Приложения определенного интеграла

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: Построим чертеж к задаче (рис. 3).

Найдем точки пересечения кривых. Для этого решим систему уравнений: . Отсюда

Площадь фигуры вычислим по формуле .

 

Рис.1

(кв.ед.)

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=e^2x, x=0, x=2, y=0.

Рис.2

Решение: Построим чертеж к задаче (рис.2). Площадь криволинейной трапеции вычислим по формуле

(кв.ед.).

Пример 3. Найти площадь фигуры ограниченной линиями и .

Решение: На рис. 4 представлена фигура площадь которой требуется найти.

Найдем точки пересечения параболы и прямой для этого решим следующую систему уравнений:

Þ

При решении квадратного уравнения системы , получаем два корня х₁=-2, х₂=1.

Рис. 4.

Дальше систему уравнений можно не решать, т.к. нас

интересуют только абсциссы точек пересечения.

 

f₁(x)= x²+1, f₂(x)=3-x (т.к. прямая лежит выше параболы в рассматриваемой области).

Теперь можно вычислить площадь фигуры: = = =

Пример 4. Вычислить площадь, ограниченную параболой и прямыми и .

Решение. Выполним чертеж. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (знак “-“ перед ) и приподняты на 2 единицы (рис. 1). Искомая площадь симметрична относительно оси , следовательно, можно вычислить половину площади и удвоить результат, т.е. .

y

 

2

 

 

 

1 x

 

Рис. 1

Для вычисления пределов интегрирования решим совместное уравнение параболы и прямой :

,

согласно формуле, получим:

; (кв. ед.).

Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линией

Решение: Так как определяет расстояние до соответствующей точки,

то . Следовательно, область определения функции определяется

неравенством .Общее решение этого неравенства имеет вид

где .

Отсюда . Так как в полярной системе координат выполняются ограничения на область изменения , то область допустимых значений функции в полярной системе координат состоит из двух промежутков, описывающихся соответствующими неравенствами:

Выбрав несколько значений из указанных промежутков, построим график функции (рис.3)

 

 

 

 

 

 

Рис.3

В силу симметричности фигуры вычислим площади, где полярный угол .

Итак,

Следовательно, площадь всей фигуры (кв.ед.).

Пример 7. Вычислить площадь, ограниченную линией

, .

Решение. В данной задаче чертеж выполнять необязательно, т. к. задано изменение параметра . Уравнение линии рассматривается в декартовых координатах, но имеет параметрический вид. Воспользуемся формулой

.

Пример 8. Вычислить площадь, ограниченную линией .

Решение. Так как уравнение линии, ограничивающей искомую площадь, задано в полярных координатах, то необходимо воспользоваться формулой для полярных координат. Пределы интегрирования не заданы, поэтому необходимо сделать чертеж (рис. 2). Линию построим по точкам, давая значения через равный промежуток, например, , начиная от до . Вычислим искомой площади.

 

 

Рис. 2

(кв. ед.).

Пример 9. Найти длину линии от точки

до точки .

Решение: Линия задается явно в декартовой системе координат. Очевидно, что .

Так как на рассматриваемом промежутке , то

= = =

= = = (ед.).

Отметим, что при вычислении интеграла мы воспользовались заменой:

Пример 10. Найти длину дуги , отсеченную прямой .

Решение. Уравнение линий задано в декартовых координатах.

y Воспользуемся формулой .

Из чертежа видно, что

4 x пределы интегрирования

будут и

(рис. 3).

Рис. 3 .

(кв. ед.).

 

Пример 11. Найти длину кривой

.

Решение: Кривая задана параметрически. Легко видеть, что

= =

= =

= = = .

Так как на промежутке выполняется равенство = , то

= = (ед.).

Пример 12. Криволинейная трапеция, ограниченная координатными

осями, прямой и кривой вращается вокруг: а) оси абсцисс;

б) оси ординат. Найти объем полученных тел вращения.

Решение: а) Ясно, что

.

 

б) На рис.4 изображено тело, объем которого мы будем находить.

Так как , то изменяется в интервале . Кроме того, надо явно выразить x через y. Так как , то отсюда . Тогда

Вычисление интегралов производилось с помощью формулы интегрирования по частям. В первом случае мы полагали

, а во втором случае - .

Рис.4

Пример 13. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной параболой и осью (рис. 5).

Решение. Парабола расположена ветвями вниз, вершина находится в точке , и ось пересекает в точках . Для решения воспользуемся формулой

(куб. ед.).

y

 

1

 

 

1 x

 

Рис. 5

Пример 16. Вычислить объем тела, образованного вращением гиперболы , отсеченной прямыми , вокруг оси (рис. 6).

Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой

y

; ,

находим из уравнения гиперболы:

-3 3 x

Рис. 6 (куб. ед.).

Замечание: Иногда при решении задач полезно использовать рекуррентную формулу:

 

Знак (двойной факториал) означает произведение целых чисел, начиная с , через одно с убыванием. Например, (только нечетные множители).

 

Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку.

Пример 1. ; этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.

Пример 2.. ; следовательно, интеграл сходится и равен .

Пример 3. . Интеграл сходится.

Пример 4..

следовательно, интеграл сходится и равен .

Пример 5.. ; этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.

Пример 6. следовательно, интеграл сходится и равен

Пример 7. . Интеграл сходится.

Пример 8.

следовательно, интеграл сходится и равен .

Пример 9. - интеграл сходится;

Пример 10. - интеграл расходится.

Пример 11. ; при замене переменной несобственный интеграл может преобразовываться в собственный. Так, например, вычислим интеграл: . Пусть , ; если , то ; если то ; Поэтому (это уже собственный интеграл)