История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-08-11 | 369 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Площадь плоской области вычисляется по формуле:
.
Если область определена неравенствами , , то
.
Если область определена неравенствами , , то
.
Если область в полярных координатах определена неравенствами , , то
.
2. Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью , снизу областью на плоскости , сбоку цилиндрической поверхностью, параллельной оси Оz, вычисляется по формуле:
.
3. Площадь поверхности вычисляется по формуле:
где – проекция данной поверхности на плоскость .
4. Масса вещества (пластины ), занимающего область плоскости и имеющего плотность , вычисляется по формуле:
.
При этом статические моменты пластины относительно осей и вычисляются по формулам:
, .
Координаты центра тяжести пластины вычисляются по формулам:
, .
В случае однородной пластины координаты центра тяжести вычисляются по формулам:
, .
П р и м е р 11. Найти площадь фигуры ограниченной линиями:
Р е ш е н и е. Область изображена на рис. 23. Она является правильной в направлении оси Ох и удовлетворяет теореме 3.
у у=х+2
2
D
О4 х
-2
Рис. 23
Поэтому получаем:
О т в е т:
П р и м е р 12. Найти площадь той части конуса , которая заключена внутри цилиндра .
Р е ш е н и е. Вычислим:
Тогда площадь поверхности вычисляется с помощью двойного интеграла:
,
где областью интегрирования является круг с центром в точке (1;0) радиуса , ограниченный окружностью .
Поэтому получаем:
.
О т в е т: .
П р и м е р 13. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями (рис. 24).
Р е ш е н и е. В данном примере фигура однородна. Поэтому координаты центра тяжести находим по формулам:
|
где - площадь области .
у
2
-1 O 2 x
-2
Рис. 24
Учитывая симметрию фигуры относительно оси , вычислим:
;
Следовательно,
О т в е т: .
ПРИМЕРЫ
Вычислить повторный интеграл:
1. 2.
Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной линиями:
3. 4.
5. 6.
7. 8.
Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле в одном и
другом порядке, если область ограничена линиями:
9. . 10.
11. . 12. .
Изменить порядок интегрирования в интегралах:
13. 14. 15. 16.
17. 18. 19. 20.
Переходя к полярным координатам, вычислить интеграл, если область
определена неравенствами:
21. 22.
23. 24.
25. 26.
С помощью двойного интеграла вычислить площадь области,
ограниченной линиями:
27. 28. . 29. .
С помощью двойного интеграла вычислить объем тела,
ограниченного поверхностями:
30. . 31. .
32. . 33. .
С помощью двойного интеграла вычислить площадь поверхности:
34. Части сферы заключенной внутри цилиндра .
35. Части плоскости , отсеченной плоскостями , , .
36. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: .
37. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями .
ОТВЕТЫ
1. . 2. 3. . 4. 5. 6. . 7. 8.
9. 10.
11.
12. 13. 14.
15. 16. 17.
18. 19. 20.
21. 22. 23. 24. 25. . 26. 27.
28. 29. 30. 31. 32. 33.
34. 35. . 36. . 37. .
§ 10. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
|
|
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!