Декартова система координат на плоскости и в пространстве

Лекция №4

Глава 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Декартова система координат на плоскости и в пространстве

	Ось — прямая линия с указанным на ней направлением.
	Ось координат — ось, на которой заданы начало отсчёта (начало координат), единичный отрезок, и каждому действительному числу соответствует определённая единственная точка.
	На плоскости Декартова (прямоугольная) система координат — две взаимно перпендикулярные оси координат (ось абсцисс Ox и ось ординат Oy) с общим началом отсчёта. Каждой точке А координатной плоскости ставится в соответствие пара чисел (x A; y A) — координаты проекций точки на соответствующие оси координат. A x (x A; 0) — проекция точки А на координатную ось Ox; A y (0; y A)— проекция точки А на координатную ось Oу.
	В пространстве Декартова (прямоугольная) система координат — три взаимно перпендикулярные оси координат (ось абсцисс Ox, ось ординат Oy и ось аппликат Oz) с общим началом отсчёта. Каждой точке А координатного пространства ставится в соответствие тройка чисел (x A; y A; z A) —координаты проекций точки на соответствующие оси координат. A x (x A; 0; 0) — проекция точки А на координатную ось Ox; A y (0; y A; 0) — проекция точки А на координатную ось Oу; A z (0; 0; z A) — проекция точки А на координатную ось Oz; A xy (x A; y A; 0) — проекция точки А на плоскость Oxy; A xz (x A; 0; z A) — проекция точки А на плоскость Oxz; A yz (0; y A; z A) — проекция точки А на плоскость Oyz.

§2. Векторы, основные определения

def. Вектором называется направленный отрезок (отрезок, у которого различают начало и конец).

Если А – начало, В – конец, то вектор обозначают (или ).

 

Часто вектор обозначают одной буквой .

def. Длиной или модулем вектора называется длина отрезка . Обозначают .

def. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается .

Замечание. Начало и конец нулевого вектора совпадают. Нулевой вектор направления не имеет.

Будем рассматривать только свободные векторы, т.е. те, которые можно переносить в любое место пространства, сохраняя длину и направление.

def. Векторы и , расположенные на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными. При этом пишут çç .

 

 

Замечание. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

def. Векторы и называются равными, если они:

1) имеют равные модули;

2) коллинеарны;

3) направлены в одну сторону.

def. Вектор называется противоположным ненулевому вектору , если этот вектор имеет модуль, равный модулю вектора , коллинеарен с ним, но направлен в противоположную сторону.

 

 

def. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.

 

 

Линейные операции над векторами. Линейное пространство

I. Сложение векторов

Правило треугольника

def. Суммой векторов и называется вектор = + , который соединяет начало 1-го вектора с концом 2-го, при условии, что точка приложения 2-го вектора находится в конце 1-го. Распространяется на любое конечное число векторов.

 

 

Частный случай. Сложение коллинеарных векторов.

 

 

 

Правило параллелограмма

Отложить от т. О векторы и . Построить на этих векторах как на сторонах параллелограмм. Вектор, служащий диагональю параллелограмма, проведенный из т. О, является суммой + .

 

 

II. Вычитание векторов

def. Разностью двух векторов и называется вектор = - , который при сложенным с вектором дает вектор .

Если = - , то + = .

Из определения вытекает правило построения - .

 

 

 

Вектор = - направлен из конца вычитаемого к концу уменьшаемого.

 

 

Частный случай.

 

 

Итак:

 

Проекция вектора на ось

Пусть даны: l – некоторая ось и – произвольный вектор.

проекция А на ось l, координата на l;

проекция B на ось l, координата на l.

def. Проекцией вектора на ось называется разность

.

Обозначим угол между и l; – наименьший угол, на который надо повернуть единичный вектор оси l до совпадения с .

 

	острый угол
	тупой угол

Свойства проекций

1. Проекция вектора на ось l равна модулю вектора умноженному на косинус угла между и осью l.

где .

Доказательство.

1 случай.

 

 

2 случай.

 

Свойство доказано.

2. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на

ту же ось.

Доказательство.

 

3. При умножении вектора на число проекция на ось также умножается на это число.

l × Þ пр _l (l ) = l пр _l .

Доказательство.

1 случай. . пр _l (l ) = cos j = l cos j = l пр _l .

 

2 случай. . пр _l (l ) = cos (p - j) = - l (- cos j) = l пр _l .

 

 

4. Проекции двух равных векторов на одну и ту же ось равны.

= Þ пр _l = пр _l .

Замечания.

1) Любые два коллинеарных вектора на плоскости линейно зависимы.

2) Любые два неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы.

 

Таким образом, для того, чтобы два вектора на плоскости были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были неколлинеарные.

Теорема. Если на плоскости заданы два неколлинеарных вектора и , то любой третий вектор плоскости может быть представлен в виде линейной комбинации векторов и , т.е.

l₁ + l₂ . (1)

Доказательство.

По условию векторы и – неколлинеарные.

