Приложения векторного произведения в геометрии

 

1. Условие коллинеарности векторов.

Если , то (и наоборот), т.е.

.

 

2. Нахождение площади параллелограмма и треугольника.

Согласно определению векторного произведения векторов и , т.е. . И, значит, .

Пример 4.3. Даны векторы и . Найти:

1) вектор . Будут ли вектора и коллинеарными?

2) высоту параллелограмма, построенного на векторах и .

Решение. 1) Согласно формуле (4.3) находим вектор :

.

Таким образом, .

Так как , то вектора и не коллинеарны.

2) Рассмотрим параллелограмм ABCD, построенного на векторах и , где . BH – высота параллелограмма, которая находится по следующей формуле:

,

где - площадь параллелограмма, AD – основание параллелограмма.

По определению векторного произведения . Значит,

.

Находим .

Следовательно, .

,

 

Приложения векторного произведения в физике

 

1. Определение момента силы относительно точки.

Заметим, что величина момента не зависит от точки A приложения силы на ее линии действия AB. В самом деле,

,

где OH – перпендикуляр к AB. Величина OH от точки A не зависит.

 

2. Определение линейной скорости вращения.

 

3. Определение силы, действующей на проводник с током.

Известно, что магнитное поле действует как на отдельно движущиеся заряды, так и на проводники, по которым проходит электрический ток. При этом установлено, что сила , с которой однородное магнитное поле действует на прямолинейный проводник длиной l с током , определяется законом Ампера , где – вектор магнитной индукции, характеризующий силовое воздействие магнитного поля.

 

Пример 4.4. К точке приложены три силы , и . Найти модуль момента равнодействующей этих сил относительно точки .

Решение. Сначала находим равнодействующую трех данных сил по формуле . Тогда

.

Поскольку в условии задачи рассматривается момент равнодействующей сил относительно точки , то находим координаты радиус-вектора точки , т.е. координат вектора . Тогда .

Далее находим момент силы относительно точки , т.е. :

.

Модуль момента силы находим по формуле (2.3):

.,

 

5. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

 

Смешанное произведение векторов и его свойства

 

Определение 5.1. Смешанным (векторно-скалярным) произведением трех векторов называется число, обозначаемое , равное скалярному произведению вектора и вектора , т.е.

. (5.1.)

 

Выясним геометрический смысл смешанного произведения. В пространстве каждая тройка некомпланарных векторов , и , приложенных к одной точке определяет параллелепипед, ребра которого являются эти векторы.

правой тройки векторов и для левой. Получаем

,

где V – объем параллелепипеда, образованного векторами , и .

Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятых со знаком «+», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «-», если они образуют левую тройку.