Предмет и задачи математической статистики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

 

ГОУ ВПО «Рязанский государственный университет

Имени С.А. Есенина»

 

 

Кафедра математического анализа

 

ЭЛЕМЕНТЫ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

 

Рабочая тетрадь

 

 

 

студента_______________________________________________

 

факультета___________ отделения ___________группы________

 

Составитель: Е.Ю. Лискина, канд. физ.-мат. наук, доцент

 

 

Рязань 2006

 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение........................................................................................................................................................... 3

Глава 1. Основные методы описательной статистики................................................................................. 4

§ 1. Выборочный метод............................................................................................................................... 4

§ 2. Статистические оценки параметров распределения......................................................................... 9

§ 3. Точечные оценки генеральной совокупности................................................................................. 10

§ 4. Интервальные оценки генеральной совокупности......................................................................... 18

Практическое занятие. Точечные и интервальные оценки генеральной совокупности................... 21

Глава 2. Корреляция и регрессия.................................................................................................................. 23

§ 1. Корреляционная зависимость между величинами.......................................................................... 23

§ 2. Линейная корреляция и линейная регрессия................................................................................... 24

§ 3. Более сложные случаи корреляции................................................................................................... 28

§ 4. Ранговая корреляция........................................................................................................................... 28

§ 5. Применения теории корреляции....................................................................................................... 30

Практическое занятие. Линейная корреляция и регрессия................................................................... 30

Глава 4. Проверка статистических гипотез................................................................................................. 33

§ 1. Некоторые сводные характеристики выборки................................................................................ 33

§ 2. Задача статистической проверки статистических гипотез............................................................. 36

§ 3. Проверка гипотез о нормальном распределении............................................................................ 40

§ 4. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции............................. 50

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ....................................................................................... 58

Введение

Основные этапы развития математической статистики

В начальный период развития математической статистики имели большое значение работы А. Кетле (1796—1874), Ф. Гальтона (1822—1911) и, в особенности, К. Пирсона (1857—1936) [4].

Развитие естествознания и техники выдвинуло перед математической статистикой ряд новых проблем, решение которых привело к дальнейшему совершенствованию математических методов статистики. В ее современном развитии определяющую роль сыграли труды Р. Фишера (1890—1962), Ю.Неймана, А. Вальда (1902—1950), Г. Крамера и др.

Большое значение в развитии математической статистики имели работы советских ученых Е. Е. Слуцкого (1880—1948), А. Н. Колмогорова, В. И. Романовского (1880—1954) и др.

Закономерность случайного рассеивания, выражаемая нормальным распределением, получила свое научное обоснование в теоретико-вероятностных исследованиях выдающихся русских математиков П. Л. Чебышева (1821—1894), А. А. Маркова (1856—1922) и А.М.Ляпунова (1857—1918), значительно расширивших результаты классических исследований Якова Бернулли (1654—1705), Муавра (1667—1754), Лапласа (1749—1827) и Пуассона (1781 — 1840).

Современное развитие теории вероятностей и математической статистики складывалось в результате международного сотрудничества очень большого числа исследователей.

В XX веке математическая статистика представлена крупнейшими учеными: С. Н. Бернштейном, А. Н. Колмогоровым, А. Я. Хинчиным (1894—1959), Б». В. Гнеденко, Ю. В. Линником и др.

Как и все математические теоремы, положения теории вероятностей носят абстрактный, безразличный к конкретной природе массовых явлений характер.

 

Глава 1. Основные методы описательной статистики

Выборочный метод

Генеральная и выборочная совокупности

Определение 1. Совокупность объектов, количественный или качественный признак которой требуется изучить статистическими методами, называется генеральной совокупностью. Другими словами генеральная совокупность – это совокупность всех мыслимых наблюдений, которые могли бы быть произведены при данном реальном комплексе условий.

Пример.

Замечание. Понятие генеральной совокупности в определённом смысле аналогично понятию случайной величины (закону распределения вероятностей, вероятностном пространству).

Определение 2. Исследование признака называется сплошным, если обследуют каждый из элементов совокупности относительно признака, которым интересуются.

Недостатки сплошного исследования:

1)

2)

Определение 3. Выборкой (выборочной совокупностью) называется совокупность объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Определение 4. Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называется число объектов (элементов) этой совокупности.

Замечание. Выборку можно рассматривать как эмпирический аналог генеральной совокупности.

Основная идея выборочного метода состоит в том, чтобы по некоторой части генеральной совокупности (по выборке) выносить суждение о её свойствах в целом.

