Тема 2. Экстраполяционные методы прогнозирования.

Экстраполяционные методы прогнозирования являются самыми проработанными и наиболее распространенными.

Экстраполяция предполагает, что процесс изменения переменной представляет собой сочетание двух составляющих регулярной и случайной.

y(x) = f(a¯,x) + n(x)

а – коэффициенты в описании

х – переменная

f (a¯,х) - регулярная составляющая

n (х) - случайная составляющая

Предполагается, что регулярная составляющая представляет собой гладкую функцию от аргумента, чаще всего от времени, описываемую конечномерным вектором параметров а, которое сохраняют свое значение на периоде упреждения. Эта составляющая называется трендом или тенденцией.

Случайная составляющая считается некоррелированным случайным процессом с нулевым математически ожиданием.

 

 

Экстраполяционные методы основаны на выделении лучшего описания тренда и на определении прогнозных значений путем его экстраполяции.

 

 

Если удается построить тренд, следовательно продлить период упреждения.

 

 

Экстраполяция может быть представлена в виде нескольких этапов:

1) предварительная обработка исходной информации

2) вычислительный этап – определение описания тренда

3) само определение прогнозных значений

4) расчет точностей характеристик прогноза

 

1. Подготовительная работа заключается в предварительной обработке числового ряда с целью его преобразования к виду удобному для прогнозирования. Существенным моментом для прогнозирования является анализ логики и физики процесса, что оказывает существенное влияние на выбор экстраполирующей функции и определение границ изменения ее параметров. Предварительная обработка исходного числового ряда направлена на решение двух задач:

· снижение влияния случайной составляющей,

· представление информации в таком виде, чтобы существенно снизить трудность математического описания тренда

Основные методы решения этих задач: процедуры сглаживания и выравнивания.

Процедура сглаживания направлена на случайные отклонений точек ряда от некоторой гладкой кривой предполагаемого периода. Наиболее простой прием сглаживания – сглаживание при помощи многочленов.

Статистический ряд разбивается на группы точек, наиб. применение – сглаживание по трем и по 5 точкам. В 1-ом случае весь ряд разбивается на группы по 3 точки, во 2-м – по 5 точек. Наилучшее сглаживание получается для средних точек группы. А крайние точки (у1, у7) сглаживаются по специальным формулам.

у1 у2 у3 у4 у5 у6 у7

 

у1 у2 у3

у2 у3 у4

у3 у4 у5

у4 у5 у6

у5 у6 у7

 

Средние: у¯₀ = 1\3 (у_-1 + у₀ + у₊₁)

Крайние: у¯_-1 = 1\6 (5у_-1 + 2у₀ – у₊₁)

у¯₊₁ = 1\6 (-у_-1 + 2у₀ – 5у₊₁)

Для рядов со значительной амплитудой, производят многократное сглаживание. Эффективность этой процедуры быстро уменьшается, поэтому целесообразно применить сглаживание по многочленам от1 до 3 раз.

В качестве некоторого объективного критерия, по которому можно судить о целесообразности повторного сглаживания может выступать

 

max {| 1y¯i-yi |}≤ E (факт. значение)

 

При большом числе точек процедуру сглаживание можно привести к реккурентному, т.е. используя каждый раз предыдущие значения сглаженного тренда. Линейное сглаживание является достаточно грубой процедурой. Для более точного определения формы сглаженной кривой может применяться операции нелинейного сглаживания или могут использоваться взвешенный скользящие средние. При немножественном - метод экспоненциального сглаживания, скользящие средние – усовершенствованная процедура сглаживания.

Основная идея прогнозирования при помощи динамических рядов базируется на предположении сохранения закона изменения прогнозируемой переменной на определенном интервале времени в будущем. Изменение закона развития процесса может протекать относительно плавно, при этом возникает необходимость постоянного корректирования экстраполяционной формулы по мере поступления новых данных о фактических значениях переменной. Это привело к необходимости по разному учитывать и оценивать новые данные и уже устаревшую информацию. Реализацией этого принципа прогнозирования является использование различных способов дисконтирования информации.

Метод скользящей средней

Этот метод предлагает в качестве дисконтирующей функции использовать единичную ступенчатую функцию.

 

 

ω(t) = | 1, если t₀-t_p ≤ t ≤ t₀

| 0, если t₀-t_p ³ t

t0 – последний момент времени ретроспективного ряда

tp – момент времени начала ретроспекции

Наиболее наглядно может проиллюстрировать метод скользящей мредней при экстраполяции некоторого скачкообразного изменения уровня «а».

На уровень «а» накладывается случайная стационарная некоррелированная помеха.

у=а ± n

При определении параметров процесса ретроспективного значения функции умножается на дисконтирующую функцию w(t0)

в качестве оценки детерминированной части процесса используется его математическое ожидание. рассчитанное по нескольким конечным точкам ряда.

_N

M(t₀) = 1\N Σ yi

ⁱ⁼¹

N- количество точек.

В данном случае роль дисконтирующей функцию выполняет выбор числа точек (N), по которому и определяется математическое ожидание.

Если представить процесс оценки скачкообразного уровня «а» как динамический, пошаговый процесс с шагов = 1, то

 

M(t₀) ³ M(t_0-1) + [ (y(t₀) – y(t_0-N)) \ N ]

 

Считаем, что оценка среднего уровня всех предыдущих N-точек является математическое ожидание на предыдущем шаге M(t_0-1) и подставив его вместо y(t_0-N)

 

M(t₀) = M(t_0-1) + [ (y(t₀) – M(t_0-N)) \ N ] = 1\N*y(t₀) + (1-1/N)*M(t_0-1)

 

Эта реккурентная формула является частным случаем формулы экспоненциального сглаживания.

