Методические указания к выполнению расчётной части

Есть несколько способов прогнозирования, но наиболее приемлемым и часто встречающимся является прогнозирование на основе временных рядов. Как правило для этого необходимо выполнить несколько этапов.

На первом этапе выявляется характер изменения прогнозируемого показателя во времени. С этой целью данные наносят на плоскость, имеющую одинаковый масштаб по горизонтальной и вертикальной оси. При визуальном построении сводится искажение зависимости прогнозируемого признака от времени и обеспечивается наглядность.

Однако не всегда с помощью графического построения можно определить устойчивую закономерность. В этом случае исходные данные подвергаются дополнительной обработке путём сглаживания рядов или определения последовательных разностей.

Наиболее простым методом сглаживания временных рядов является метод скользящей средней. С его помощью осуществляется замена фактических показателей усреднёнными.

Из полученных средних формируется новый динамический ряд, в котором в значительной степени устранено влияние случайных внешних факторов.

В зависимости от периодов времени различают скользящие средние для нечётного и чётного числа интервалов времени. Более простой расчёт средних – использование нечётного числа интервалов времени. Для трёх- и пятичленных средних расчёт выполняется по следующим формулам

Y_t’=(y_t-1+y_t+y_t+1):3, t=2,3,4,… (n-1), (1)

Y_t’=(y_t-2+ y_t-1+y_t+y_t+1+y_t+2):5? T=3,4,5,…, (n-2) (2)

где Y_t’ – скользящая средняя

В том случае, когда имеется предположение, что зависимость анализируемого признака во времени характеризуется одним из многочленов

Y_t=a₀+a₁t (3)

Y_t=a₀+a₁t+a₂t² (4)

Y_t= a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³ (5)

Y_t= a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³+…+a_kt^k (6)

Для выбора конкретного вида уравнения используется метод конечных разностей.

В основе этого метода лежит свойство полинома степени k обращать в нуль разности Δ_t^k+1 и придавать одинаковые значения разностям Δ_t^k.

Для расчёта разностей n-ого порядка применяются следующие формулы:

1-го порядка: _Δt¹=y_t+1-y_t (t=1,2,3,..,n) (7)

2-го порядка: _Δt²= _Δt+1¹- _Δt¹ (8)

3-го порядка: _Δt²= _Δt+1²- _Δt² (9)

Методы скользящих средних и конечных разностей упрощает выявление закономерностей изменения прогнозируемого показателя, они позволяют наглядно представить динамику процесса, однако нельзя рассматривать получение оценки, как безусловные доказательства для предвидения будущего.

Научно обоснованный прогноз требует предвидения глубокого качественного анализа причин, влияющих на признак, исследование тенденции его развития и взаимодействия с внешними факторами.

Найденная математическая зависимость прогнозирующей функции от фактора и представленная в форме конкретного уравнения называется трендом.

Для определения параметров тренда принимают различные методы, среди которых наибольшее распространение получил метод наименьших квадратов.

Применение метода наименьших квадратов позволяет устанавливать наличие связи между признаками временного ряда и определять константы и коэффициенты функции Yt = f (t). Во временных рядах в качестве независимой переменной выступает показатель времени – t.

Метод наименьших квадратов делает возможным найти такую функцию, отклонения которой от фактических значений динамического ряда (Yt) будут минимальными. Аналитически это выражается формулой

. (10)

Подставив в уравнение (10) связи функции с фактором времени (t), получим следующее выражение

. (11)

Приравняв частные производные выражения (11) нулю и после соответствующих преобразований, получаем систему уравнений для линейного тренда

 

;

. (12)

 

После подстановки в систему (12) имеющейся исходной информации (yt и t) рассчитывают параметры тренда «а» и «b». Значение «n» в парном нормальном уравнении системы означает длину исходного временного ряда.

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из данной системы.

Если характер изменения признака описывается полиномом 2-го и более высокого порядка, необходимо придерживаться следующего правила построения системы нормальных уравнений.

 

 

1. Записывается общий вид уравнения

yt= a+bt+ct . (13)

2. Выделяются искомые параметры а, b, c.

3. Умножается свободный член уравнения (13) «а» на общее число элементов в динамическом ряду «n». Перед другими членами уравнения ставится знак суммирования -

yt= na+b t+c t . (14)

Если в уравнении (13) свободный член «а» отсутствует, действие третьего этапа не выполняется.

4. Умножаются все члены уравнения на t при втором искомом параметре «b». Перед всеми другими членами ставится знак суммирования -

yt t= a +b t +c t . (15)

5. На последующих этапах умножение повторяется до тех пор, пока не будут использованы все сомножители, стоящие рядом с искомыми параметрами.

Общее количество нормальных уравнений должно соответствовать числу параметров, подлежащих определению.

