Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2017-09-10 | 1019 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Функция двух переменных
Если каждой паре действительных чисел (x; y) из области D по определенному правилу ставится в соответствие только одно число z из области Е, то говорит, что на множестве D задана функция двух переменных
z = z(x, y).
Значение z(a; b) функции z = z (x, y) есть значение этой функции, вычисленное при x = a, y = b.
Частной производной функции z = z(x, y) по аргументу x называется производная этой функции по x, при постоянномy.
Обозначения:
Аналогично, частной производной функции z = z(x, y) по аргументу y называется производная этой функции по y при постоянномx.
Обозначения:
При дифференцировании полезна следующая таблица:
Х/Х=1 | Х/У=0 | |
У/У=1 | У/Х=0 | |
С/Х=0 | С/У=0 | С - const |
Задача:Найти частные производные функции
Решение:
Задача. Найти частные производные функции
Решение: Найдем производную функции Z по переменной x. В этом случае, при дифференцировании величина y считается постоянной и поэтому:
Аналогично найдем производную функции по y, считая величину x постоянной:
Задача. Найти частные производные zx', zy'для функции
z =x3–3x2y+2y3+1,
Решение:
zx' =(x3–3x2y+2y3+1)x' =(x3)x'–(3x2y)x' +(2y3)x'+1x' =3x2 -3y(x2)x' +0+0=3x2–6xy
zy'=(x3–3x2y+2y3 +1)y' = (x3)y'–(3x2y)y+(2y3)y'+1y'=0–3x2yy'+2(y3)y'+0=-3x2+6y2
Задача. . Найти и .
При вычислении частной производной по переменной x заметим, что является постоянной величиной, а постоянный множитель можно выносить за знак производной. Поэтому имеем
.
Аналогично, при вычислении частной производной по переменной y заметим, что является постоянной величиной, а постоянный множитель можно выносить за знак производной. Поэтому имеем
.
Задача. . Найти и .
Решение: При вычислении частной производной по x заметим, что является постоянным множителем. Тогда
|
.
Аналогично при вычислении частной производной по y заметим, что является постоянным множителем. Тогда
.
Частными производными второго порядка функции z=z(x, y) называются частные производные от частных производных первого порядка.
Порядок дифференцирования указан в индексе при прочтении слева направо.
Последние две производные отличаются только порядком, называются смешанными и в случае их непрерывности равны.
Задача: Найти все частные производные 2-ого порядка и проверить равенство z¢¢xy=z¢¢yxдля функции z=x2-2xy2
Решение: Вначале найдем частные производные первого порядка:
z¢x=(x2-2xy2)¢x=2x-2y2, z¢y= (x2-2xy2)¢y=-4xy
Далее частные производные второго порядка:
z¢¢xx= (2x-2y2)¢x= 2, z¢¢yy= (-4xy)¢y = -4x
z¢¢xy= (2x-2y2)¢y= -4y, z¢¢yx= (-4xy)¢x = -4y
Нетрудно видеть, что z¢¢xy = z¢¢yx
Выполнение этого условия может служить критерием правильности нахождения частных производных 1-огопорядка и смешанных – 2-ого порядка.
Производная сложной функции
Если z=z(u,v), где u=u(x,y), v=v(x,y), то частная производная функции zпо переменной xи частная производная функции zпо переменной yсоответственно равны:
Задача: Найти и , если , где , .
Решение:
.
.
.
.
.
.
Тогда
= + .
= + .
Задача. Найти частные производные второго порядка от функции .
Решение: Сначала найдем частные производные первого порядка:
; .
Дифференцируя по переменным x и y полученные частные производные и , получим:
;
.
Мы получили, что . Это совпадение не является случайным. Имеет место важная теорема: Если частные производные (всех порядков) функции непрерывны, то их значения не зависят от порядка дифференцирования.
|
|
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!