Дифференцирование функции одной

ПЕРЕМЕННОЙ, ЗАДАННОЙ НЕЯВНО

 

О п р е д е л е н и е 16. Пусть функция определена на некотором множестве и существует такая функция определенная на некотором множестве что и выполняется равенство: Тогда функция называется неявной функцией, заданной уравнением

(6)

Т е о р е м а 6. Пусть функция задана неявно уравнением (6), где дифференцируема в точке для которой и Пусть функция дифференцируема в точке Тогда ее производная в точке вычисляется по формуле:

З а м е ч а н и е 10. При выполнении условий теоремы 6 в точке дифференциал функции , заданной неявно уравнением (6), вычисляется по формуле:

П р и м е р 14. Найти производную функции заданной неявно уравнением и вычислить ее значение при

Р е ш е н и е. Обозначив левую часть данного уравнения через найдем частные производные: Тогда, воспользовавшись теоремой 6, получаем:

(7)

Подставим теперь в исходное уравнение и найдем соответствующие значения функции Поэтому по формуле (7) находим:

О т в е т:

 

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ

ПЕРЕМЕННЫХ, ЗАДАННОЙ НЕЯВНО

 

О п р е д е л е н и е 17. Если функция определена на некотором множестве и существует такая функция определенная на некотором множестве что , и выполняется равенство то функция называется неявной функцией, заданной уравнением

(8)

Т е о р е м а 7. Пусть функция неявно задана уравнением (8), где дифференцируема в точке для которой и Пусть функция дифференцируема в точке Тогда ее частные производные в точке вычисляются по формулам:

(9)

З а м е ч а н и е 11. При выполнении условий теоремы 7 в точке полный дифференциал функции , заданной неявно уравнением (8), вычисляется по формуле:

П р и м е р 15. Найти частные производные функции заданной неявно уравнением

Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию:

(10)

Тогда уравнение, заданное в рассматриваемом примере, принимает вид (8). Вычислим частные производные функции (10):

Поэтому, воспользовавшись формулами (9) при условии находим:

О т в е т:

ПРИМЕРЫ

 

Вычислить пределы функций:

 

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. . 7. . 8. .

9. . 10. . 11. . 12. .

Найти точки разрыва функции:

13. . 14. . 15. . 16. .

17. . 18. . 19. . 20. .

Найти частные производные функции:

21. 22. 23. 24. 25.

26. 27. 28. 29. 30.

31. Показать, чтодля функции выполняется равенство:

32. Показать, что удовлетворяет уравнению:

 

Вычислить значения частных производных функции:

33. в точке 34. в точке

35. в точке 36. в точке

37. Найти частные производные сложной функции где

38. Найти производную сложной функции где

39. Найти если где

 

Найти полный дифференциал функции:

40. 41. 42.

43. 44. 45. 46.

47. Найти значение дифференциала функции в точке

Вычислить приближенно число:

 

 

48. 49. 50.

Найти если функция задана неявно уравнением:

51. 52. 53. 54. 55.

56. Найти значение производной функции в точке,для которой

О Т В Е Т Ы

1. 1. 2. 0. 3. е. 4. 1. 5. . 6. 2. 7. 0. 8. Не существует.

9. . 10. 0. 11. 3. 12. 0. 13. . 14. – линия разрыва.

15. (ось ) – линия разрыва.

16. – конус с вершиной в точке и осью симметрии – поверхностью разрыва.

17. – линия разрыва. 18. Точка – точка разрыва.

19. – линия разрыва. 20. – однополостный гиперболоид с осью симметрии – поверхность разрыва функции.

21. 22.

23. . 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

33. 34.

35. 36.

37.

38. 39.

40. 41. 42.

43.

44. 45. 46.

47. 48 49. 50. 51. 52.

53. 54. 55.

57.

§ 5. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