Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа — КиберПедия


Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...

Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...

Вопрос 21-22 Условный экстремум Прямой метод и метод Лагранжа



Пусть на мн-ве задана m+1 ф-ция . Пусть Uo подмножество U, на котором . (*)

Ур-ние (*) – ур-ния свзяи.

ОПР: Т. хо наз. точкой усл. экстремума на мн-ве U при условии выполнения ур-ний связи (*), если она явл. обычн. т. локаль. экстремума f(x) на мн-ве .

Прямой метод отыск. локальн. экстремума

Пусть требуется найти max или min ф-ции y=f(x1,x2,…xn) от перем x1,x2,…xn, которые связаны m соотношениями f1(x1,x2,…xn)=0 f2(x1,x2,…xn)=0 fm(x1,x2,…xn)=0. Разрешая эти соотнош. относит m переменных напр. x1,x2,…xn , мы выразим их через ост. n-m переменныe xn+1…xn. Подставл. эти соотн. в мы получим ф-цию от xm+1…xn перемен. и придём к отысканию обычн локального min и max этой ф-ции.

Метод Лагранжа: Пусть ф-ции f1(Mo), f2(Mo), fm(Mo) непрерыв. диф-ма в нек. окр. точки Mо из простр. . Если т. явл. точкой условн. лок. экстремума ф-ции f0(Mo ) относит. ур-ний связи, то в этой точке графдиент линейно зависимы, т.е. существуют числа , что

Следствие: в т. условного экстр ф-ции f0(Mo) относит ур-ний связи (*) градиент – линейно независимы, то найдутся числа , что или координаты в форме: (1)

ОПР: Ф-ция F(Mo)=f(Mo)+ наз-ся формулой Лагранжа, а –множители лагранжа. Соотн. (1) означ, что точка Mo явл. критич. точкой ф-ции Лагранжа:

 

Вопрос 23 Числовые ряды, осн. определения, св-ва сходящихся рядов, критерий Коши сх-сти ряда, Признаки сх-ти числ. рядов с неотрицательными членами: Интегральный, сравнения, Даламбера, Коши, Теорема о перестановке членов ряда.

 

ОПР: Пара последовательностей и , где Sn=U1+U2+…+Un называется числ. рядом или бесконечной суммой и обознач. . а эл-ты пос-ти Sn-частичные суммы ряда. Если сущ. конечный предел , то ряд – сходящийся и . Если пос-ть не стремится к 0, то ряд расходится.

Простейшие свойства:

1. Ряды и либо оба сходятся, либо оба расходятся. (Очевидно, т.к. критерий Коши даёт для обоих рядов одно и то же неравенство. При этом если ряды сходятся, то ) и - n-ый остаток ряда.

2. Пусть . Тогда и либо оба сходятся, либо оба расходятся. (Если обозначить , то ясно, что . Отсюда, если , то и т.п.).

3. Если и оба сходятся, то при тоже сходится, причём . ( при ).

Критерий Коши сх-сти ряда

Для того чтобы ряд сх-ся необх. и дост, чтобы для нашлось бы число nε, такое, что для всех n> nε и целых p.

Док-во: . Это утвержд. непосредств.=> из критерия Коши из последней сход-ти, поскольку +

Необходимый и достаточный признак сходимости: Если , то сходится тогда и только тогда, когда ограничена (сверху). То, что ряд сходится, равносильно тому, что существует конечный , а это, т.к. не убывает, равносильно ограниченности сверху .



Ряды с положительными членами

Если , то не убывает. (Действительно, для , т.е. ).

Признак сравнения: Пусть даны 2 ряда и . Тогда из сходимости следует сходимость , из расходимости следует расходимость .

Док-во: а) Если ряд сх-ся, то он имеет конечн. сумму σ. Тогда . Пос-ть частичн. сумм огранич. сверху, значит в силу леммы ряд сх-ся.

б) Если ряд расх-ся, то и и ряд расх-ся, т.к. если это было не так и ряд сх-ся, тов силу пункта а) сх-ся.

Признак Даламбера: Пусть . Если при , начиная с некоторого, будет , то сходится, если же , то расходится.

Док-во: Пусть l<1. Выберем число q так, что l<q<1. Т.к. , то найд. номер no, что при n>no выполн. нер-во . Применим это нер-во последно для n=nо+1,nо+2…Получим . Просуммируем эти нер-ва: . Устремим . Ряд представл. собой сумму членов бескон. убыв. геометр. прогрессии. Значит в силу признака сравнения сх-ся и остаток ряда , а значит и сам ряд сх-ся.

Радикальный признак Коши: Если для ряда , =1,2… существует , то при l < 1 ряд сх-ся, при l > 1 рас-ся.

Док-во: Пусть l<1, тогда из существ для : l<q<1 найдётся номер no: ∀ nо выполн. нер-во , n=nо+1,nо+2… Т.к. ряд сх-ся, как бескон. убыв. геометр. прогрессия, то остаток ряда , а значит и сам ряд сх-ся.

При как в признаке Даламбера, так и в признаке Коши требуется дополнительное исследование.

Интегральный признак Коши-Маклорена: Пусть , причём непрерывна на , монотонно убывает и . Тогда и либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Док-во: Пусть k≤x≤k+1, k=1,2… Т.к. f(x) убывает, то f(k)≥f(x)≥f(k+1). Проинтегрируем от k до k+1:

Проинтегрируем эти нерва от 1 до n:

Замечание:

Если ряд сх-ся и его сумма равна S, то мнжво интегралов ограничено сверху, а в силу неотрицат сх-ся.

Теорема о перестановке членов ряда.

Пусть ряд с неотр. членами сх-ся и имеет сумму S, тогда новый ряд, полученный в рез-те перестановки членов исходн. ряда так же сх-ся и имеет ту же сумму.

Док-во: Пусть ряд , а его частичн. сумма. Слагаемые этой частичн. суммы входят в исх. ряд под номерами k1, k2,…kn. Обозначим N – наиб. из этих номеров, тогда пусть SN –частич. сумма исх. ряда. Тогда . Т.к n произвольна и Sn возрастает и огранич. сверху, то новый ряд сх-ся и его сумма . Предполагаем аналог. рассуждения, взяв за исход. ряд не . тогда получим , значит .








Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...

Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...





© cyberpedia.su 2017-2020 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.007 с.