История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-09-10 | 801 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть Р = Р (х, у) и Q = Q (х, у) – непрерывные функции. Уравнение вида
P dx + Q dy = 0 (10)
называется уравнением в полных дифференциалах, если
= .
Уравнение (10) тогда и только тогда является уравнением в полных дифференциалах, когда существует функция U = U (х, у) такая, что
dU = P dx + Q dy,
т.е.
= P, = Q. (11)
Общий интеграл уравнения (10) имеет вид
U (х, у) = С.
ЗАДАЧИ
1. Решить дифференциальные уравнения. Найти частный интеграл, если заданы начальные
условия:
1.1. 2 x cos2 y dx + (2 y – x 2sin 2 y) dy = 0.
Р е ш е н и е. Здесь P = 2 x cos2 y, Q = 2 y – x 2sin 2 y.
= –4 x cos y sin y = –2 x sin 2 y, = –2 x sin 2 y. = => исходное уравнение – уравнение в полных дифференциалах. Значит, существует функция U, такая, что
dU = 2 x cos2 y dx + (2 y – x 2sin 2 y) dy.
Поэтому = 2 x cos2 y. Отсюда U = = x 2 cos2 y + f (y), где функция f (y) зависит только от у (постоянна по отношению к х).
Дифференцируя найденную функцию по у, получим выражение
= – x 2sin 2 y + f ´ (y),
которое, согласно (11) можно приравнять к Q:
= – x 2sin 2 y + f ´ (y) = 2 y – x 2sin 2 y.
Отсюда f ´ (y) = 2 y и f (y) = у 2 – С. Т.о., U = x 2 cos2 y + у 2 – С.
Окончательно получаем, что общий интеграл исходного уравнения равен x 2 cos2 y + у 2 = С.
1.2. (3 x 2 + 2 у) dx + (2 x – 3) dy = 0.
1.3. (3 x 2 y – 4 xу 2) dx + (x 3 – 4 x 2 y + 12 y 3) dy = 0.
1.4. (x + ) dx + (1 – ) dy = 0, y (0) = 2.
3. Уравнения n -го порядка, допускающие понижение порядка
Надо знать 3 (три!) основных типов таких уравнений!
3.1. Решение дифференциального уравнения y ( n ) = f (x)
Для решения уравнения y ( n ) = f (x) сделаем замену
y (n -1) (x) = z (x), y (n) (x) = z´ (x).
Тогда
z´ (x) = f (x), = f (x), z (x) = + С 1.
Но z (x) = y ( n -1) (x). Следовательно,
y ( n -1) (x) = + С 1.
Повторяя эту операцию еще (n -1) раз, получим y (x).
ЗАДАЧИ
1. Решить дифференциальные уравнения. Найти частное решение (интеграл), если заданы начальные
|
условия:
1.1. y (4) (x) = sin x.
Р е ш е н и е. Проинтегрируем данное уравнение 4 раза:
= ,
y ´´´(x) = –cos x + C 1,
= ,
y ´´(x) = –sin x + C 1 x + C 2,
y ´(x) = cos x + C 1 + C 2 x + C 3,
y (x) = sin x + C 1 + C 2 + C 3 x + C 4.
1.2. xy (4) = 1.
1.3. y (20) (x) = sin x.
1.4. y ´´= ; y = , y´ = 0.
1.5. y ´´´= ; y (1) = 2, y´ (1) = 1, y´´ (1) = 1.
3.2. Уравнения, не содержащие явно функцию y
Уравнение
y´´ = f (x, у´)
сводится к уравнению первого порядка с помощью замены y´ = z (x), y´´ = z´ (x).
ЗАДАЧИ
1. Решить дифференциальные уравнения. Найти частное решение (интеграл), если заданы начальные
условия:
1.1. x 2 y´´ + x y´ = 1.
Р е ш е н и е. Уравнение не содержит явно функцию у. Сделав замену y´ = z (x), y´´ = z´ (x), получим
x 2 z´ + x z = 1. (12)
Уравнение второго порядка перешло в линейное уравнение первого порядка, которое можно решить с помощью замены z = uv. Вначале приведем выражение (12) к виду y´ + p (x) y + q (x) = f (x) (делим правую и левую части на x 2 (делить можно, т.к. х, очевидно, не является решением уравнения)):
z´ + z = . (13)
Имеем: z = uv, z´ = u´v + uv´.
