Оценка аннуитета с изменяющейся величиной платежа (переменный аннуитет)

 

На практике возможны ситуации, когда величина платежа меняется со временем в сторону увеличения или уменьшения.

В таком случае поток платежей представляет собой переменный аннуитет. Для определения будущей или приведенной стоимости аннуитета нужно пользоваться ранее указанными формулами:

Предположим, что имеется аннуитет постнумерандо, платежи которого образуют арифметическую прогрессию с первым членом А и разностью z.

Арифметической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждый член получается из предыдущего путем прибавления к нему одного и того же числа z, которое называется разностью этой арифметической прогрессии.

а, a+z, a+2z, a+3z, …, a+(n-1)z

в этом случае говорят о переменном аннуитете с постоянным абсолютным изменением его членов.

Если число периодов равно n, процентная ставка за базовый период равна r (в соответствие с r один раз в конце периода начисляются сложные проценты) и период аннуитета совпадает с базовым, то наращенный денежный поток (записанный в виде поступления платежей) имеет вид:

A(1+r)^n-1, (A+z)(1+r)^n-2, (A+2z)(1+r)^n-3,.., (A+(n-2)) z(1+r), A+(n-1)z

Складываем наращенные члены аннуитета и группируем слагаемые, содержащие А и z.

Умножаем обе части равенства (*) на (1+r)

Вычитаем из полученного путем умножения на (1+r) равенства первоначальное равенство (*)

- - -

 

Поделив (**) на (1+r)ⁿ и воспользовавшись равенством получим приведенную стоимость аннуитета

Из формул (**) и (***) можно определить значение любого параметра. Из (**) следует, что

Приведенная стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо определяется по формуле (выводится при заданных параметрах n→ , FM4(r, )= из (***):

Пусть платежи в аннуитете постнумерандо образуют геометрическую прогрессию с первым членом А и знаменателем q.

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждый член получается из предыдущего путем умножения его на одно и то же число q≠0, называемое знаменателем этой геометрической прогрессии. Геометрическую прогрессию можно записать в виде:

a, aq, aq²,aq³, …

В этом случае говорят о переме нном аннуитете с постоянным относительным изменением его членов.

Если r является процентной ставкой за базовый период, совпадающий с периодом аннуитета, n равно числу периодов и в конце каждого периода начисляются сложные проценты, то наращенный денежный поток имеет вид:

А(1+r)^n-1, Aq(1+r)^n-2, …, Aq^n-2(1+r), Aq^n-1

Т.о. наращенный денежный поток представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом А(1+r)^n-1 и знаменателем

(проверка правильности определения знаменателя

Сумма членов этой геометрической прогрессии равна:

Из этой формулы следует

Формула для определения приведенной стоимости бессрочного аннуитета (при n→ ) имеет вид: