Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-09-28 | 1287 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
8.2. Модифицированный метод Эйлера (метод Рунге – Кутта 2-го порядка)
Пусть требуется найти решение задачи Коши:
, , .
Как и в методе Эйлера, на отрезке зададим конечное множество точек , (). По методу Эйлера – Коши вычисление приближенного решения проводится следующим образом:
Вначале вычисляется первое приближение:
,
Затем находится более точное приближение:
.
Остаточный член на каждом шаге в методе Эйлера – Коши имеет порядок .
Оценка погрешности может быть получена с помощью двойного пересчета на ЭВМ. Расчет повторяют с шагом и погрешность более точного решения (при шаге ) оценивают приближенно:
.
|
|
Рис. 8.2. Геометрическая иллюстрация модифицированного метода Эйлера.
Расчетные формулы:
- значение функции в середине отрезка [x0, x1].
- значение функции в конце отрезка [x0, x1].
Формула модифицированного метода Эйлера:
, (8.7)
где I = 0, 1, …., n-1 - номер узла;
xi = a + i×h – координата узла;
у0 = у(х0) – начальное условие.
Алгоритм решения ОДУ модифицированным методом Эйлера отличается от описанного ранее алгоритма метода Эйлера, представленного на блок-схеме, только алгоритмом расчета новой точки.
Погрешность метода d» О(h3).
Усовершенствованный метод Эйлера – Коши можно еще более уточнить, применяя итерационную обработку каждого значения . Вначале вычисляется
,
а затем это приближение уточняется по формуле:
.
Итерации продолжают до тех пор, пока в пределах требуемой точности два последовательных приближения и не совпадут. После чего принимается за приближенное значение .
|
Пример 2. Решим ранее рассмотренное уравнение (пример 1) модифицированным методом Эйлера.
Y’ – 2×y + x2 = 1, x Î [0;1], y(0) = 1.
Пусть n = 10, h = (1 – 0)/10 = 0,1.
Начальная точка x0 = 0, y0 = 1.
Рассчитаем первую точку:
Аналогично рассчитаем 2, 3, …,10 точки.
Блок-схема алгоритма расчета новой точки модифицированным методом Эйлера
Метод усредненных точек
Пусть требуется найти решение задачи Коши:
, , .
Как и в методе Эйлера, на отрезке зададим конечное множество точек , (). По усовершенствованному методу ломаных сначала вычисляются промежуточные значения:
, ,
а затем полагают, что
,
где .
В этом методе для повышения точности используется усредненное значение производной на рассматриваемом отрезке:
.
В приведенной формуле yi+1 входит в обе части уравнения и не может быть выражено явно. Чтобы обойти эту трудность, в правую часть вместо yi+1 подставляется значение, рассчитанное по формуле Эйлера (8.5).
.
Получаем формулу исправленного метода Эйлера:
, (8.8)
где I = 0, 1, …., n – 1 - номер узла;
xi = a + i× h – координата узла;
у0 = у(х0) – начальное условие.
Погрешность исправленного метода Эйлера dМ = О(h3).
Алгоритм решения ОДУ методом усредненных точек отличается от описанного ранее алгоритма метода Эйлера, представленного на блок-схеме, только алгоритмом расчета новой точки.
Блок-схема алгоритма расчета новой точки средненным методом Эйлера:
Рис. 8.3. Геометрическая иллюстрация усредненного метода Эйлера.
L1 – касательная к у(х) в начальной точке А, с tga0 = f(x0, y0);
т. В – значение вычисляется по формуле Эйлера;
L2 – касательная к у(х) в точке В, с tga1 = f(x1, );
L3 – прямая через В со среднеарифметическим углом наклона;
L4 - прямая, параллельная L3, проведенная через точку А.
Пример 3. Решим ранее рассмотренное уравнения (пример 1) усредненным методом Эйлера.
Y’ – 2×y + x2 = 1, x Î [0;1], y(0) = 1.
|
Пусть n = 10, h = (1 – 0) / 10 = 0,1.
Начальная точка x0 = 0, y0 = 1.
Рассчитаем первую точку:
Аналогично можно вычислить значения функции во 2, 3, …, 10-й точках.
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!