Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников

 

 

7.2. Метод трапеций

В данном методе (дуга f(x) заменяется хордой CD) (рис. 7.6).

Рис. 7.6. Оценка элементарной площади S_i трапецией

Из рисунка 7.6. видно, что

Отсюда:

(7.7)

Погрешность формулы трапеций пропорциональна квадрату шага h , т. е. формулы центральных прямоугольников и трапеций имеют близкую точность.

Знак погрешности легко объяснить по геометрической иллюстрации применения формулы.

 

 

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом трапеций

Метод Симпсона

 

На каждом элементарном отрезке подынтегральная функция f(x) заменяется квадратичной параболой, построенной по трем точкам: концам элементарного отрезка (), () и его середине ().

Площадь полученной криволинейной трапеции служит оценкой элементарной площади S_i:

.

Тогда значение интеграла:

Преобразуем данную формулу:

(7.8)

Формула Симпсона имеет высокую точность, так как погрешность метода d_м = О(h³).

Блок-схема алгоритма вычисления определенного интеграла методом Симпсона.

Точность и сходимость методов прямоугольников, трапеций, Симпсона

 

Формулы для оценки погрешности численного интегрирования методом:

1) прямоугольников:

; (7.9)

2) трапеций:

; (7.10)

3) Симпсона:

, (7.11)

где

 

Формула Симпсона обладает повышенной точностью, т. к.:

1) она оказывается точной для являющихся полиномами до третьей степени включительно, т. к. для этих случаев производная четвертого порядка равна нулю;

2) для достижения той же точности, что и в формуле трапеций, в формуле Симпсона можно брать меньшее число отрезков разбиения.

 

 

Задание

 

Вычислить определенный интеграл методами:

 

1) трапеций;

2) прямоугольников;

3) Симпсона.

 

 

Варианты заданий:

№ Вар.	Подынтег- ральная функция	Интервал интег- рирования [a, b]	Кол-во частей разбие-ния: n1, n2, n3	Первообразная функция F(x)
		[2;5]	40, 80, 200
		[3;7]	80, 150, 400
		[0,9;3,1]	20, 100, 500
		[0,2; ]	50, 180, 400
		[0,8;1,9]	50, 200, 1000
		[1;5]	30, 500, 1200
		[2; 6]	100, 300, 2000
		[1;3]	50, 400, 2500
		[0,8;4,5]	25,150, 1000
		[2;3]	40, 300, 2000
		[1,7;3,2]	50, 250, 500	-2·1n()
		[2,1;4,2]	80, 300, 2000
		[3;5]	50, 500, 4000
		[2;3,1]	40, 200, 5000
		[2;4]	60, 180, 3500

7.5. Контрольные вопросы

 

1. Объяснить геометрический смысл определенного интеграла.

2. Какой зависимостью связан шаг интегрирования с количеством интервалов?

3. Какой из методов вычисления определенного интеграла является самым точным и как это определяется?

 

 

 

Лабораторная работа № 8. РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

 

Дифференциальные уравнения

Общий вид дифференциального уравнения 1-го порядка:

. (8.1)

Если это уравнение разрешимо относительно , то

или (8.2)

Общим решением уравнения (8.1) называется функция

(8.3)

от x и произвольной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество.

Частным решением уравнения (8.1) называется решение, полученное из общего решения (8.3) при фиксированном значении С:

, (8.4)

где – фиксированное число.

Задача Коши. Найти решение дифференциального уравнения (8.1), удовлетворяющее заданным начальным условиям: при . Другими словами, найти интегральную кривую уравнения (8.1), проходящую через данную точку .

 

 

8. 1. Метод Эйлера (метод Рунге – Кутта 1-го порядка)

 

Разобъем [a, b] на n равных частей – элементарных отрезков, x ₀, x ₁, …, x _n будем называть узлами сетки, h = (b – a) / n - шаг сетки.

Очевидно, что , ; , .

Заменим в уравнении (8.1) в точке x_i ее приближенной оценкой – отношением приращений (это следует из определения производной):

 

.

Тогда получаем:

 

Отсюда формула Эйлера:

 

(8.5)

 

, – номер узла

Зная y₀ в точке x₀ (начальное условие) можно найти y₁, затем, используя уже известные значения x₁ и y₁, вычислить x₂ и y₂ и так далее.

Если функция , , для , , то имеет место неравенство:

,

где , .

Оценка имеет лишь теоретическое значение. На практике чаще всего пользуются двойным пересчетом на ЭВМ: расчет на отрезке (повторяют с шагом ) и погрешность более точного решения (при шаге ) оценивают по формуле:

.

 

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию метода Эйлера (рис. 8.1). В координатах (x, y) отобразим известные данные: отрезок [a, b] на оси Х и начальное условие y ₀ – точка А с координатами (a, y ₀). Отрезок [a,b] разобьем на n равных частей, получим узлы равномерной сетки a = x₀, x₁, x₂, …, x_n = b. Вычислим значения первой производной искомой функции в точке А, используя координату этой точки и исходное уравнение (8.3):

Полученное значение позволяет построить касательную к искомой функции в точке А. Эту касательную можно использовать для вычисления приближенного значения искомой функции в новом узле х₁ (кривую y(x) заменяем отрезком АВ на элементарном отрезке [ x₀, x₁ ]).

 

 

Рис. 8.1. Геометрическая иллюстрация метода Эйлера.

 

 

Зная (x₁,y₁), можно аналогично получить новую точку (x₂,y₂) и т. д.

 

Из геометрической иллюстрации следует, что:

1. На каждом шаге есть погрешность (на рис. 8.1 это отрезок BD).

Погрешность тем больше, чем больше шаг.

2. Ошибка может накапливаться.

Формула Эйлера (8.3) имеет погрешность метода .

Для практического выбора h с целью обеспечения заданной точности решения задачи e применяется следующий прием.

Выполняются 2 расчета: с n и 2 n узлами. Если полученные значения функции во всех узлах отличаются не более чем на e, задача считается решенной. Если нет, число узлов вновь удваивают и опять сравнивают полученные значения функций.

Таким образом, расчет продолжается до достижения условия

. (8.6)

Значение n может достигать большой величины – более 1000. Чтобы не печатать столько значений функции, в алгоритме решения ОДУ методом Эйлера нужно предусмотреть печать не всех рассчитанных значений, а только части их, например, 10-ти значений, распределенных равномерно по всему отрезку.

Пример 1. Дано уравнение .

Найти решение для отрезка [0; 1], если y(0) = 1.

Выберем n = 10, тогда шаг h =(1-0)/10 = 0,1.

Запишем уравнение в каноническом виде

Начальная точка x₀ = 0, y₀ = 1.

Вычислим первую точку

x₁ = x₀ + h = 0 + 0,1 = 0,1

Вычислим вторую точку:

Аналогично нужно вычислить еще восемь точек (т. к. выбрано n=10).