Преимущества выборочного метода:

1)

2)

3)

4)

Основной недостаток выборочного метода:

Замечание. Ошибки репрезентативности могут быть заранее оценены и сведены к минимуму посредством правильной организации выборки. Для того, чтобы по данным выборки можно было судить о генеральной совокупности, выборка должна быть случайной и репрезентативной.

Определение 5. Выборка называется случайной если все элементы генеральной совокупности имеют равные возможности попасть в выборку.

Практическая реализация:

Определение 6. выборка называется репрезентативной (представительной), если она достаточно хорошо воспроизводит генеральную совокупность.

Замечание. В силу закона больших чисел выборка будет репрезентативной, если её осуществить случайно.

Способы формирования выборок (способы отбора)

№	Название	Определение
1.	Собственно-случайный (простой случайный)
бесповторный
повторный
Виды отбора, при которых генеральная совокупность разбивается на части
2.	Механический
3.	Типический (стратифицированный)
4.	Серийный (гнездовой)

Замечание 1. Если объём генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается. В предельном случае, когда рассматривается бесконечная генеральная совокупность, а выборка имеет конечный объём, это различие исчезает.

Замечание 2. На практике часто применяется комбинированный отбор.

Задача выборочного метода: оценка параметров (характеристик) генеральной совокупности по данным выборки.

Замечание 3. теоретическую основу применимости выборочного метода составляет закон больших чисел, согласно которому при неограниченном увеличении объёма выборки практически достоверно, что случайные выборочные характеристики как угодно близко приближаются к определённым параметрам генеральной совокупности.

Средние величины

Определение 10. Выборочной средней называется среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности: .

Замечание 1. Для несгруппированного вариационного ряда все частоты, а

– «невзвешенная» выборочная средняя.

Замечание 2. Выборочная средняя, найденная по данным одной выборки, есть определённое число. Если же из генеральной совокупности извлекать другие выборки того же объёма, то выборочная средняя будет изменяться от выборки к выборке. Таким образом, выборочную среднюю можно рассматривать как случайную величину, а следовательно, можно говорить о распределении (теоретическом и эмпирическом) выборочной средней и о числовых характеристиках этого распределения.

Свойства выборочной средней

Свойство 1. Выборочная средняя является несмещённой оценкой генеральной средней, т.е. .

Доказательство. Будем рассматривать как случайную величину и наблюдаемые значения , () как независимые одинаково распределённые случайные величины , (). Так как эти величины одинаково распределены, то они имеют одинаковые числовые характеристики, в частности, одинаковое математическое ожидание а. Так как математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределённых случайных величин равно математическому ожиданию каждой из величин (действительно, для , () ), то . Так как каждая из величин , () имеет то же распределение, что и генеральная совокупность (которую тоже рассматриваем как случайную величину), то и числовые характеристики этих величин и генеральной совокупности одинаковы. В частности, математическое ожидание а каждой из величин равно математическому ожиданию признака Х генеральной совокупности, т.е. . Тогда .

Свойство 2. Выборочная средняя является состоятельной оценкой генеральной средней.

Доказательство. Допустим, что случайные величины , () имеют ограниченные дисперсии. Тогда, применяя к этим величинам теорему Чебышева, получаем, что при увеличении п среднее арифметическое рассматриваемых величин, т.е. как случайная величина стремится по вероятности к математическому ожиданию а каждой из величин, т.е. к генеральной средней. Следовательно, дисперсия случайной величины при этом стремится к нулю, а это и означает, что выборочная средняя есть состоятельная оценка генеральной средней.

Следствие. Выборочные средние обладают свойством устойчивости, т.е. если по нескольким выборкам достаточно большого объёма из одной и той же генеральной совокупности будут найдены выборочные средние, то они будут приближённо равны между собой.

Замечание. Если дисперсии двух совокупностей одинаковы, то близость выборочных средних к генеральным не зависит от отношения объёма выборки к объёму генеральной совокупности. Она зависит от объёма выборки: чем выборка больше, тем меньше выборочная средняя отличается от генеральной.

Будем рассматривать все значения количественного признака Х совокупности (безразлично, выборочной или генеральной). Выборочную среднюю и генеральную среднюю при таком рассмотрении будем называть средней арифметической.

Свойство 3. Средняя арифметическая постоянной равна самой постоянной.

Свойство 4. Если все варианты увеличить (или уменьшить) в одно и то же число раз, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) во столько же раз, т.е. или .