 

S(t₀) = Ly(t₀) + (1-L)*S(t_0-1)

L - постоянная сглаживания 0 ≤ L ≤1, для всех случаев экспоненциального сглаживания

 

При скользящей средней и при экспоненциальном сглаживании процедуру также можно повторять несколько раз. Будем получать функцию сглаживания 2-го, 3-го и т.д. порядка.

При экспоненциальном сглаживании текущая оценка сглаживающей функции в момент времени t0 равна линейной комбинацией значения функции у во всех точках заданного ряда от 0 до t с экспоненциально убывающими весами к начальным точкам ряда.

Вторая процедура на подготовительном этапе – ВЫРАВНИВАНИЕ. Если сглаживание направлено на первичную обработку числового ряда для исключения случайных колебаний при построении тренда, то выравнивание служит целям более удобного представления исходного ряда, оставляя при этом прежними его значения.

Выравниванием называют преобразование эмпирической формулы к виду линейному:

 

y = f(a¯,x) Y = A+B*X

 

Наиболее общими приемами выравнивания является логарифмирование и замена переменных

 

у = ax ^b

lg y = lg a + b lg x

Y = A+B*X

 

Для окончательного выбора вида функции исследования ретроспективного ряда при предварительной обработке следует дополнить исследованием логики протекания процесса в целом. Основные вопросы, которые следует здесь разрешить следующие:

1.является ли исследуемый показатель величиной монотонной или периодической

2.ограничен ли показатель сверху какими либо пределами

3.имеет ли функция, описывающая процесс точку перегиба

4.имеет ли функция, описывающая свойства симметричности.

5.имеет ли процесс ограничение развития во времени.

Затем график сглаженного ряда анализируется визуально с целью приблизительного определения вида тренда. Стараются свести все к 10 -15 элементарных функций (линейная, парабола, кубическая парабола, степенная, экспоненциальная, логистическая кривая, гипербола).

Если не удается определить вид функции, то анализ можно продолжаться дальше и для него может быть использованы следующие специальные приемы: использование дифференциальных функций роста. Используется три дифференциальных функции роста: 1. первая производная (абсолютная дифференциальная функция роста)

 

φ(t) = y’ = dy\dt

 

На графике исходная функция у = f(t), первая производная представляется угловым коэффициентом в каждой точке графика. первая производная является const для линейного закона изменения у, для кривых второго порядка первая производная имеет линейный характер изменения, для экспоненциальных кривых – экспонента. График этой функции выполняется в линейных координатах.

Вторая дифференциальная функция роста называется относительный дифференциальный коэффициент или логарифмическая производная.

 

ω(t) = (dy\dt) / y = d(lg y)\dt

 

Эту функцию дифференциального роста на графике можно выявить, если его построить в полулогарифмических координатах (по оси ординат – логарифмическая сетка, по абсцисс – обычная равномерная).

Относительный дифференциальный коэффициент на таком графике будет представлять угловой коэффициент в каждой точке исходной функции. Для экспоненциальной зависимости относительный дифференциальный коэффициент – const., для степенной функции – гипербола.

Третья дифференциальная функция роста – эластичность.

 

E(t) = dy*t\y*dt = d(lg y)\d(lg t)

 

График эластичности строится в логарифмических координатах (по оси абсцисс и по ординат – логарифмическая сетка)

Тогда в каждой точке исходной функции эластичность будет определяться как угловой коэффициент. Эластичность будет константой для степенной функции, для экспоненциальной функции – линейный характер. Эластичность- безразмерная величина следовательно позволяет сравнивать различные процессы, их характер, изменения. По сочетанию дифференциальных функций роста можно определить вид производящей их функции.

Если при использовании функции роста не удается определить вид тренда, то исследование продолжается дальше.

В качестве дальнейшей процедуры установления численного ряда можно вычислить характеристики прироста. Для этого используют понятие среднего прироста в некоторой точке Т по аналогии со сглаженной координатной исходной функции. Характеристики прироста вычисляется аналогично тому, как вычисляются сглаженные координаты, но сглаживается не сами координаты, а их приращения. Приращения функции определяется конечными разностями. Конечная разность в Т – это разность между координатами.

 

Ut = y_t-y_t+1

 

 

Сглаживание производится по формулам аналогичным, которым уже использовали можно определить разности 2,3 и т.д. порядка, надо учитывать, что количество точек будет постоянно уменьшаться. После того как определенный вид функции, описывающей процесс, необходимо произвести вычисление параметров этой функции. Чаще всего используют метод средних и метод наименьших квадратов.

Метод средних основан на минимизации линейной формы^

_N

Z = Σ yi [yi – f(x, a₀, a₁,..., a_n)] à min

ⁱ⁼¹

Метод наименьших квадратов

_N

Z = Σ yi [yi – f(x, a₀, a₁,..., a_n)]² à min

ⁱ⁼¹

Чтобы определить линейную форму, решают систему уравнений.

 

∂z \ ∂ a₀ = 0; ∂ z \ ∂ a₁ = 0 …

 

После того, как определены параметры функции описывающие процесс, рассчитывают параметры, которые характеризуют точность и адекватность экстраполярной функции реальному процессу (среднее относительное отклонение). После того, как рассчитаны параметры экстраполирующей функции, осуществляется сам прогнозу. Прогнозирование заключается в определении значения функции на периоде упреждения.