Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2017-08-11 | 285 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть в трехмерном пространстве с прямоугольной системой координат задана замкнутая область (тело) , ограниченная поверхностью . Рассмотрим в функцию (или , где ). Разобьем тело произвольным образом на областей , которые могут пересекаться только по своим границам.
Обозначим объем тела через . Тогда
, где - объем тела .
В каждой из областей выберем произвольным образом точку и вычислим значение функции в выбранной точке.
О п р е д е л е н и е 1. Сумма вида
(1)
называется тройной интегральной суммой для функции в области . Число называется диаметром разбиения области .
О п р е д е л е н и е 2. Если существует конечный предел тройной интегральной суммы (1) при стремлении диаметра разбиения к нулю и этот предел не зависит ни от способа разбиения области на части, ни от выбора в них промежуточных точек, то он называется тройным интегралом от функции по области , а функция называется интегрируемой в .
Для тройного интеграла используется обозначение: Следовательно, по определению имеем:
. (2)
З а м е ч а н и е 1. Тройной интеграл (2) существует, если функция непрерывна в . Поэтому всюду далее, говоря об интегрируемости функции в области , будем предполагать ее непрерывность в .
СВОЙСТВА ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
С в о й с т в о 1. Пусть функция интегрируема в области и , где пересекаются только по своим границам. Тогда функция интегрируема отдельно на и на , причем справедливо равенство:
С в о й с т в о 2. Если функции и интегрируемы в области , то в интегрируемы следующие функции:
где
если
При этом для функций 1) – 3) справедливы формулы:
,
, .
С в о й с т в о 3. Если функции и интегрируемы в области и то выполняется неравенство:
|
.
С в о й с т в о 4. Если функция интегрируема в области и то выполняется неравенство:
если .
С в о й с т в о 5 (теорема о среднем значении). Если функция непрерывна в области , то найдется хотя бы одна точка , в которой выполняется равенство:
, где - объем тела .
С в о й с т в о 6. Справедливо равенство:
, где - объем области . (3)
С в о й с т в о 7. Справедливо равенство:
, (4)
где - масса тела , если - плотность распределения массы внутри тела .
С в о й с т в о 8. Если – плотность распределения массы внутри тела , то координаты центра тяжести тела вычисляются по формулам:
, (5)
где - масса тела .
З а м е ч а н и е 2. Для однородного тела (когда , где - плотность распределения массы внутри тела ) координаты центра тяжеститела вычисляются по формулам:
, (6)
где - объем тела .
ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
Для вычисления тройного интеграла от функции по области проецируем на плоскость . Обозначим полученную проекцию .
Предположим, что область обладает следующим свойством: всякая прямая, параллельная и проходящая через внутреннюю точку области , пересекает поверхность , ограничивающую область , только в двух точках.
Пусть и – уравнения поверхностей, ограничивающих область , соответственно, снизу и сверху (рис. 1).
z
z2 (x,y)
D
z 1 (x, y)
O у
(x; y)
Х Рис. 1
Т е о р е м а 1. Пусть область определяется неравенствами: . Пусть функция непрерывна в ; функции непрерывны в ; функции непрерывны на . Тогда справедливо равенство:
. (7)
П р и м е р 1. Вычислить объем тела , ограниченного параболоидом и плоскостью .
Р е ш е н и е. Тело изображено на рис. 2.
z
4
O 2 y
x Рис. 2
Объем тела вычисляется по формуле:
= .
Тело определяется неравенствами . Поэтому проекцией тела на плоскость Оху является круг .
Для вычисления тройного интеграла перейдем к цилиндрическим координатам: . Тогда
Следовательно, получаем:
.
О т в е т: .
|
П р и м е р 2. Вычислить тройной интеграл , если область ограничена плоскостями:
.
Р е ш е н и е. Нетрудно видеть, что область ограничена снизу – плоскостью , сверху - плоскостью . В данном случае область (то есть проекция тела на плоскость ) - область, ограниченная прямыми (рис. 3).
y
x =0 y =2- x
G
О y =0 2 x
Рис. 3
Следовательно, область определяется неравенствами:
.
Кроме того, все участвующие в примере функции, непрерывны. Поэтому, применив формулу (7), последовательно получаем:
.
О т в е т:
|
|
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!