Собственные и примесные полупроводники

 

Собственные полупроводники

1. Концентрация электронов в зоне проводимости

n = 2(2p kT)^3/2 h ^-3 exp[-(E_c - E_F)/(kT)] = N_с exp[(m - E_с)/(kT)],

где N_c –эффективное число состояний (т.е. плотность состояний), приведенное ко дну зоны проводимости;(E_F - E_с) энергия Ферми, отсчитанная от дна зоны проводимости; k = 1,38 10^-23 Дж/К постоянная Больцмана; Т – температура полупроводника в кельвинах; h = – постоянная Планка; – эффективная масса электрона.

2. Концентрация дырок в валентной зоне

p = 2(2p m_pkT)^3/2 h ^-3exp[(E_V – E_F)/(kT)] = N_V ·exp[(E_V – E_F)/(kT)],

где N_V – эффективное число состояний валентной зоны, приведенное к потолку зоны;(E_V – E_F) - энергия Ферми, отсчитанная от потолка валентной зоны; E_V – энергия, соответствующая потолку валентной зоны; m_p – эффективная масса дырок.

3. Равновесная концентрация носителей в собственных полупроводниках

n_i = n = p = (N_сN_V)exp[– E_g /(kT)],

где E_g –ширина запрещенной зоны полупроводника.

4. Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике

E_F – E_c = – E_g /2 + kT /2ln(N_V/N_с)

или

E_F - E_c = – E_g /2 + 3 kT /4ln(m_n/m_p).

При Т = 0 или m_n = m_p уровень Ферми находится посередине запрещенной зоны.

5. Удельная проводимость

s = e (u_p + u_n) ,

где u_n и u_p –подвижности электронов и дырок соответственно.

Примесные полупроводники

6. Уравнение электронейтральности для электронного (донорного) полупроводника

n_n= p_n + n_d,

где n_n – концентрация электронов в зоне проводимости электронногополупроводника; p_n –концентрация дырок в валентной зоне электронного полупроводника; n_d – концентрация электронов, перешедших с донорных уровней в зону проводимости.

7. Уравнение электронейтральности для дырочного (акцепторного) полупроводника

p_p = n_p + p _A,

где р_р – концентрация дырок в валентной зоне дырочного полупроводника; n_p – концентрация электронов в зоне проводимости дырочного полупроводника; р _А – концентрация дырок, перешедших с акцепторных уровней в валентную зону.

В случае, когда все примеси ионизованы,

n_d ~ N_d (или n _A~ N _A),

где N_d и N _A– концентрация атомов доноров и акцепторов, соответственно.

8. Закон действующих масс

Произведение концентраций электронов и дырок в полупроводнике не зависит от его легирования, а зависит только от температуры и равно квадрату концентраций носителей в собственном полупроводнике

.

9. Электропроводность электронного (донорного) полупроводника

s = s₀exp[– E_g /(2 kT)] + s_{0 n} exp[– Е_d /(2 kT)],

где Е_d – энергия активации донорных примесей, s_{0 n} = neu_n.

10. Электропроводность дырочного (акцепторного) полупроводника

s = s₀ exp[– E_g /(2 kT)] + s_{0 p} exp[– E _A/(2 kT)],

где s_{0 p} = epu_p; E _A– энергия активации акцепторных уровней.

 

Примеры решения задач

Задача 1

Вычислить положение уровня Ферми относительно дна зоны проводимости в полупроводнике с концентрацией ионизированных доноров10²³ м^-3. При температуре300 К плотность состояний у дна зоны проводимости 10²⁵м^-3.

Дано: Nd = 1023 м-3 Т = 300К Nc = 1025 м-3 k = 10-23 Дж/К	Решение: По условию задачи мы имеем дело с донорным полупроводником (n-типа), который находится при температуре Т>Ts, где Ts – температура, при которой происходит полное истощение примеси: Ts = Ed (k ln(3 Nc / Nd))-1 (1)
(ЕF - Ec) =?

Обычно энергия ионизации доноров порядка Е_d ~ 0,01 эВ. Используя это значение и численные значения N_c и N_d, можно оценить величину T_s. Проведя вычисления по формуле (1), получим: T_s ~ 20K, т.е. T>>T_s.

Концентрация электронов в зоне проводимости при полном истощении донорных уровней становится равной концентрации примеси (n= N _Д). Она определяется выражением:

n = N_c exp[(Е_F - E_c)/(kT)]. (2)

Cледовательно, в нашем случае:

N_c / N_d = exp[-(Е_F - E_c)/(kT)]. (3)

Прологарифмируем выражение (3):

ln(N_c/N_d) = - (Е_F - Е_c)/(kT).(4)

Отсюда

(Е_F - Е_c) = – kT ln(N_c/N_d). (5)

Подставляя в выражение (5) численные значения величин, проведем вычисления и определим положение уровня Ферми: (Е_F - Е_c) = - 0,143 эВ.

 

Задача 2

В германии при температуре 300К концентрация собственных носителей равна 10¹⁹ м^-3. Определить концентрацию электронов n_n, дырок р_n и доноров N_d, если n_n = 1,005 N_d.

Дано: Т = 300К ni = 1019 K nn = 1,005 NД	Решение: По условию задачи мы имеем дело с примесным полупроводником n-типа (донорный полупроводник). Используем уравнение электронейтральности: nn = pn + Nd (1)
nn =? pn =? Nd =?

Подставляем условие для n_n в формулу (1):

1,005 N_d = p_n + N_{d ,}

откуда p_n = 10^-3 N_d.

Для определения N_d используем закон действующих масс:

,(2)

откуда получаем

,

и, следовательно

N_d = n_i /0,071= 5,65 м^-3.

Теперь вычислим концентрацию электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне

n_n = 1,005 N_d = 10²⁰ м^-3

p_n = 5 10^-3 N_d = 10¹⁸ м^-3

Итак, N_d = 10²⁰ м^-3, n_n = 10²⁰м^-3, p_n = 10¹⁸ м^-3