Модуль «вероятностные методы»

Тема 1. Вероятность и ее свойства

Введение в теорию вероятностей. Случайные события и операции над ними. Полная группа событий. Вероятность. Условные вероятности. Вероятность произведения событий. Независимые события. Формула полной вероятности

 

Задание 1. Что такое случайное событие?

Задание 2. Приведите пример случайного события.

Задание 3. Приведите пример достоверного события.

Задание 4. Приведите пример невозможного события.

Задание 5. Определите вид события: случайное, достоверное, невозможное:

Два попадания при трех выстрелах.

Наугад выбранное число не больше ста.

Появление 12 очков при бросании двух игральных костей.

Появление 2 очков при бросании трех игральных костей.

Наугад выбранное число, составленное из цифр 1,2,3 без повторений меньше четырехсот.

Появление составленного из цифр 1,2,3,7,8 и кратного девяти числа при произвольном однократном наборе указанных цифр.

Появление составленного из цифр 1,2,3,7,8 и кратного трем числа при произвольном однократном наборе указанных цифр.

 

Задание 6. Укажите события, противоположные данным:

а) на кубике выпало 1;

б) Света получила на экзамене «5»;

в) после ночи наступает утро?

 

Задание 7. Опыт состоит в бросании двух монет. Рассматриваются следующие события:

А - появление герба на первой монете;

В -появление цифры на первой монете;

С - появление герба на второй монете;

D - появление цифры на второй монете;

E - появление хотя бы одного герба;

F - появление хотя бы одной цифры;

G - появление одного герба и одной цифры;

H - непоявление ни одного герба;

K - появление двух гербов.

Определите, каким событиями этого списка равносильны следующие события:

А+ С; АС; EF; ВD; E+ K

Задание 8. Опыт состоит в произведении трех выстрелов по мишени. Рассматриваются события:

- попадание при первом выстреле;

- попадание при втором выстреле;

- попадание при третьем выстреле.

Выразите следующие события через , , и операции над событиями:

A - три попадания; B - три промаха; C- хотя бы одно попадание; D- хотя бы один промах.

Задание 9. Определите совместны или несовместны события:

Опыт: в аудиторию вошел человек;

события: А – вошедший человек старше 30 лет; В – вошедший человек – мужчина.

Опыт: некто набирает номер телефона;

события: А – набранный номер занят; В – набранный номер свободен.

Опыт: выполнение контрольной работы;

события: А – справиться с работой; В – получить «отлично».

Опыт: бросание игральной кости;

события: А – выпадение 5 очков; В – выпадение четного числа очков.

Опыт: бросание игральной кости;

события: А – выпадение нечетного числа; В – выпадение не менее трех очков.

Опыт: бросание монеты;

А – выпадение герба; В – выпадение цифры.

Опыт: два выстрела по мишени;

события: А – хотя бы одно попадание; В – хотя бы один промах.

Опыт: извлечение двух карт из колоды;

события: А – появление двух карт черной масти; В – появление туза; С – появление дамы.

Задание 10. Из приведённых событий несовместными являются:

1) «Выбивание менее 5 очков при стрельбе по мишени» и «Выбивание четного числа очков при стрельбе по мишени»;

2) «Наступление ночи» и «Восход солнца»;

3) «Появление 6 при бросании игральной кости» и «Появление 4 при бросании игральной кости»;

4) «Выбивание менее 5 очков при стрельбе по мишени» и «Выбивание от 7 до 10 очков при стрельбе по мишени».

Задание 10. Определите, какими – элементарными или составными – являются следующие события:

Попадание в мишень при осуществлении одного выстрела.

Возраст ученика не превышает 10 лет.

Выпадение герба при одном бросании монеты.

Пойти в отпуск в один из летних месяцев.

При бросании игральной кости выпало четное число очков.

Задание 11. Пусть испытание состоит в подбрасывании монеты трижды. Опишите пространство элементарных событий для этого испытания. Из скольких точек оно состоит?

Задание 12. Пусть имеется четыре буквы: а,а,м,м. Опишите пространство элементарных событий для написания всевозможных «слов» из этих букв, если одинаковые буквы не различаются и никакая буква не повторяется в «слове» дважды. Сколько элементов в получившемся пространстве?

Задание 13. Пусть имеется четыре буквы: а,а,м,м. Опишите пространство элементарных событий для написания всевозможных «слов» из этих букв, если одинаковые буквы различаются (например, и ) и никакая буква не повторяется в «слове» дважды. Сколько элементов в получившемся пространстве?

Задание 14. Сколько элементов в пространстве элементарных событий, соответствующем опыту подбрасывания двух игральных костей?

Задание 15. Есть ли отличие с точки зрения пространства элементарных событий между следующими испытаниями:

а) подбрасывание одновременно двух монет;

б) подбрасывание одной монеты дважды?

Задание 16. Образуют ли полную группу попарно несовместных событий следующие группы событий:

Опыт: в аудиторию вошел человек;

события: А – вошедший человек студент; В – вошедший человек – студентка.

Опыт: некто набирает номер телефона;

события: А – набранный номер занят; В – набранный номер свободен.

Опыт: бросание игральной кости;

события: А – выпадение четного числа очков; В – выпадение положительного числа очков.

Опыт: бросание монеты;

А – выпадение герба; В – выпадение цифры.

Опыт: бросание двух монет;

события: А – выпадение герба на первой монете; В – выпадение цифры на второй монете.

Опыт: бросание двух монет;

события: А – выпадение двух гербов; В – выпадение двух цифр.