1) Предположим, что неколлинеарен векторам и . Построим параллелограмм, где является диагональю, а стороны лежат на векторах и .

 

2) Пусть коллинеарен или , например, коллинеарен Þ

 

 

Теорема доказана.

Следствие 1. Всякие три вектора на плоскости линейно зависимы.

Следствие 2. Если число данных векторов на плоскости больше трех, то они линейно зависимы.

l₁ + l₂ Þ l₁ + l₂ + 0 × + … + 0 × Þ линейно зависимые.

Вывод. Максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум.

Аналогично доказывается:

1. Для того чтобы три вектора в пространстве были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были некомпланарные.

2. Если , , - три некомпланарных вектора пространства, то любой четвертый вектор пространства может быть представлен в виде линейно комбинации векторов , , .

l₁ + l₂ + l₃ . (2)

3. Всякие четыре и более векторов пространства линейно зависимы.

Вывод. Максимальное число линейно независимых векторов в пространстве равно трем.

def. Базисом на плоскости называется два любых линейно независимых вектора

плоскости, т.е. пара неколлинеарных векторов.

Базисом в пространстве называется три любых линейно независимых вектора пространства, т.е. тройка некомпланарных векторов.

Рассмотрим разложение (1) на плоскости l₁ + l₂ , где и - неколлинеарные.

Коэффициенты и называются координатами вектора в базисе , .

Аналогично для разложения (2): l₁ + l₂ + l₃ , где , , - некомпланарные векторы пространства.

Коэффициенты называются координатами вектора в базисе , ,

Замечания.

1. Если определитель, составленный из координат двух векторов плоскости, отличен от нуля, то эти векторы линейно независимы на плоскости, т.е. образуют базис на плоскости.

2. Если определитель, составленный из координат трех векторов пространства R³, отличен от нуля, то эти векторы линейно независимы в пространстве, т.е. образуют базис в R³.

 

Пример 4.1. Доказать, что векторы ₁ = (2; 0; 0), ₂ = (0; 1; 0), ₃ = (0; 0; 0,5) образуют базис в R³. Найти координаты = (2; - 4; 15) в этом базисе, т.е. разложить вектор по базису ₁, ₂, ₃. Ответ: = ₁ - 4 ₂ + 3 ₃.

 

 

III. Модуль вектора

По теореме о длине диагонали параллелепипеда

или .

- модуль вектора .

V. Направляющие косинусы

Направление вектора в пространстве определяется углами которые вектор составляет с осями Ox, Oy, Oz. Косинусы этих углов, т.е. называются направляющими косинусами вектора.

По свойству 1 проекций:

 

Тогда

Лекция №4

Глава 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Декартова система координат на плоскости и в пространстве

	Ось — прямая линия с указанным на ней направлением.
	Ось координат — ось, на которой заданы начало отсчёта (начало координат), единичный отрезок, и каждому действительному числу соответствует определённая единственная точка.
	На плоскости Декартова (прямоугольная) система координат — две взаимно перпендикулярные оси координат (ось абсцисс Ox и ось ординат Oy) с общим началом отсчёта. Каждой точке А координатной плоскости ставится в соответствие пара чисел (x A; y A) — координаты проекций точки на соответствующие оси координат. A x (x A; 0) — проекция точки А на координатную ось Ox; A y (0; y A)— проекция точки А на координатную ось Oу.
	В пространстве Декартова (прямоугольная) система координат — три взаимно перпендикулярные оси координат (ось абсцисс Ox, ось ординат Oy и ось аппликат Oz) с общим началом отсчёта. Каждой точке А координатного пространства ставится в соответствие тройка чисел (x A; y A; z A) —координаты проекций точки на соответствующие оси координат. A x (x A; 0; 0) — проекция точки А на координатную ось Ox; A y (0; y A; 0) — проекция точки А на координатную ось Oу; A z (0; 0; z A) — проекция точки А на координатную ось Oz; A xy (x A; y A; 0) — проекция точки А на плоскость Oxy; A xz (x A; 0; z A) — проекция точки А на плоскость Oxz; A yz (0; y A; z A) — проекция точки А на плоскость Oyz.

§2. Векторы, основные определения

def. Вектором называется направленный отрезок (отрезок, у которого различают начало и конец).

Если А – начало, В – конец, то вектор обозначают (или ).

 

Часто вектор обозначают одной буквой .

def. Длиной или модулем вектора называется длина отрезка . Обозначают .

def. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается .

Замечание. Начало и конец нулевого вектора совпадают. Нулевой вектор направления не имеет.

Будем рассматривать только свободные векторы, т.е. те, которые можно переносить в любое место пространства, сохраняя длину и направление.

def. Векторы и , расположенные на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными. При этом пишут çç .

 

 

Замечание. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

def. Векторы и называются равными, если они:

1) имеют равные модули;

2) коллинеарны;

3) направлены в одну сторону.

def. Вектор называется противоположным ненулевому вектору , если этот вектор имеет модуль, равный модулю вектора , коллинеарен с ним, но направлен в противоположную сторону.

 

 

def. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.