Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-09-30 | 1073 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Теперь мы покажем, что малые поперечные колебания мембраны описываются двумерным волновым уравнением (1). Мембраной называют тонкую пленку, которая находится в состоянии натяжения и не оказывает сопротивление изгибу и сдвигу. Покажем, что малые колебания мембраны описываются двумерным волновым уравнением.
Пусть бесконечная мембрана в положении равновесия расположена в плоскости (x,y) и находится под действием равномерного натяжения T, т.е. силы, приходящейся на единицу длины произвольного контура и направленной перпендикулярно этому контуру в каждой его точке. Будем также предполагать, что на мембрану параллельно оси 0u действует внешняя сила p (x, y, t), рассчитанная на единицу площади.
Будем рассматривать только поперечные смещения мембраны, при которых каждая её точка движется перпендикулярно плоскости (x,y). Смещения u каждой точки мембраны будут функцией координат этой точки x,y и времени t. Будем предполагать, что они настолько малы, что квадратами производных ux и uy можно пренебречь.
|
|
В результате равнодействующая сил, приложенных к контуру l ' будет равна
Поскольку при малых перемещениях мембраны можно считать , то мы можем в записанном интеграле путь интегрирования dl 'заменить на dl. Тогда применяя формулу Грина, получим
(46)
Суммарная внешняя сила, действующая на участок σ ', будет равна
(47)
По второму закону Ньютона сумма сил (1) и (2) должна равняться интегралу
(48)
В результате получим
,
Откуда в силу произвольности участка σ следует, что
(49)
Это и есть уравнение малых поперечных колебаний мембраны. В случае, если мембрана однородная, полученное уравнение после некоторых переобозначений можно переписать следующим образом:
, (50)
где
и
В более компактной форме уравнение (50) можно записать также в следующем виде:
(51)
В качестве начальных условий для уравнения (50) или (51) задаются смещение и скорость любой её точки в начальный момент времени
(52)
Граничные условия
В случае ограниченной мембраны наряду с начальными условиями (52) для уравнения (49) формулируются и граничные условия трех видов. В отличие от струны или стержня, границами являлись два противоположных конца, у мембраны границей является ограничивающий её плоский в исходном положении контур l.
В граничном условии первого рода задаются перемещения точек границы мембраны в любой момент времени, а именно
(53)
Если граница мембраны покоится, т.е. имеет место закрепление граница мембраны, то граничное условие (52) становится однородным
(54))
В граничном условии второго рода задаётся нормальная производная от перемещения границы мембраны в любой момент времени, а именно
(55)
Как мы помним, производная по нормали с точностью до постоянного множителя T соответствует напряжению, поэтому говорят, что условие (55) задает напряжение на границе мембраны. По третьему закону Ньютона это напряжение равно вертикальной составляющей внешней силы, приходящейся на единицу длины граничного контура. В случае, если на границу не действует никаких сил, условие (55) становится однородным.
|
Граничное условие третьего рода задает в любой момент времени сумму перемещения границы и напряжения с некоторым постоянным множителем h:
(56)
Если γ (t) равно нулю, условие (56) становится однородным и в этом случае имеет простую физическую интерпретацию. Для этого нужно представить, что граница мембраны скреплена упругим образом с плоскостью (x, y), как это показано на Рис.3.2.
Тогда вертикальная составляющая напряжения на границе мембраны будет равна внешней упругой силе, приходящейся на единицу длины граничного контура, которая в каждой точке по закону Гука пропорциональна смещению в этой точке и направлена в сторону противоположную смещению (как и проекция T на ось u), т.е. равна . Следовательно, можно записать, что
или
, (57)
где .
Теперь можно представить, что основание упругого закрепления границы перемещается параллельно оси u по закону ξ (t). Тогда сила, развиваемая упругим закреплением, будет равна – k [ u – ξ (t)], и мы можем записать
Разделив все члены этого равенства на k и обозначив через γ (t), мы и получим формулу (56).
|
|
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!