Опыт: два выстрела по мишени;

события: А – ни одного попадания; В – одно попадание; С – два попадания.

Опыт: два выстрела по мишени;

события: А – хотя бы одно попадание; В – хотя бы один промах.

Опыт: извлечение двух карт из колоды;

события: А – появление двух карт черной масти; В – появление туза; С – появление дамы.

Опыт: извлечение карты из колоды;

события: А – появление карты червонной масти; В – появление карты бубновой масти; С – появление карты трефовой масти.

Задание 17. На завод привезли партию из 1000 подшипников. Случайно в эту партию попало 30 подшипников, не удовлетворяющих стандарту. Определить вероятность р того, что взятый наудачу подшипник окажется стандартным.

Задание 18. Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность того, что:

А) выпадет четное число очков;

Б) выпадет не менее 5 очков;

В) выпадет не более 5 очков.

Задание 19. В урне а белых и в черных шаров. Из урны наугад извлекают один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Задание 20. Бросаются две монеты. Какова вероятность того, что обе монеты упадут «гербом» кверху?

Задание 21. Бросаются два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7?

Задание 22. Бросаются два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков меньше 13?

Задание 23. Игральная кость бросается два раза. Найти вероятность того, что, оба раза появится одинаковое число очков.

Задание 24. Цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 написаны на карточках, которые тщательно перемешаны. Произвольным образом вынимаются подряд три карточки и кладутся в ряд. Какова вероятность того, что число, составленное из трех цифр, которые написаны на карточках, больше 987?

Задание 25. В урне 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Из урны вынимают сразу два шара. Какова вероятность р того, что оба шара окажутся белыми?

Задание 26. В группе 30 учащихся. Из них 12 юношей, остальные – девушки. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность того, что это девушки?

Задание 27. Вероятность наступления некоторого события не может быть равна:

1) 0;

2) 1;

3) 0,5;

4) 2.

Задание 28. Из коробки, в которой 3 желтых, 4 синих и 6 красных карандашей, наудачу берут один карандаш. Какова вероятность того, что этот карандаш синий или красный?

Задание 29. В денежно – вещевой лотерее 10 000 билетов. Разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. У студента имеется один билет. Чему равна вероятность выигрыша?

Задание 30. В урне 2 зеленых, 7 красных, 5 коричневых и 10 белых шаров. Какова вероятность p появления цветного шара?

Задание 31. В лотерее выпущено 10 000 билетов и установлено: 10 выигрышей по 20 000 рублей, 100 выигрышей по 1 000 рублей, 500 выигрышей по 250 рублей и тысяча выигрышей по 100 рублей. Студент купил один билет. Какова вероятность того, что он выиграет не менее 250 рублей?

Задание 32. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?

Задание 33. Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна. Какова вероятность того, что будет вынута пика или дама?

Задание 34. Бросаются две монеты. Рассматриваются события:

А - выпадение герба на первой монете;

В - выпадение герба на второй монете. Найдите вероятность события А+ В.

Задание 35. Пусть брошены две монеты. Найдите вероятность появления двух гербов.

Задание 36. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработают оба сигнализатора.

Задание 37. На складе находятся 26 деталей из которых 13 стандартные. Рабочий берет наугад две детали. Определите вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

Задание 38. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула в первом справочнике, равна 0,6; во втором – 0,7; в третьем – 0,8. Найдите вероятность того, что формула содержится в:

а) только в первом справочнике;

б) во всех справочниках;

в) во втором и в третьем, но не содержится в первом.

Задание 39. Какова вероятность того, что при десятикратном бросании монеты герб выпадет 10 раз?

Задание 40. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, для первого станка равна 0,9, для второго – 0,8, для третьего – 0,7. Найти: а) вероятность р того, что в течение часа ни один из трех станков не потребует внимания рабочего; б) вероятность того, что в течение часа по крайней мере один из станков не потребует внимания рабочего.

Задание 41. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.

Задание 42. Из урны, содержащей 3 белых и 7 черных шаров, вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

Задание 43. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее наугад. Найдите вероятность того, что ему придется сделать не более двух неудачных попыток.

Задание 44. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе - 0,9, в третье - 0,8. Найти вероятность следующих событий:

а) только одно отделение получит газеты вовремя;

б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

Задание 45. В сборочный цех поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 51% деталей от их общего количества, на втором станке 24% и на третьем 25%. При этом на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта, на втором 80% и на третьем 70%. Используя формулу полной вероятности определить, какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта?

Задание 46. Студент подготовил к экзамену 20 билетов из 25. В каком случае шансы взять известный билет больше – когда студент пришел на экзамен первым или вторым?

Задание 47. Наудачу выбираем колоду, а из нее карту. В каком случае вероятность достать туз больше: если выбирать карту из двух колод, содержащих по 32 и 52 карты, или выбирать карту из трех колод в 36 карт и одной в 52?

Задание 48. Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике находится 26 белых шаров, во втором 15 белых и 11 черных, в третьем ящике 26 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Используя формулу Байеса вычислить вероятность того, что белый шар вынут из первого ящика.

Задание 49. В каждой из трех урн содержится по одному белому и одному черному шару. Из первой урны во вторую переложили один шар, из второй пополненной урны в третью тоже переложили один шар, а затем из третьей урны наудачу извлекли один шар. Какова вероятность извлечь белый шар из третьей пополненной урны?

Задание 50. Предположим, что 5 мужчин из 100 и 25 женщин из 10000 являются дальтониками. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность, что это мужчина?

 

Тема 2. Случайные величины