Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа

Пусть на мн-ве задана m+1 ф-ция . Пусть U_o подмножество U, на котором . (*)

Ур-ние (*) – ур-ния свзяи.

ОПР: Т. х_о наз. точкой усл. экстремума на мн-ве U при условии выполнения ур-ний связи (*), если она явл. обычн. т. локаль. экстремума f(x) на мн-ве .

Прямой метод отыск. локальн. экстремума

Пусть требуется найти max или min ф-ции y=f(x₁,x₂,…x_n) от перем x₁,x₂,…x_n, которые связаны m соотношениями f₁(x₁,x₂,…x_n)=0 f₂(x₁,x₂,…x_n)=0 f_m(x₁,x₂,…x_n)=0. Разрешая эти соотнош. относит m переменных напр. x₁,x₂,…x_n , мы выразим их через ост. n-m переменныe x_n+1…x_n. Подставл. эти соотн. в мы получим ф-цию от x_m+1…x_n перемен. и придём к отысканию обычн локального min и max этой ф-ции.

Метод Лагранжа: Пусть ф-ции f₁(M^o), f₂(M^o), f_m(M^o) непрерыв. диф-ма в нек. окр. точки M_о из простр. . Если т. явл. точкой условн. лок. экстремума ф-ции f₀(M^o ) относит. ур-ний связи, то в этой точке графдиент линейно зависимы, т.е. существуют числа , что

Следствие: в т. условного экстр ф-ции f₀(M^o) относит ур-ний связи (*) градиент – линейно независимы, то найдутся числа , что или координаты в форме: (1)

ОПР: Ф-ция F(M^o)=f(M^o)+ наз-ся формулой Лагранжа, а –множители лагранжа. Соотн. (1) означ, что точка M^o явл. критич. точкой ф-ции Лагранжа:

 

Вопрос 23 Числовые ряды, осн. определения, св-ва сходящихся рядов, критерий Коши сх-сти ряда, Признаки сх-ти числ. рядов с неотрицательными членами: Интегральный, сравнения, Даламбера, Коши, Теорема о перестановке членов ряда.

 

ОПР: Пара последовательностей и , где S_n=U₁+U₂+…+U_n называется числ. рядом или бесконечной суммой и обознач. . а эл-ты пос-ти S_n-частичные суммы ряда. Если сущ. конечный предел , то ряд – сходящийся и . Если пос-ть не стремится к 0, то ряд расходится.

Простейшие свойства:

1. Ряды и либо оба сходятся, либо оба расходятся. (Очевидно, т.к. критерий Коши даёт для обоих рядов одно и то же неравенство. При этом если ряды сходятся, то ) и - n-ый остаток ряда.

2. Пусть . Тогда и либо оба сходятся, либо оба расходятся. (Если обозначить , то ясно, что . Отсюда, если , то и т.п.).

3. Если и оба сходятся, то при тоже сходится, причём . ( при ).

Критерий Коши сх-сти ряда

Для того чтобы ряд сх-ся необх. и дост, чтобы для нашлось бы число n_ε, такое, что для всех n> n_ε и целых p.

Док-во: . Это утвержд. непосредств.=> из критерия Коши из последней сход-ти, поскольку +

Необходимый и достаточный признак сходимости: Если , то сходится тогда и только тогда, когда ограничена (сверху). То, что ряд сходится, равносильно тому, что существует конечный , а это, т.к. не убывает, равносильно ограниченности сверху .

Ряды с положительными членами

Если , то не убывает. (Действительно, для , т.е. ).

Признак сравнения: Пусть даны 2 ряда и . Тогда из сходимости следует сходимость , из расходимости следует расходимость .

Док-во: а) Если ряд сх-ся, то он имеет конечн. сумму σ. Тогда . Пос-ть частичн. сумм огранич. сверху, значит в силу леммы ряд сх-ся.

б) Если ряд расх-ся, то и и ряд расх-ся, т.к. если это было не так и ряд сх-ся, тов силу пункта а) сх-ся.

Признак Даламбера: Пусть . Если при , начиная с некоторого, будет , то сходится, если же , то расходится.

Док-во: Пусть l<1. Выберем число q так, что l<q<1. Т.к. , то найд. номер n_o, что при n>n_o выполн. нер-во . Применим это нер-во последно для n=n_о+1,n_о+2…Получим . Просуммируем эти нер-ва: . Устремим . Ряд представл. собой сумму членов бескон. убыв. геометр. прогрессии. Значит в силу признака сравнения сх-ся и остаток ряда , а значит и сам ряд сх-ся.

Радикальный признак Коши: Если для ряда , =1,2… существует , то при l < 1 ряд сх-ся, при l > 1 рас-ся.

Док-во: Пусть l<1, тогда из существ для : l<q<1 найдётся номер n_o: ∀ n_о выполн. нер-во , n=n_о+1,n_о+2… Т.к. ряд сх-ся, как бескон. убыв. геометр. прогрессия, то остаток ряда , а значит и сам ряд сх-ся.

При как в признаке Даламбера, так и в признаке Коши требуется дополнительное исследование.

Интегральный признак Коши-Маклорена: Пусть , причём непрерывна на , монотонно убывает и . Тогда и либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Док-во: Пусть k≤x≤k+1, k=1,2… Т.к. f(x) убывает, то f(k)≥f(x)≥f(k+1). Проинтегрируем от k до k+1:

Проинтегрируем эти нерва от 1 до n:

Замечание:

Если ряд сх-ся и его сумма равна S, то мнжво интегралов ограничено сверху, а в силу неотрицат сх-ся.

Теорема о перестановке членов ряда.

Пусть ряд с неотр. членами сх-ся и имеет сумму S, тогда новый ряд, полученный в рез-те перестановки членов исходн. ряда так же сх-ся и имеет ту же сумму.

Док-во: Пусть ряд , а его частичн. сумма. Слагаемые этой частичн. суммы входят в исх. ряд под номерами k₁, k₂,…k_n. Обозначим N – наиб. из этих номеров, тогда пусть S_N –частич. сумма исх. ряда. Тогда . Т.к n произвольна и S’_n возрастает и огранич. сверху, то новый ряд сх-ся и его сумма . Предполагаем аналог. рассуждения, взяв за исход. ряд не . тогда получим , значит .