­ных мер дуг BAD и AB: 180° − 72° = 108°. Угол AOD — центральный, по­это­му он равен дуге, на ко­то­рую опирается, следовательно, он равен 108°.

 

Ответ: 108.

Ответ: 108

Задание 17 № 349337

36. AC и BD — диа­мет­ры окруж­но­сти с цен­тром O. Угол ACB равен 23°. Най­ди­те угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол ACB — вписанный, опи­ра­ет­ся на дугу AB, по­это­му он равен по­ло­ви­не дуги AB, то есть ве­ли­чи­на дуги AB равна 2 · 23° = 46°. По­сколь­ку BD — диаметр, гра­дус­ная мера дуги BAD равна 180°. Гра­дус­ная мера дуги AD равна раз­но­сти гра­дус­ных мер дуг BAD и AB: 180° − 46° = 134°. Угол AOD — центральный, по­это­му он равен дуге, на ко­то­рую опирается, следовательно, он равен 134°.

 

Ответ: 134.

Ответ: 134

Задание 17 № 349453

37. В угол C ве­ли­чи­ной 62° впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся сто­рон угла в точ­ках A и B, точка O - центр окружности. Най­ди­те угол AOB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Решение.

Радиус окруж­но­сти пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной в точке касания, по­это­му углы CAO и OBC равны 90°. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, откуда:

 

∠ AOB = 360° −∠ CAO − ∠ OBC − ∠ ACB = 360° − 90° − 90° − 62° = 118°.

Ответ: 118.

Ответ: 118

Задание 17 № 349477

38. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 33°. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой. Таким образом, угол равен 90°. Таким образом:

 

 

Ответ: 57

Ответ: 57

Задание 17 № 349653

39. На окруж­но­сти с цен­тром O от­ме­че­ны точки A и B так, что Длина мень­шей дуги AB равна 57. Най­ди­те длину боль­шей дуги.

Решение.

Пусть длина боль­шей дуги равна Длина дуги прямо про­пор­ци­о­наль­на её гра­дус­ной мере, по­это­му имеет место отношение:

 

 

Ответ: 303.

Ответ: 303

Задание 17 № 349658

40. AC и BD — диа­мет­ры окруж­но­сти с цен­тром O. Угол ACB равен 54°. Най­ди­те угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол ACB — вписанный, опи­ра­ет­ся на дугу AB, по­это­му он равен по­ло­ви­не дуги AB, то есть ве­ли­чи­на дуги AB равна 2 · 54° = 108°. По­сколь­ку BD — диаметр, гра­дус­ная мера дуги BAD равна 180°. Гра­дус­ная мера дуги AD равна раз­но­сти гра­дус­ных мер дуг BAD и AB: 180° − 108° = 72°. Угол AOD — центральный, по­это­му он равен дуге, на ко­то­рую опирается, следовательно, он равен 72°.

 

Ответ: 72.

Ответ: 72

Задание 17 № 349689

41. На окруж­но­сти с цен­тром O от­ме­че­ны точки A и B так, что Длина мень­шей дуги AB равна 67. Най­ди­те длину боль­шей дуги.

Решение.

Пусть длина боль­шей дуги равна Длина дуги прямо про­пор­ци­о­наль­на её гра­дус­ной мере, по­это­му имеет место отношение:

 

 

Ответ: 134.

Ответ: 134

Задание 17 № 349756

42. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 9°. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой. Таким образом, угол равен 90°. Таким образом:

 

 

Ответ: 81

Ответ: 81

Задание 17 № 349843

43. AC и BD — диа­мет­ры окруж­но­сти с цен­тром O. Угол ACB равен 19°. Най­ди­те угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол ACB — вписанный, опи­ра­ет­ся на дугу AB, по­это­му он равен по­ло­ви­не дуги AB, то есть ве­ли­чи­на дуги AB равна 2 · 19° = 38°. По­сколь­ку BD — диаметр, гра­дус­ная мера дуги BAD равна 180°. Гра­дус­ная мера дуги AD равна раз­но­сти гра­дус­ных мер дуг BAD и AB: 180° − 38° = 142°. Угол AOD — центральный, по­это­му он равен дуге, на ко­то­рую опирается, следовательно, он равен 142°.

 

Ответ: 142.

Ответ: 142

Задание 17 № 349866

44. AC и BD — диа­мет­ры окруж­но­сти с цен­тром O. Угол ACB равен 78°. Най­ди­те угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол ACB — вписанный, опи­ра­ет­ся на дугу AB, по­это­му он равен по­ло­ви­не дуги AB, то есть ве­ли­чи­на дуги AB равна 2 · 78° = 156°. По­сколь­ку BD — диаметр, гра­дус­ная мера дуги BAD равна 180°. Гра­дус­ная мера дуги AD равна раз­но­сти гра­дус­ных мер дуг BAD и AB: 180° − 156° = 24°. Угол AOD — центральный, по­это­му он равен дуге, на ко­то­рую опирается, следовательно, он равен 24°.

 

Ответ: 24.

