Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

 

у ^{( n )} + p ₁ у ^{( n- 1)} + p ₂ у ^{( n- 2)} + … + p_{n- 1} у´ + p_n у = q (x), (19)

где p ₁, p ₂, …, p_n – некоторые постоянные.

Его частное решение можно получить методом вариации произвольных постоянных. Однако, когда правая часть уравнения (19) имеет так называемый специальный вид, частное решение находится проще.

1. Если q (x) = e^αxP_m (x), где P_m (x) – многочлен m –й степени, то частное решение следует искать в

виде у _частн = x^s e^αxQ_m (x),

где Q_m (x) – многочлен m –й степени с неопределенными коэффициентами; s = 0, если α не является корнем характеристического уравнения; если же α является корнем характеристического уравнения, то s равно кратности этого корня.

2. Если q (x) = e^αx (U_i (x) cos βx + W_j (x) sin βx), где U_i (x), W_j (x) – многочлены степени i и j, тогда

частное решение следует искать в виде

у _частн = x^s e^αx [ R_k (x) cos βx + T_k (x) sin βx ],

где R_k (x), T_k (x) – многочлены k –й степени (k = max { i, j }) с неопределенными коэффициентами; s = 0, если α + iβ не является корнем характеристического уравнения; если же α + iβ – корень характеристического уравнения, то s – его кратность.

 

ЗАДАЧИ

1. Решить дифференциальные уравнения:

1.1. y´´ +3 у´ = 18 x + 9.

 

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение: λ ²+3 λ = 0. Его корни λ ₁= 0, λ ₂= –3.

 

Так как α = 0 – корень характеристического уравнения кратности 1, то частное решение ищем в виде

 

у _частн = x (Ax + B).

Подставим его в уравнение

2 A + 3(2 Ax + B) = 18 x + 9.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

Отсюда А = 3, В = 1 и

у _частн = 3 х ² + х.

Общее решение неоднородного уравнения

 

у _общ = С ₁ е ^{-3 х} + С ₂ + 3 х ² + х.

 

1.2. y´´´ – 6 у´´ + 9 у´ = x е ^{3 х} .

 

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение: λ ³– 6 λ ²+9 λ = 0 ó λ (λ ²– 6 λ +9) = λ (λ – 3) ². Его

корни λ ₁= 0, λ ₂= 3, λ ₃= 3.

Так как λ = 3 – корень кратности 2, то частное решение ищем в виде

 

у _частн = x ² (Ax + B) е ^{3 х} .

Подсчитаем производные (для краткости опустим индекс _частн):

y = x ² (Ax + B) е ^{3 х} .

y´ = 2 x (Ax + B) е ^{3 х} + Ax ² е ^{3 х} + 3 x ² (Ax + B) е ^{3 х} = е ^{3 х} (2 Ax ² + 2 Bx + x ² + 3 Ax ³ + 3 Bx ²) = е ^{3 х} (3 Ax ³ + 3 Ax ² + 3 Bx ² + 2 Bx).

y´´ = 3 е ^{3 х} (3 Ax ³ + 3 Ax ² + 3 Bx ² + 3 Bx ² + 2 Bx) + е ^{3 х} (9 Ax ² + 6 Ax + 6 Bx + 2 B) = е ^{3 х} (9 Ax ³ + 18 Ax ² + 9 Bx ² + 6 Ax + 12 Bx + 2 B).

y´´´ = 3 е ^{3 х} (9 Ax ³ + 18 Ax ² + 9 Bx ² + 6 Ax + 12 Bx + 2 B) + е ^{3 х} (27 Ax ² + 36 Ax + 18 Bx + 6 A + 12 B) =

= е ^{3 х} (27 Ax ³ + 81 Ax ² + 27 Bx ² + 54 Ax + 54 Bx + 6 A + 18 B).

Подставим их в уравнение:

е ^{3 х} (27 Ax ³ + 81 Ax ² + 27 Bx ² + 54 Ax + 54 Bx + 6 A + 18 B) – 6 е ^{3 х} (9 Ax ³ + 18 Ax ² + 9 Bx ² + 6 Ax + 12 Bx + 2 B) + 9 е ^{3 х} (3 Ax ³ + 3 Ax ² + + 3 Bx ² + 2 Bx) = х е ^{3 х} .

Сокращаем левую и правую части на е ^{3 х} и приводим подобные члены. Имеем:

0· Ax ³ + 0· Ax ² + 0· Bx ² + (18 A + 0· B) x + 6 A + 6 B = x => 0· x ³ + 0· x ² + 18 A · x + (6 A + 6 B).= x

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

Отсюда А = , В = – и

у _частн = (х ³ – х ²) е ^{3 х} .

Общее решение неоднородного уравнения

 

у _общ = С ₁ + С ₂ е ^{3 х} + С ₃ x е ^{3 х} + (х ³ – х ²) е ^{3 х} .

 

1.3. y´´ +2 у´ + y = cos x.

 

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение: λ ²+2 λ + 1 = 0. Его корни λ ₁= λ ₂= –1.