Подставим эти выражения в (13) и получим
u´v + uv´ + uv = .
Отсюда: v (u´ + u) + uv´ = . (14)
Приравниваем выражение в скобках к нулю:
u´ + u = 0,
и находим u:
= – => ln| u | = ln => u = .
Подставляя его в (14), с учетом того, что выражение в скобках равно нулю, находим v:
v´ = => dv = => v = ln| C 1 x |.
Отсюда z = ln| C 1 x |.
Т.о., возвращаясь к начальной замене, имеем еще одно дифференциальное уравнение первого порядка
y´ = ln| C 1 x |,
решая которое получим
y = = = ln2| C 1 x | + C 2.
1.2. x 2 y´´ = (y´)2.
1.3. 2 xy´y´´ = (y´)2 – 1.
1.4. xy´´´ + y´´ = 1 + x.
1.5. xy´´´´ + y´´´ = ex.
1.6. (1 + x 2) y ´´ – 2 xy´ = 0; y (0) = 0, y´ (0) = 3.
1.7. y ´´ = ; y (1) = , y´ (1) = 1.
3.3. Уравнения, не содержащие явно х
Уравнение
y´´ = f (у, у´)
с помощью замены
= p (y), = · = p´ p
сводится к уравнению первого порядка относительно функции p (y).
ЗАДАЧИ
1. Решить дифференциальные уравнения. Найти частное решение (интеграл), если заданы начальные
|
условия:
1.1. y´´ + 2 у y´ = 0; у (0) = 2, у´ (0) = –4.
Р е ш е н и е. Уравнение не содержит явно переменную х. Сделав замену y´ = p, y´´ = p´ p, получим
уравнение первого порядка относительно p (y):
p´ p + 2 ур = 0, или p´ = –2 у.
Отсюда находим р:
= –2 у = – => p = – y 2 + C 1,
Следовательно,
y´ = – y 2 + C 1, (15)
Подставив в (15) начальные данные, получим:
–4 = –4 + C 1 => C 1 = 0.
Отсюда
y´ = – y 2 => = dx = x + C 2 => y = .
Подставляем сюда начальные данные:
2 = => C 2 = .
Таким образом, частное решение имеет вид
y = .
1.2. y y´´ + (y´)2 = 0.
1.3. y 3 y´´ = 1; y = 1, y´ = 1.
1.4. y ´´ – (y´)2 + y´ (y – 1) = 0; y (0) = 2, y´ (0) = 2.
4. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами
Общие положения
Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида
y (n) + p 1(x) y (n- 1) + p 2(x) y (n- 2) + … + pn- 1(x) y´ + pn (x) y = q (x),
где p 1(x), p 2(x), …, pn (x), q (x) – непрерывные функции.
При q (x) = 0 оно называется однородным, а при q (x) ≠ 0 – неоднородным.
Общее решение линейного однородного уравнения имеет вид
у общ = ,
где vi (x), i = 1, 2, …, n – линейно независимая система решений.
Общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид
у общ = + у ⃰,
где vi (x), i = 1, 2, …, n – линейно независимая система решений, соответствующая линейному
однородному уравнению;
у ⃰ – частное решение неоднородного уравнения.
Линейно независимая система решений v 1, v 2, …, vn линейного однородного уравнения называется фундаментальной системой решений.
Наложение решений. Если правая часть линейного неоднородного уравнения
y (n) + p 1(x) y (n- 1) + p 2(x) y (n- 2) + … + pn- 1(x) y´ + pn (x) y = q (х) и
представляет собой сумму двух функций
q (x) = q 1(x) + q 2(x),
а у ч1 и у ч2 – частные решения уравнений
y (n) + p 1(x) y (n- 1) + p 2(x) y (n- 2) + … + pn- 1(x) y´ + pn (x) y = q 1 (х) и
y (n) + p 1(x) y (n- 1) + p 2(x) y (n- 2) + … + pn- 1(x) y´ + pn (x) y = q 2 (х)
соответственно, то функция у ч = у ч1 + у ч2 является решением данного уравнения.
|
|
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!