Ответ: 24

Задание 17 № 349952

45. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 24°. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой. Таким образом, угол равен 90°. Таким образом:

 

 

Ответ: 66

Ответ: 66

Задание 17 № 349998

46. В угол C ве­ли­чи­ной 71° впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся сто­рон угла в точ­ках A и B, точка O - центр окружности. Най­ди­те угол AOB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Площадь

Квадрат

Прямоугольник

Треугольники общего вида

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Параллелограмм

Трапеция

Квадрат

1. Сторона квад­ра­та равна 10. Най­ди­те его площадь.

Решение.

Площадь квад­ра­та равна квад­ра­ту его стороны, по­это­му она равна 100.

 

Ответ: 100.

Ответ: 100

Задание 18 № 169863

2. Периметр квад­ра­та равен 40. Най­ди­те площадь квадрата.

Решение.

Периметр квад­ра­та равен сумме длин всех его сторон. Таким образом, сто­ро­на квадрата равна 10. Пло­щадь квадрата равна квад­ра­ту его стороны, по­это­му она равна 100.

 

Ответ: 100.

Ответ: 100

Задание 18 № 322861

3. Из квад­ра­та вы­ре­за­ли пря­мо­уголь­ник (см. ри­су­нок). Най­ди­те пло­щадь по­лу­чив­шей­ся фи­гу­ры.

Решение.

Площадь по­лу­чив­шей­ся фи­гу­ры равна раз­но­сти пло­ща­дей квад­ра­та и прямоугольника: 6 · 6 − 4 · 2 = 28.

 

Ответ: 28.

Ответ: 28

Задание 18 № 323977

4. Пе­ри­метр квад­ра­та равен 160. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та.

Решение.

Все сто­ро­ны квадрата равны, по­это­му сторона длина сто­ро­ны квадрата равна Найдём пло­щадь квадрата как квад­рат его стороны:

 

Ответ: 1600.

Ответ: 1600

Задание 18 № 323997

5. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та, если его диа­го­наль равна 1.

Решение.

Диагонали квад­ра­та равны. Пло­щадь квадрата можно найти как по­ло­ви­ну произведения его диагоналей:

 

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

0,5

Задание 18 № 324364

6. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та, опи­сан­но­го во­круг окруж­но­сти ра­ди­у­са 83.

 

Прямоугольник

1. В пря­мо­уголь­ни­ке одна сто­ро­на равна 10, дру­гая сторона равна 12. Най­ди­те площадь прямоугольника.

Решение.

Площадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его смеж­ных сторон, по­это­му она равна 120.

 

Ответ: 120.

Ответ: 120

Задание 18 № 169867

2. В пря­мо­уголь­ни­ке диагональ равна 10, а угол между ней и одной из сто­рон равен 30°. Най­ди­те площадь прямоугольника, делённую на .

Решение.

Диагональ пря­мо­уголь­ни­ка делит его на два пря­мо­уголь­ных треугольника. Катет пря­мо­уголь­но­го треугольника, ле­жа­щий напротив угла в 30°, равен по­ло­ви­не гипотенузы. По­это­му одна из сто­рон прямоугольника равна 5. По тео­ре­ме Пифагора най­дем вторую строну: Пло­щадь прямоугольника равна про­из­ве­де­нию его смеж­ных сторон, имеем:

 

 

Ответ: 25.

 

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 25

Задание 18 № 169898

3. В пря­мо­уголь­ни­ке диагональ равна 10, угол между ней и одной из сто­рон равен 30°, длина этой сто­ро­ны . Най­ди­те площадь прямоугольника, деленную на

Решение.

Диа­го­наль прямоугольника делит его на два пря­мо­уголь­ных треугольника. Катет, ле­жа­щий напротив угла в 30°, равен по­ло­ви­не гипотенузы, по­это­му СD = 5. Пло­щадь прямоугольника равна про­из­ве­де­нию его смежных сторон:

 

 

Ответ: 25.

 

Примечание:

Вторую сто­ро­ну можно было найти из опре­де­ле­ния синуса.

 

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 25

Задание 18 № 311761

4. Найдите пло­щадь прямоугольника, если его пе­ри­метр равен 44 и одна сто­ро­на на 2 боль­ше другой.

Решение.

Площадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его сторон. Найдём сто­ро­ны прямоугольника. Пусть x — мень­шая сто­ро­на прямоугольника. Тогда пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен от­ку­да По­это­му пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна

 

Ответ: 120.

Ответ: 120

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская работа по ма­те­ма­ти­ке 01.10.2013 ва­ри­ант МА90101.

Задание 18 № 311849

5. Найдите пло­щадь прямоугольника, если его пе­ри­метр равен 60, а от­но­ше­ние со­сед­них сто­рон равно 4:11.

Решение.

Площадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его сторон. Найдём сто­ро­ны прямоугольника. Пусть x — боль­шая сто­ро­на прямоугольника, тогда дру­гая сто­ро­на равна Следовательно, пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен

откуда По­это­му пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна

 

Ответ: 176.

Ответ: 176

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская работа по ма­те­ма­ти­ке 01.10.2013 ва­ри­ант МА90106.

Задание 18 № 316321