Последнее (третье) уравнение в рассматриваемом случае имело бы следующий вид

yt t = a +b t +c t . (16)

Рассчитав все суммы (), определяют константы уравнения (а, в, с,...,k).

В тех случаях, когда в качестве тренда используется гиперболическая, экспоненциальная, степенная, логистическая и некоторые другие функции, первоначально проводится линеризация кривой, позволяющая перейти от нелинейных связей к линейным (табл.2).

Для оценки правильности выбора аналитической зависимости наряду с вариациями расчетных значений по отношениям к исходным уровням динамического ряд, индексом корреляции и коэффициентом детерминации используется также и специальный показатель – критерий Р.Фишера (F). F-критерий определяется по формуле

, (17)

где - факториальная дисперсия, характеризующая вариацию за счет фактора t;

- остаточная дисперсия, характеризующая отклонения между исходными и расчетными значениями переменной .

 

Т а б л и ц а 2 - Линеризация функций

 

Функция	Вид уравнения	Способы замены переменных	Линеризованное уравнение
Гиперболическая		Заменяем
Степенная		1.Логарифмируем 2.Заменяем
Экспоненциальная		1.Логарифмируем 2.Заменяем
Логистическая		1.Преобразуем 2.Заменяем
Простая модифицированная экспоненциальная		Заменяем

 

Дисперсии и определяются путем деления суммы квадратов отклонений не на количество уровней динамического ряда, а на число степеней свободы. Эти расчеты ведутся по формулам

; (18)

. (19)

где N –количество констант в уравнении регрессии;

n – количество элементов в динамическом ряду.

Правильность выбора уравнения тренда определяется сравнением F -критерия, рассчитанного по формуле (17) с табличной величиной (см.приложение А).

Табличное значение критерия Р.Фишера устанавливается для и степеней свободы и выбираемой доверительной вероятности (Р). Доверительная вероятность определяет степень достоверности суждения о возможных значениях статистических характеристик. Чаще всего используется доверительные вероятности Р=0,95 или Р=0,99.

Степени свободы рассчитываются по формулам

; (20)

. (21)

Если F окажется больше F т, то уравнение тренда можно использовать для описания закономерности .

Экстраполяция одиночных динамических рядов позволяет установить точечные значения переменной на перспективу. Однако вследствие того, что отсутствует функциональная связь между показателем и временем t, реальная величина переменной после окончания периода упреждения может отличаться от прогнозной. Эти отклонения могут возникнуть по ряду причин:

- из-за того, что уровни временного ряда представляют не генеральную, а выборочную совокупность – так называемую выборку;

- воздействием на прогнозируемый показатель не только аргумента t, но и множества факторов, не включенных в уравнение.

Эти обстоятельства требуют выполнения специальной проверки результатов прогнозирования.

В ходе такой проверки решаются две задачи по оценке пригодности уравнения, построенного по выборочным данным, и определение возможных отклонений от точечного прогноза, полученного методом экстраполяции функции.

Статистическая значимость параметров уравнения тренда выполняется на основе расчета доверительной зоны выборочной линии регрессии, в рамках которой может располагаться линия тренда.

Для уравнения линейной зависимости - построение доверительной зоны выполняется в следующем порядке:

- определяется значимость параметров «а» и «b» по формулам

; 22)

, (23)

где - случайная ошибка параметра «a»;

- случайная ошибка параметра «b»;

- остаточное среднее квадратическое отклонение, рассчитываемое по формуле

; (24)

- оцениваются расхождения между уравнениями выборочной и генеральной совокупности по t – критерию Стьюдента. Значение этого критерия рассчитывается по формулам:

; (25)

. (26)

Полученные и сравниваются с табличными t т, найденными для K=n-2 степеней свободы и принятой вероятности 0,95 или 0,99 (см.приложение Б). Если t ф > t т, то параметры «а» и «b» считаются статистически значимыми и могут быть использованы для расчета переменной . Если t ф < t т, то расхождения от линии регрессии, полученной по всей генеральной совокупности, недопустимо велики;

- находятся доверительные границы параметров «а» и «b» по формулам:

; (27)

. (28)

Зная и , можно в пределах точности выбранной вероятности утверждать, что в генеральном уравнении тренда, т.е. уравнении, построенном по всей генеральной совокупности признаков временного ряда, параметры «а г» и «b г» принимают одно из значений

и .

Для графического отображения доверительной зоны для каждого значения t по формуле (29) определяют ординаты точек по верхней и нижней граничным кривым ()

, (29)

где , (30)

.

Расположение граничных кривых определяется соединением плавными линиями отдельно точек и .

На точность прогноза оказывает воздействие не только расхождения между константами («а» и «b») уравнений, построенных по выборочным совокупностям. Конечный результат зависит также и от величины отклонений между расчетными значениями признака - и их фактическими уровнями - .

