Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2017-09-30 | 466 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Докажем единственность решения волнового уравнения при заданных начальных условиях. Для простоты записи будем считать , чего можно всегда достигнуть, меняя масштаб времени заменой t на t/a. Для большей наглядности рассмотрим двумерное волновое уравнение, т.е. для u (x, y, t)
(23)
c начальными условиями
(24)
Докажем единственность решения задачи Коши (23) – (24), предполагая, что решение u (x, y, t) имеет непрерывные производные до второго порядка включительно.
Пусть u 1(x, y, t)и u 2(x, y, t) – два решения уравнения (23), удовлетворяющие одним и тем же начальным условиям (24). Тогда разность
будет удовлетворять уравнению (23) и нулевым начальным условиям
(25)
Для доказательства теоремы единственности нам надо теперь показать, что при любых x, y и при всех t > 0.
Рассмотрим для этого трехмерное пространство (x, y, t) и возьмем в нем произвольную точку М (x 0, y 0, t 0), причем t 0 >0. Из этой точки как из вершины проведем круговой конус
до его пересечения с плоскостью (Рис.22). Далее проведем еще одну плоскость , где , и пусть D – область, ограниченная боковой поверхностью конуса S и частями поверхностей и , находящихся внутри конуса. Иначе говоря, D – усеченный круговой конус. Обозначим через σ 0и σ 1 – соответственно нижнее и верхнее основания этого конуса.
Теперь в приведенном ниже выражении произведем указанные в нем операции дифференцирования и приведем подобные члены
В результате получим тождество
Проинтегрируем это тождество по объему, занимаемому областью D. Интеграл от левой части равен нулю, так как u является решением уравнения (23). Интеграл в правой части преобразуем, пользуясь формулой Гаусса-Остроградского, в интеграл по поверхности этой области, составленной из поверхностей S, σ 0и σ 1. В результате получим сумму трех поверхностных интегралов от одного и того же выражения, при записи которого нужно учесть, что производные , стоящие перед скобками, являются производными по направлениям t, x, y и направляющие косинусы будут соответственно равны .
|
В результате получим
, (26)
где
(27)
На нижнем основании σ 0 усеченного конуса D, в силу начальных условий (25), функция u и все её частные производные первого порядка равны нулю и, следовательно, второй интеграл в (26) равен нулю. На верхнем основании σ 1 имеем
На боковой поверхности конуса S направляющие косинусы нормали удовлетворяют соотношению
(28)
В результате равенство (26) с учетом (27) можно переписать следующим образом
(29)
Первый интеграл с учетом (28) можно преобразовать следующим образом
На боковой поверхности S и, следовательно, этот интеграл неотрицателен, из чего приходится заключить, что второй интеграл в формуле (29) равен нулю, а именно
Отсюда следует, что во всех точках внутри полного конуса с вершиной в точке М (x 0, y 0, t 0) частные производные первого порядка функции u равны нулю и, следовательно сама u равна константе, а поскольку на нижнем основании эта константа в силу (25) равна нулю, то и в точке М (x 0, y 0, t 0) она равна нулю. Поскольку точка М (x 0, y 0, t 0) была нами выбрана произвольно в полупространстве t > 0, то составленная нами функция u тождественно равна нулю в этом полупространстве, что и доказывает теорему единственности.
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!