Соотношения для коэффициентов линейной регрессии

Требуется найти оценки коэффициентов b₀,...,b_k по результатам наблю-

дения совокупности откликов системы y₁,..., y_N в ходе N экспериментов,

считая, что полученные данные удовлетворяют линейной регрессии

y₁= b₀x₀₁+ b₀x₀₁+...+ b₀x₀₁+ ,

…

y_N= b₀x_0N+ b₁x_1N+...+b_kx_kN+ ,

где x_ij, i = ; j = − значения факторов в ходе экспериментов; ,

j = − случайные погрешности определения отклика c нулевым мате-

матическим ожиданием и дисперсию .

 

Столбцы матрицы X ортогональны, то есть =0,l ≠ r, 0 ≤ r,l ≤ k.

Коэффициенты регрессии определяются в виде: = ,i= ;

Если теперь пронормировать факторы:

X_i^*= (x_i– x_i0) / Δx_i, x_i0= x_imin+ Δx_i; Δx_i= (x_imax− x_imin) / 2, то условия ортогональности будут выполняться, если уровни факторов в

ходе эксперимента будут взяты симметрично относительно начала координат и равны +1 и −1.

Такой план эксперимента называется ортогональным N = .

Если осуществляют все возможные сочетания уровней факторов, то

получают так называемый полный факторный эксперимент (ПФЭ).

Полный факторный план при двух уровнях называют еще планом D или

планом – 2^k.

Пример формирования матрицы планирования при k = 2

 

 

5. Тактическое планирование. Соотношения для требуемого объема испытаний в модельном эксперименте при оценке среднего

 

Тактическое планирование – планирование конкретного модельного эксперимента при фиксированных исходных данных.

При фиксированных исходных данных модельный эксперимент состоит из серии повторяющихся имитаций процесса функционирования системы, что позволяет получить усредненную картину относительно ее эффективности с учетом случайного характера протекающих процессов и явлений.

Тактическое планирование сводится к решению двух типов задач:

1. Определение начальных условий в той мере, в какой они влияют на установление стационарного режима работы модели;

2. Снижение погрешности (дисперсии) получаемых при моделировании оценок реакции системы при одновременном сокращении объема испытаний (числа прогнозов).

 

Первая задача тактического планирования в рамках рассмотренных подходов решается с использованием, в основном, эвристических приемов, опирающихся на знание физики разыгрываемых в ИМ процессов.

 

Вторая задача тактического планирования может быть решена строго математически. Это решение сводится к определению гарантированного объема испытаний (размера выборки, числа прогонов) для получения требуемой точности оценивания компонентов отклика системы, описывающих ее эффективность.

 

Снижение или исключение влияния начального периода времени при переходе в установившийся режим должно осуществляться при проведении каждого прогона модели. При этом используют три основных способа:

1. увеличение длительности каждого прогона так, чтобы влияние переходного периода было бы заведомо незначительным;

2. исключение из рассмотрения начального периода (введение этапа предварительной «раскрутки» процесса имитации);

3. искусственный подбор близких к режимным начальных условий для каждой реализации.