Для определения интервала колеблемости переменной на момент прогноза необходимо к уже рассмотренным источникам вариации (колеблемость параметров «а» и «b») добавить отклонения фактических значений переменной по отношению к точкам на линии регрессии .

Доверительные интервалы для индивидуальных значений признака определяются по формуле , (31)

где . (32)

Зная , можно с заданным уровнем вероятности утверждать, что фактическое значение прогнозируемой величины не выйдет за пределы доверительных интервалов.

5 Правила оформления курсовой работы

Курсовая работа печатается с помощью средств компьютерной техники на одной стороне стандартного листа формата А4. Объем курсовой работы – от 25 до 35 страниц. Текст основной части печатается 14 шрифтом Times New Roman, с полуторным интервалом. Абзацный отступ – 1,25 мм.

Размер левого поля – 30 мм, правого – 15 мм, верхнего – 15 мм, нижнего – 25 мм. На странице располагается от 28 до 30 строк.

Титульный лист и индивидуальное задание на курсовую работу включаются в общую нумерацию, но номера страниц на них не проставляются. Номера страниц проставляют, начиная с содержания, в нижнем правом углу листа.

Текст основной части курсовой работы должен быть разбит на разделы и подразделы. Разделы нумеруют арабскими цифрами без точки после номера и названия раздела и подраздела.

Подразделы должны иметь нумерацию в пределах каждого раздела. Номер подраздела состоит из номеров раздела и подраздела, разделенных точкой. В конце номера подраздела точка не ставится, например, «2.3». Подразделы могут быть разбиты на пункты. Пункты нумеруют арабскими цифрами в пределах подраздела.

Заголовки разделов выполняют 16 шрифтом, полужирно. Заголовки подразделов выполняют 14 шрифтом, полужирно. Заголовки разделов и подразделов выделяют двойным интервалом.

Разделы (введение, заключение, список использованных источников и приложения) следует начинать с новой страницы.

Нумерация листов работы с приложениями должна быть сквозная.

Лист должен быть заполнен не менее, чем на 75 %. В нумерации заголовков точки не ставятся. Не допускается перенос в словах заголовка.

Оформленная курсовая работа должна быть прошита. На обороте последней страницы студент ставит свою подпись и дату выполнения как автор работы. Студент отвечает за грамотность и аккуратность оформления курсовой работы.

Приложенияобозначают заглавными буквами русского алфавита, начиная с А, за исключением букв Е, З, Й, О, Ч, Ь, Ы, Ъ. Каждое приложение должно начинаться с новой страницы с указанием наверху посередине страницы слова «Приложение» с прописной буквы. На следующей строчке учитывается характер приложения (обязательное, рекомендуемое или справочное). Рисунки, таблицы и формулы, помещаемые в приложении, нумеруются арабскими цифрами в пределах каждого приложения.

Приложение должно иметь заголовок, который записывают с прописной буквы отдельной строкой и отражают в содержании курсовой работы. В основном тексте курсовой работы делают ссылки на приложения (например, в приложении А).

Формулы, за исключением формул, помещаемых в приложении, должны нумероваться сквозной нумерацией арабскими цифрами, которые записывают на уровне формулы справа в круглых скобках (1). На все формулы должны быть ссылки по тексту (например, «Расчет степеней свободы произведем по формулам (20, 21)»). Допускается нумерация формул в пределах раздела. Номер формулы состоит из номера раздела и порядкового номера формулы, разделенной точкой (например, 4.20, 4.21).

Формулы, помещаемые в приложении, должны нумероваться отдельной нумерацией арабскими цифрами в пределах каждого приложения, с добавлением перед каждой цифрой обозначения приложения (например, формула (В.1)).

Все иллюстрации обозначаются словом «Рисунок» и нумеруются арабскими цифрами. Данное обозначение размещают непосредственно под рисунком с абзацного отступа. Расстояние от обозначения до следующего за рисунком текста составляет от 6 до 12 пт.

При ссылках на иллюстрации следует писать «В соответствии с рисунком 1….» или «…что представлено на рисунке 1».

Для наглядности и удобства сравнения показателей применяют таблицы. Каждая таблица должна иметь номер и название. Слово

«Т а б л и ц а» и ее название начинают с прописной буквы и располагают с начала строки над таблицей. Расстояние между текстом и названием таблицы может составлять от 6 до 12 пт.

Ссылка на литературу по тексту проводится в виде номера, соответствующего литературному источнику или нормативному документу, приведенному в библиографическом списке и заключенному в квадратные скобки. Последовательность расположения источников в библиографическом списке должна соответствовать последовательности упоминания их в тексте.

Основные элементы списка использованных источников: фамилия автора и его инициалы; название книги без кавычек; место издания; название издательства; год издания; номер (номера) страницы.