Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-11-21 | 225 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком непрерывной функции , слева и справа соответственно прямыми и , а снизу – осью Ox (рис. 1), вычисляется по формуле:
. (12.6)
Площадь фигуры, ограниченной сверху и снизу соответственно линиями и , слева и справа прямыми и , определяется по формуле:
. (12.7)
Площадь криволинейной трапеции, прилежащей к оси Oy, вычисляется по формуле:
. (12.8)
ТЕМА ЛЕКЦИИ № 9: Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) называется некоторая функциональная зависимость, содержащая переменную , искомую функцию и её производные, то есть
. (13.1)
Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого уравнения. Тогда (13.1) – ДУ - го порядка.
Следовательно, ДУ 1-го порядка имеет вид: . (13.2)
Если из (13.2) выразить , то получим ДУ 1-го порядка, разрешенное относительно производной: . (13.3)
Решением ДУ называется такая функция , которая, будучи подставленной вместе со всеми своими производными до -го порядка в уравнение, обращает его в тождество.
Методом решения ДУ является интегрирование, а график решения ДУ называется интегральной кривой.
Процесс интегрирования для ДУ -го порядка повторяется раз. Следовательно, искомое решение будет содержать ровно констант интегрирования. Решение ДУ, содержащее константы интегрирования , называется общим решением ДУ:. (13.4)
Если данное решение получено в неявном виде , то оно называется общим интегралом.
Для ДУ 1-го порядка общий интеграл записывается в виде , а общее решение . (13.5)
|
Решение ДУ, получаемое из общего решения при конкретных значениях констант интегрирования, называется его частным решением (частным интегралом).
Решение ДУ, не получаемое из общего решения ни при каких значениях константы , называется особым.
С геометрической точки зрения общее решение ДУ 1-го порядка есть семейство интегральных кривых на плоскости ; особое решение представляет собой огибающую интегрального семейства; частное решение при – одна кривая из этого семейства, походящая через точку . Задать эту точку означает задать для данного дифференциального уравнения начальные условия:
или . (13.6)
Геометрически задание начальных условий подразумевает выделение из всего семейства интегральных кривых выделение именно той кривой, которая проходит через точку с координатами .
Если составить систему, состоящую из самого ДУ и заданных для него начальных условий, то получим задачу Коши для данного ДУ. Запишем задачу Коши для ДУ 1-го порядка:
. (13.7)
Аналогично можно записать задачи Коши для ДУ 2-го и -го порядка соответственно:
, (13.8)
………………………..
. (13.9)
Для того чтобы найти частное решение ДУ, удовлетворяющее заданным начальным условиям, необходимо:
1) проинтегрировав ДУ, найти его общее решение (общий интеграл);
2) в общее решение (общий интеграл) подставить заданные начальные условия, получая при этом уравнение (систему уравнений) относительно констант интегрирования , где ;
3) решить уравнение относительно или систему уравнений относительно ;
4) найденные или подставить в общее решение ДУ 1-го или n -го порядка соответственно.
Пример. Найти частное решение ДУ , удовлетворяющее начальным условиям .
Решение. Учитывая, что, имеем или . Проинтегрировав данное уравнение , получим общее решение . Подставим в него начальные условия :
или . Данное значение константы подставим в общее решение: – искомое частное решение
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
|
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка вида
, (13.10)
причем правая часть этого уравнения представляет собой произведение функций, каждая из которых зависит только от одной переменной: либо от переменной , либо от переменной
(13.11)
При этом возможен случай, когда какая-то одна из функций и или обе – константы.
Запишем производную в виде и домножим обе части уравнения (13.11) на , получим
.
Следующим шагом попытаемся разделить переменные, то есть сделать так, чтобы каждая часть уравнения содержала бы функции и дифференциалы одной и той же переменной. Этого можно достичь путем деления обеих частей уравнения на :
(13.12)
Данное уравнение называется уравнением с разделенными переменными, которое можно проинтегрировать, получив тем самым общее решение (общий интеграл) уравнения (13.11)
.
Замечание 1. При делении на мы можем потерять отдельные особые решения, обращающие функцию в нуль. Если же в уравнении (13.11) функция тождественно равна нулю, то очевидно, что решением уравнения будет некоторая константа .
Замечание 2. В некоторых случаях полученные интегралы не берутся в элементарных функциях, тем не менее, если существуют какие-то другие способы вычисления полученных интегралов, уравнение считается проинтегрированным.
Уравнение с разделяющимися переменными кроме виды (13.11) может иметь вид
(13.13)
Привести такое уравнение к уравнению с разделенными переменными можно делением обеих частей равенства на произведение :
Полученное равенство можно интегрировать.
|
|
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!