 

Правую часть можно записать так: cos x = e ^{0· x} (1 · cos x + 0 · sin x) Так как α = 0 не является корнем

характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде

 

у _частн = A cos x + B sin x.

Подсчитаем производные (для краткости опустим индекс _частн):

у = A cos x + B sin x.

 

y´ = – A sin x + B cos x,

 

y´´ = – A cos x – B sin x,

 

Подставим их в уравнение

– A cos x – B sin x + 2(– A sin x + B cos x) + A cos x + B sin x = cos.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях cos x и sin x в левой и правой частях уравнения:

или

Отсюда А = 0, В = и

у _частн = sin x.

Общее решение неоднородного уравнения у _общ = С ₁ е ^{- х} + С ₂ х е ^{- х} + sin x.

1.4. y´´ + у = 4 х^ех.

1.5. y´´ + у = 4 sin x.

1.6. y´´ – 2 у´ – 3 у = е ^{4 х}.

1.7. y´´ + 2 у´ – 3 у = x ² е^х.

1.8. y´´ + 4 у´ + 4 у = x е ^{2 х}.

1.9. y´´ – у = 2 е^х – x ².

1.10. y´´´ + у´´ = 6 x + е ^{– х} .

1.11. y´´´´ + 5 у´´ + 4 у = 3sin x.

2. Записать ожидаемый вид частного решения уравнения

 

2.1. у ′′ + 3 у ′ = –2 + (2 – х) е ^–х + 3sin x + 5 x ².

 

Р е ш е н и е. Правая часть представляет собой сумму трех функций специального вида: f ₁(x) = 5 x ² – 2,

f ₂(x) = (2 – х) е ^–х, f ₃(x) = 3sin x. Характеристическое уравнение k ² + 3 k = 0 имеет корни k ₁ = 0, k ₂ = –3. Следовательно,

для f ₁(x) ожидаемый вид частного решения у _ч1 = х ∙ (ax ² + bx + c), т.к. f ₁(x) = е ^{0 ∙ x} (5 x ² – 2). Здесь 5 x ² – 2 – полином 2-й степени. Умножаем на х потому, что 0 является корнем характеристического уравнения;

для f ₂(x) ожидаемый вид частного решения у _ч2 = е ^–х (dx + g);

для f ₃(x) = 3sin x = е ^{0 ∙ x} (0 ∙ cos x + 3sin x) ожидаемый вид частного решения у _ч3 = u cos x + v sin x.

По теореме о наложении решений ожидаемый вид частного решения имеет вид:

у _ч = у _ч1 + у _ч2 + у _ч3 = х ∙ (ax ² + bx + c) + е ^–х (dx + g) + u cos x + v sin x.

2.2. y′′ + 5 y′ + 6 y =3 х ² е ^х – хе ^{– 3 х} + 2 х sin 2 x.

2.3. y′′ + 2 y′ + 2 y =3 х ² е ^–х – хе ^–х sin x.

2.4. y′′ + 2 y′ + y = х ²sin x + 4 + 5 х е ^–х .

 

3. Решить уравнение

 

3.1. у′′ – 2 у′ + 5 у = х е ^х cos2 x + x ² – x + 2.

Р е ш е н и е. Общее решение соответствующего однородного уравнения у ′′ – 2 у ′ + 5 у = 0 имеет вид

(проверьте!)

у _оо = (С ₁cos 2 x + С ₂ sin 2 x) е ^х.

В соответствие с теоремой о наложении решений данное дифференциальное уравнение представим в виде совокупности двух уравнений:

Частное решение первого уравнения ищем в виде

у _ч1 = x [(Ах + В) cos 2 x + (Cх + D) sin 2 x ] е ^х ,

 

т.к. α ± β i = 1 ± 2 i – корень характеристического уравнения k ² – 2 k + 5 = 0, k = 1 ± 2 i.

Соответствующие вычисления (проведите самостоятельно) дают у _ч1 = x ( cos 2 x + х sin 2 x) е ^х.

Частное решение второго уравнения ищем в виде у _ч2 = Аx ² + Вx + С, и, после нахождения А, В и С,

у _ч2 = x ² – x + .

Общее решение исходного уравнения имеет вид

у = у _оо + у _ч1 + у _ч2 = (С ₁cos 2 x + С ₂ sin 2 x) е ^х + x ( cos 2 x + х sin 2 x) е ^х + x ² – x + .

 

3.2. y′′ – 2 y′ + y = х ² – х + 3 +2 х cos x + sin x.

3.3. y′′ + 5 y′ + 6 y =(x – 2) е ^{– 3 х} + х ² + 2 х – 3.

3.4. y′′ + 6 y′ + 10 y =(x + 6) cos 3 x – (18 x + 6) sin 3 x + 2 х е ^{– 3 х} cos x.

3.5. y′′ + 9 y = е ^{– 3 х} (x – 2) + 14 + 63 х ².

3.6. y′′ – 2 y′ + y = sin x + е ^х – е ^–х.