Модуль вектора. Направляющие косинусы

Легко заметить, что координатами единичного вектора (орта) являются числа , т.е. .

Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т.е. сам вектор.

Мы видим, что вектор можно представить как упорядоченная совокупность двух чисел, если вектор находится на плоскости, т.е. ; как совокупность трех чисел, если вектор находится в 3-х-мерном пространстве, т.е. .

Но в математике и ее приложениях часто приходиться изучать такие объекты, для задания которых недостаточно двух или трех действительных (вещественных) чисел. Например, положение твердого тела в пространстве определяется совокупностью шести вещественных чисел: три координаты его центра масс, два угла, характеризующие направление некоторой фиксированной оси, проходящей через центр масс, и, наконец, угол поворота вокруг этой оси. Этот пример свидетельствует о целесообразности обобщения понятия вектора на случай любой конечной упорядоченной совокупности вещественных чисел.

Определение 2.1. Упорядоченная совокупность n вещественных чисел называется n -мерным вектором, а числа - координатами вектора, т.е.

.

Смысл требования упорядоченности состоит в том, что если переставить любые два неравных числа в этой совокупности, то получится другая совокупность, отличная от исходной. Как правило, векторы записывают строкой, но иногда необходимо записать вектор столбцом, т.е.

.

Можно сказать, что множество всех n -мерным векторов находится в так называемом -мерном пространстве (корректно понятие будет введено ниже).

Алгебраический вектор, как мы видели выше, можно представить в виде разложения по единичным векторам, т.е.

(на плоскости );

(в 3-х-мерном пространстве).

Аналогично можно разложить вектор по единичным векторам в -мерном пространстве.

Пусть ,

,

,

…………………..

.