Свойство 5. Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) на то же число, т.е. или .

Свойство 6. Средняя арифметическая суммы нескольких признаков равна такой же сумме средних арифметических этих признаков: .

Допустим, что все значения количественного признака Х совокупности (безразлично, выборочной или генеральной) разбиты на несколько групп.

Определение 11. Групповой средней называется среднее арифметическое значений признака, принадлежащих группе.

Определение 12. Общей средней называется среднее арифметическое значений признака, принадлежащих всей совокупности.

Свойство 7. Общая средняя равна средней арифметической групповых средних, взвешенной по объёмам групп: , где – общая средняя, – групповая средняя -ой группы, объём которой равен , – число групп.

Замечание. Для упрощения расчёта общей средней совокупности большого объёма целесообразно разбить её на несколько групп, найти групповые средние, а затем по ним – общую среднюю.

Определение 13. Отклонением называют разность между значением признака и общей средней.

Свойство 8. Сумма произведений отклонений на соответствующие частоты равна нулю, т.е .

Доказательство. Общая средняя имеет вид . Отсюда . Так как – постоянная величина, то можно записать . Тогда .

Замечание. Другими словами, средняя арифметическая отклонений вариант от средней арифметической равна нулю: .

Замечание. Средние величины называют аналитическими средними. Кроме аналитических средних используются также структурные или порядковые средние.

Определение 14. Медианой вариационного ряда называется значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдаемых значений.

Замечание. Ряд наблюдаемых значений называется ранжированным, если все значения расположены в нём строго по возрастанию или строго по убыванию величин. Для дискретного вариационного ряда с нечётным числом членов (, ) медиана равна серединному значению: , а для ряда с чётным числом членов (, ) – полусумме двух серединных значений: . Для интервального ряда медиана может быть приближенно найдена с помощью кумуляты как значение признака, для которого или . Достоинство медианы заключается в том, что на неё не влияет изменение крайних членов ряда. Медиана предпочтительнее средней для тех вариационных рядов, у которых крайние значения по сравнению с остальными оказались слишком большими или слишком малыми.

Определение 15. Модой вариационного ряда называется то его значение, которому соответствует наибольшая частота.

Замечание. Для дискретного вариационного ряда мода находится по определению. Для интервального вариационного ряда мода может быть приближённо найдена с помощью гистограммы. Для этого нужно:

1) выбрать интервал, имеющий наибольшую частоту;

2) вершины прямоугольника, построенного на этом интервале, соединить с соответствующими вершинами соседних прямоугольников;

3) найти точку пересечения, которая и будет приближенной модой. Мода, так же, как и медиана, обладает определённой устойчивостью к вариации признака, т.е. не изменяется при изменении крайних членов ряда.

Пример 2.1. Распределение рабочих механического цеха по тарифному разряду имеет вид:

Тарифный разряд							сумма
Количество рабочих

По оплате труда рабочие разделены на 2 группы: рабочие низких разрядов (1-3) и рабочие высоких разрядов (4-6). Найти: 1) выборочную среднюю, 2) групповые средние; 3) общую среднюю, проверить свойство групповых средних; 4) моду, 5) медиану.

Решение. 1) Выборочная средняя:

 

 

2) Групповая средняя для рабочих низких разрядов:

 

 

Групповая средняя для рабочих высоких разрядов:

 

 

3) Общая средняя:

 

4) Медиана:

 

 

5) Мода:

 

 

Пример 2.2. Из генеральной совокупности значений нормально распределенного признака Х извлечена выборка объемом :

Найти: 1) выборочную среднюю, 2) медиану, 3) моду.

Решение. Для построения интервального вариационного ряда воспользуемся решением примера 1.2:

	0,12	0,12	0,08	0,10	0,24	0,12	0,12	0,08	0,02
	0,13	0,13	0,09	0,11	0,27	0,13	0,13	0,09	0,02

1) Вычислим выборочную среднюю:

 

 

2) Для нахождения медианы воспользуемся значениями накопленных частот примера 1.2. Тогда

 

 

3) Для нахождения моды воспользуемся гистограммой примера 1.2.

 

 

 

Показатели вариации

Определение 16. Вариационным размахом называется разность между наибольшим и наименьшим значениями вариационного ряда: .

Определение 17. Средним линейным отклонением вариационного ряда называется среднее арифметическое абсолютных величин наблюдаемых значений от их средней арифметической:

Определение 18. Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения : .

Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной равна самой постоянной.

