Необходимый признак существования точки перегиба

Если функция в точке х₀ имеет перегиб, то вторая производная в этой точке либо не существует, либо равна нулю.

Точки, в которых вторая производная обращается в нуль или не существует, называют критическими точками II-го рода. В этих точках перегиб может быть, а может и не быть. Этот вопрос ре­шается с помощью следующего признака.

Достаточный признак существования точки перегиб.

Пусть функция определена и непрерывна в некоторой окрестности точки х₀, включая саму точку. Пусть, далее, вторая производ­ная в этой точке равна нулю или не существует. Тогда, если f"(х) < 0 при х <х₀ и f"(х) > 0 при х > х₀ или f"(х) > 0 при х < х₀ и f"(х) < 0 при х > х₀, то М₀(х₀, (f(х₀)) является точкой перегиба кривой у = f(х).

Задача Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции .

Решение: 1. ;

2. существует для .

3. Разбиваем значениями Х= 1 числовую ось Х на промежутки:

4. и, следовательно, во всем промежутке Функция в этом промежутке возрастает.

и, следовательно, во всем промежутке и здесь функция убывает.

и, следовательно, в промежутке , а функция возрастает.

5. Из чертежа следует, что есть точка максимума, а есть точка минимума, а .

Задача. Исследовать и построить график функции:

Решение:

1. D(y)=R, E(y)=R (находим по графику)

2. Непрерывность. Асимптоты.

Так как функция является элементарной, то она непрерывна в каждой точке своей области определения, т.е. на всей числовой прямой. Выясним поведение функции на концах области определения.

Асимптот нет.

3. Четность

Так как область определения функции симметрична относительно нуля, выясним, имеют ли место следующие равенства:

или .

.

Следовательно, функция является нечётной. Её график симметричен относительно начала координат.

4. Функция не является периодической.

5. Нули функции

или

(0;0); - точки пересечения графика с осями.

6. Монотонность функции. Экстремумы функции.

x=0,

 

x
y`	+		_		_		+
y						-0,007

max min

7. Выпуклость. Точки перегиба.

 

x=0 или

x
	_		+		_		+
y		0,004				-0,004

т. перегиба т. перегиба т. перегиба

8. График

Правило Лопиталя

 

Теорема: Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x₀ и обращаются в нуль в этой точке: , в окрестности точки x₀. Если существует предел , то .

Согласно правилу Лопиталя, если функции и одновременно стремится к 0 или при , то .

Если отношение производных функций тоже имеет вид или , то можно снова применить правило Лопиталя и так несколько раз до получения результата.

Задача. Найти .

Решение:

При х, стремящемся к 0, числитель и знаменатель стремятся также к 0, т.е. имеем неопределенность вида и применимо правило Лопиталя:

При х, стремящемся к 0, числитель и знаменатель новой дроби стремятся к 0. По правилу Лопиталя:

По-прежнему имеем неопределенность вида , т.к.

Применяя еще раз правило Лопиталя, получаем:

Задача. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя

Решение:

Рассмотренные примеры иллюстрирует тот факт, что правило Лопиталя допустимо применять несколько раз, если отношение производных также представляет собой неопределенность вида или .

Задача. Вычислить предел

Решение: .

Рассмотрим примеры, решение которых существенно упрощается с использованием правила Лопиталя.

Задача .

Задача. .

Вопросы для самопроверки:

1. В чем заключается правило Лопиталя?

2. Сформулируйте признаки возрастания и убывания функции.

3. Сформулируйте достаточные условия экстремума функции.

4. Как находятся интервалы выпуклости и вогнутости кривой ?

5. Что называется точкой перегиба графика функции?

6. Сформулируйте достаточный признак существования точки перегиба.