Критерий Коши существования предела функции — КиберПедия


Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...

Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...

Критерий Коши существования предела функции



Для того чтобы функция f, x X, имела в (конечной или бесконечно удаленной) точке x0 конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого > 0 существовала такая окрестность U(x0) точки x0, что для любых x' X U(x0) и x" X U(x0) выполнялось бы неравенство | f(x") - f(x')| < .

 

Предел ф-ции по направлению

Рассмотрим некоторую функцию , заданную во всех точках окрестности точки , кроме, быть может, точки ; пусть - произвольный вектор длины единица и - скаляр. Точки вида образуют выходящий из луч в направлении вектора . Для каждого можно рассматривать функцию

от скалярной переменной , где есть число, зависящее от . Предел этой функции (от одной переменной )

,

если он существует, естественно назвать пределом в точке по направлению вектора .

Непрерывность

Функция непрерывна в точке , если она опред. в некот. окр. точки Mo и

 

Вопрос 15 Частные производные. Дифференцируемость ф-ций неск. переменных, осн. теоремы, необ. и достат. условие дифф-ти, дифф-ие сложной ф-ции, инвариантность формы 1-ого дифф-ла.

Функция называется дифференцируемой в данной точке, если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде: , где А1, А2, …, Аm – некоторые не зависящие от ∆х1, ∆х2, …, ∆хm числа, а α1, α2, …, αm – бесконечно малые при функции, равные 0 при ∆х1=∆х2=…∆хm=0.

Частная производная функции z=f(x,y) по х – предел отношения частного приращения функции по х к приращению Δх при Δх→0, если он существует и конечен:

Частная производная функции z=f(x,y) по y- – предел отношения частного приращения функции по y к приращению Δy при Δy→0, если он существует и конечен:

Полный дифференциал функции z=f(x,y) - главная линейная относительно и ∆у часть приращения функции ∆z в точке (х,у): dz= fx(x,y)dx+ fy (x,y)dy

Если функция f(x,y) определена в некоторой области D, то её частные производные f ’x(x,y), f ’y(x,y), тоже будут определены в той же области или её части. Будем называть эти производные производными I-ого порядка. Производные этих функций производными II-ого порядка.

 

Необх. и дост. условие дифференцируемости

Напомним, что функция одной переменной называется дифференцируемой в точке , если приращение функции представимо в виде

,

где ― некоторое действительное число, зависящее от , а -бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем , при .

Необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке является существование производной



.

Выясним, как переносятся условия дифференцируемости на случай функции двух переменных.

Определение.Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

,(1)

Дифференцирование сложной ф-ции

Пусть задана функция двух переменных и пусть переменные и сами являются непрерывными функциями независимых переменных и : , . (*)

Таким образом,

,

т.е. является сложной функцией переменных и . Выясним, как найти ее частные производные по аргументам и , не делая непосредственной подстановки. При этом будем предполагать, что все рассматриваемые функции имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам.

Сначала найдем производную . Для этого дадим аргументу приращение , сохраняя значение неизменным. Тогда в силу уравнений (*) получат приращения и .

Но если и получают приращения и , то функция получит приращение , определяемое формулой:

.

Разделим обе части последнего равенства на :

.

Если , то и (в силу непрерывности функций и ). Но тогда и тоже стремятся к нулю. Переходя к пределу при , получим

, , ,

и, следовательно,

. (1)

Аналогично находим производную по переменной :

. (2)

Вывод. Частная производная сложной функции равна сумме произведений частных производных заданной функции по промежуточным аргументам ( и ) на частные производные этих аргументов ( и ) по соответствующей независимой переменной ( и ), где и — некоторые постоянные, зависящие от и ; и — функции от и , стремящиеся к нулю при и , то есть , .

Равенство (1) выражает условие дифференцируемости функции в точке .

Определение.Функцию , дифференцируемую в каждой точке некоторого множества, называют дифференцируемой на этом множестве.

Инвариантность формы 1-ого диф-ла

Если xi(t) непрерывно диф-ма на t= t0(t01+ t02 +…+ t0m), а y=f(x); x=(x1,x2,…xn) непрерыв.. диф-ма в т. x0=(x01,x02,…x0n), xoi (to), то ф-ция y=f(x(t)) диф-ма в точке tо и справедливо равенство






Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...

Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...





© cyberpedia.su 2017-2020 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.007 с.