БИЛЕТ.Интерполяционный многочлен Лагранжа.

Пусть функция задана таблицей (1). Построим интерполяционный многочлен L_n(x), чья степень не превосходит n, и для которого выполнены условия (2).

L_n(x) ищем в виде L_n(x)= l₀(x)+ l₁(x)+ l₂(x)+…+ l_n(x),

Где li(x) – многочлен степени n, причем li (xk	ì y	,	если	i = k
) = í	i			i ¹ k
				î0,		если
Многочлен li(x) составлен следующим образом:
li(x)=ci (x-x0) (x-x1)… (x-xi-1) (x-xi+1)… (x-xn),	где	ci=const.
ci =		yi
(xi	- x 0)...(xi - xi -1)(xi - xi +1)...(xi - xn)

Таким образом, получим интерполяционный многочлен Лагранжа:

n	(x - x 0)...(x - xi -1)(x - xi +1)...(x - xn)
Ln (x)=å yi		.
(xi - x 0)...(xi - xi -1)(xi - xi +1)...(xi - xn)
i =0

Погрешность вычисляется по формуле:

Rn (x)

£

M n +1

×

Õ n +1 (x)

, x Ï[ x 0, xn ], где

M n +1=max

f

(n +1)!

Õ n +1 (x) = (x - x 0)(x - x 1)...(x - xn).

 

const k=30;

 

type vektor=array[1..k] of real; var x,y: vektor;

 

n,i,j: byte;

l,f,a,m: real;

begin

 

write('Введите количество узлов интерполирования writeln('Введите парами значения Х и Y');

 

for i:=1 to n do readln(X[i],y[i]); repeat

 

write('Введите заданное значение аргумента - '); readln(A);

 

(n +1) _(x)

 

 

- '); readln(n);

 

F:=0;

for i:=1 to n do

begin L:=1;

for j:=1 to n do

if i<>j then L:=L*(A-X[j])/(X[i]-X[j]);

L:=L*Y[i];

F:=F+L; end;

 

writeln('При Х=',A:5:3,' F(',A:5:3,') = ',F:10:6);

 

writeln; writeln('Если хотите продолжить, введите 1,'); writeln('в противном случае введите 0'); readln(m)

 

until M=0 end.

 

14БИЛЕТ.многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов Рассмотрим случай, когда h=x_i+1 – x_i =const (i =0, 1, …). Рассмотрим конечные разности:

D y_i = y_{i +1}- y_i –конечные разности1-го порядка–разности между значениями функции в

 

соседних узлах.

D2 yi = D yi +1- D yi	= (yi +2 - yi +1) - (yi +1 - yi) = yi +2 - 2 yi +1 + yi – конечные разности 2-го порядка –
разности между конечными разностями 1-го порядка.
D3 yi = D1 yi +1- D2 yi =(yi +3-2 yi +2+ yi +1)-(yi +2-2 yi +1+ yi)= yi +3-3 yi +2+3 yi +1- yi	–конечные
разности 3-го порядка.
…			k (k -1)
D k = yi + k	- kyi + k -1	+	yi + k -2-...+(-1) k yi	– конечные разности k -го порядка.
		2!
Конечные разности удобно вычислять в таблице:
xi	yi		D yi	D2 yi	D3 yi
x0	y0		D y0	D2 y0	D3 y0
x1	y1		D y1	D2 y1	D3 y1
x2	y2		D y2	D2 y2
x3	y3		D y3
x4	y4

Первая интерполяционная формула Ньютона

Будем искать интерполяционный многочлен Ньютона в виде многочлена n -ой степени:

P_n(x) = a₀+ a₁(x-x₀) + a₂(x-x₀)(x-x₁) +…+ a_n(x-x₀)…(x-x_n-1) (3)

 

Коэффициенты a₀, a₁, …, a_n находятся из условия совпадения значения исходной функции f(x) и многочлена Pn(x) в узлах интерполяции: ak = ^{D ky} 0.

k! h ^k

 

Пусть ^{x - x} 0 = t, тогда x = x 0 + ht, соответственно h

x - x x - x - h

= = t -1

hh

^{x - x} 2 ₌ ^{x - x} 0 ^{- 3 h} _{= t - 2}

_hh 10

…

Подставив в формулу (3), получим:

P (x)= P (x

+ th)= y

+ t D y

+

t (t -1)

D2 y

+... +

t (t -1)...(t - n +1)

D n y

–

первая

n

n

2!

n!

интерполяционная формула Ньютона.

Погрешность вычислений оценивается следующим образом:

R

(x)

»

t (t -1)(t -2)...(t - n)

D n +1 y

n

(n +1)!

t (t -1)

Так при n=2

P (x)» y

+ t D y

+

D2 y

n

2!

t (t -1)(t -2)

R

(x)

»

D3 y,гдеD3 y =max

D3 y

m

n

3!

0£ m £3