Свойство 2. Если все варианты увеличить (или уменьшить) в одно и то же число раз, то дисперсия увеличится (уменьшится) во столько же раз, т.е. или .

Свойство 3. Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то дисперсия не изменится, т.е. или .

Свойство 4. Для вычисления дисперсии можно также применять следующие формулы: 1) , 2) , 3) .

Доказательство: 1) Формула получается после внесения под знак суммы и переобозначения частного .

2)

3) Формула получается после переобозначения .

Замечание. Свойство можно записать в виде: , где .

Допустим, что все значения количественного признака Х совокупности (безразлично, выборочной или генеральной) разбиты на несколько групп.

Определение 19. Групповой дисперсией называется дисперсия значений признака, принадлежащих группе, относительно групповой средней: , где – частота значения , – номер группы, – групповая средняя группы , – объём группы .

Определение 20. Внутригрупповой дисперсией называют среднюю арифметическую групповых дисперсий, взвешенную по объёмам групп: , где – число групп, .

Определение 21. Межгрупповой дисперсией называют дисперсию групповых средних относительно групповой средней: .

Определение 22. Общей дисперсией называется дисперсия значений признака всей совокупности: .

Свойство 5. Если совокупность состоит из нескольких групп, то общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий: .

Доказательство. Для упрощения доказательство предположим, что вся совокупность значений количественного признака Х разбита на 2 группы со следующими характеристиками:

Группа	Первая	Вторая
Значение признака
Частота
Объём группы
Групповая средняя
Групповая дисперсия
Объём совокупности

Найдём общую дисперсию:

. (3.1)

Преобразуем первое слагаемое числителя, вычтя и прибавив :

Таким образом, (3.2)

Аналогично можно представить второй слагаемое числителя (3.1), вычтя и прибавив : (3.3.)

Подставим (3.2) и (3.3) в (3.1), получим:

Замечание. Теорема имеет важное практическое значение. Например, если в результате наблюдений получены несколько групп значений признака, то для вычисления общей дисперсии можно группы в единую совокупность не объединять. С другой стороны, если совокупность имеет большой объём, то целесообразно разбить её на несколько групп. И в том и в другом случаях непосредственное вычисление общей дисперсии заменяется вычислением отдельных групп, что облегчает расчёты.

Свойство 6. Если случайная выборка состоит из независимых наблюдений над случайной величиной Х с математическим ожиданием и дисперсией , то выборочная дисперсия является смещённой оценкой генеральной дисперсии.

Доказательство. Пусть , , …, – независимых наблюдений над случайной величиной Х. По условию , () и .

Преобразуем формулу выборочной дисперсии:

Рассмотрим математическое ожидание выборочной дисперсии:

Таким образом, выборочная дисперсия является смещённой оценкой генеральной дисперсии.

Замечание. Выборочная дисперсия является состоятельной оценкой генеральной дисперсии.

Определение 23. Выборочным СКО называется величина .

Замечание. Для получения несмещённой оценки генеральной дисперсии вводят следующую величину.

Определение 24. Исправленной выборочной дисперсией называется величина

.

Замечание. Исправленная выборочная дисперсия является несмещённой состоятельной оценкой дисперсии генеральной совокупности. Действительно,

.

Определение 21. Исправленным выборочным СКО называется величина

.

Замечание 1. Исправленное выборочное СКО не является несмещённой оценкой генерального СКО.

Замечание 2. Сравнивая и , видим, что они отличаются лишь знаменателями, т.е. при достаточно больших значениях выборочная и исправленная дисперсии отличаются мало. На практике пользуются исправленной выборочной дисперсией, если <30.

Пример 2.3. Распределение рабочих механического цеха по тарифному разряду имеет вид: (см. примеры 1.1. и 2.1).

Тарифный разряд							сумма
Количество рабочих

По оплате труда рабочие разделены на 2 группы: рабочие низких разрядов (1-3) и рабочие высоких разрядов (4-6). Найти: 1) выборочную дисперсию, 2) групповые дисперсии; 3) межгрупповую дисперсию; 4) исправленную выборочную дисперсию.

Решение. Воспользуемся тем, что выборочная средняя равна групповые выборочные средние соответственно равны:

1) Выборочная дисперсия:

 

 

2) Групповая выборочная дисперсия для рабочих низких разрядов:

 

 

Групповая выборочная дисперсия для рабочих высоких разрядов:

 

 

3) Межгрупповая дисперсия

 

4) Исправленная выборочная дисперсия:

 

 

Задания для решения на практическом занятии

1. Выборка задана в виде распределения частот:

хi
ni

Найти распределение относительных частот. Построить полигон частот и эмпирическую функцию распределения.

2. Построить полигон частот и относительных частот по данному распределению выборки:

хi
ni

Найти выборочную среднюю, выборочную и исправленную дисперсии.

3. Задана выборка количественного признака непрерывной случайной величины Х. Найти ряд распределения частот и относительных частот. Построить гистограмму частот.

Выборка: 1; 2; 3; 1; 1.5; 4; 4.8; 2.5; 2; 5.6; 8; 8.2; 6; 6.3; 6.8; 7.; 5.8; 5; 5.2; 3.8; 5.3; 5.5; 4.5; 4.3; 4.6; 5.1; 9; 9.5; 10.

4. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :

хi
ni

Найти несмещенную оценку генеральной средней.

5. По выборке объема n =41 найдена смещенная оценка D_в =3 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

6. В таблице приведены результаты измерения роста (в см) случайно отобранных 100 студентов. Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию роста обследованных студентов.

Рост (см)	154-158	158-162	162-166	166-170	170-174	174-178	178-182
Число студентов

Указание. Найти середины интервала и принять их в качестве вариант.

7. Заданы генеральная совокупность и выборка некоторой дискретной случайной величины Х. Найти числовые характеристики генеральной совокупности и их точечные оценки. Построить полигон частот (теоретических и эмпирических). Составить теоретическую и эмпирическую функции распределения, построить их графики.

Генеральная совокупность. 1, 1, 2, 5, 5, 3, 5, 8, 5, 1, 4, 6, 2, 3, 7, 4, 7,5, 2, 3, 5, 4, 2, 1, 1, 8, 9, 7, 10, 5, 5, 6, 4, 4, 2, 1, 10, 7, 5, 8, 4, 7, 3, 3, 4, 6, 8, 7, 8, 4, 2, 7, 6, 7, 8, 6, 8, 5, 4, 2, 1, 10, 10, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 9, 8, 5, 4, 4, 5, 6,8, 5, 2, 1, 1, 3, 5, 4, 5, 8, 7, 3, 3, 5, 6, 6, 5, 4, 4.

Выборка. 1,3,3,5,4,8,9,5,10,5,6,4,7,5,8,6,4,1,2,3.

8. Пусть признак Х – оценка за контрольную работу по математике в вашей группе. Найти закон распределения случайной величины, построить полигон распределения, функцию распределения, найти числовые характеристики случайной величины.

9. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания a нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если генеральное СКО s = 5, выборочная средняя , объем выборки n =25.

10. Станок-автомат штампует валики. По выборке объема n = 100 вычислена выборочная средняя диаметров изготовленных валиков. Найти с надежностью 0,95 точность, с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание диаметров изготовляемых валиков, зная, что их СКО s = 2 мм. Предполагается, что диаметры валиков распределены нормально.

11. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания а генеральной совокупности по выборочной средней равна d = 0,3, если известно СКО s = 1,2 нормально распределенной генеральной совокупности.

12. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n =10:

xi	-2
ni

а) Оценить с надежностью 0,95 при помощи доверительных интервалов математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности; генеральное СКО, если известна дисперсия D=2,5.

б) Оценить с надежностью 0,95 при помощи доверительных интервалов математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней, если дисперсия неизвестна.

Сравнить полученные результаты.

в) Оценить с надежностью 0,95 при помощи доверительных интервалов генеральное СКО по исправленному СКО,

13. По данным объема выборки n =16 из генеральной совокупности найдено исправленное СКО s=1 нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное СКО s с надежностью 0,95.

14. По данным девяти равноточных измерений физической величины найдены среднее арифметическое результатов отдельных измерений и исправленное СКО s= 5. Оценить истинное значение измеряемой величины с надежностью 0,95.

Задания для самостоятельной работы

1. Выборка задана в виде распределения частот:

хi
ni

Найти распределение относительных частот, построить полигон и эмпирическую функцию распределения.

2. Построить полигон частот по данному распределению выборки. Построить полигон относительных частот. Составить и построить эмпирическую функцию распределения.

хi
ni

 

3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n =50:

хi	18,4	18,9	19,3	19,6
ni

Найти выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию.

4. По выборке объема n =51 найдена смещенная оценка D_в =5 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

5. Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы выборки оказалась равной 1000 часов. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал средней продолжительности а горения лампы всей партии, если известно, что среднее квадратичес