Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2017-06-19 | 234 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Частные производные.
Задача 1. Найти частные производные от функций:
а) .
Решение. Частную производную находим как производную функции по аргументу в предположении, что . Поэтому,
Аналогично,
б)
в)
г)
Пример 2
. Показать, что .
Пример 3
. Показать, что .
Производная сложной функции. Производная неявной функции
Задача 1. Продифференцировать сложную функцию:
а)
Решение. Так как и зависят от переменных и , то функция в конечном итоге зависит от переменных и , и ее частные производные можно найти по формулам:
Следовательно,
б) Найти
Решение. Так как функция в конечном итоге зависит от одной переменной , то ее производную можно найти по формуле:
Тогда,
Экстремум функции
Дана функция .
а) исследовать функцию на экстремум;
Решение. а) Найдем стационарные точки функции из системы уравнений: Следовательно,
Точка - стационарная точка функции. Вычислим значения частных производных второго порядка в точке .
Составим дискриминант . Так как , то экстремум есть, так как , то - точка минимума.
Наименьшее и наибольшее значение функции в замкнутой области
Задание 1 Дана функция .
найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области , заданной системой неравенств , сделать чертеж области.
Решение. а) Найдем стационарные точки функции из системы уравнений: Следовательно,
Точка - стационарная точка функции. Вычислим значения частных производных второго порядка в точке .
Составим дискриминант . Так как , то экстремум есть, так как , то - точка минимума.
б) Построим область , заданную системой неравенств .
Это треугольник с вершинами в точках О(0;0), А(-3;0), В(0;-3).
|
Наибольшее и наименьшее значения в замкнутой области функция может достигать в стационарных точках, принадлежащих области и на границе области. Поэтому:
Вычислим значение функции в стационарной точке , принадлежащей области : .
Вычислим значения функции в точках О(0;0), А(-3;0), В(0;-3), которые являются точками «стыковки» различных участков границы области.
Вычислим значения функции в критических точках на границе области.
I участок:
- критическая точка, принадлежащая [-3;0].
II участок:
- критическая точка, принадлежащая [-3;0].
III участок:
- критическая точка, принадлежащая [-3;0].
Из всех вычисленных значений выберем наибольшее и наименьшее: в точках , -1 в точке .
Задание 2 Дана функция , точка и вектор .
Найти производную по направлению вектора в точке и .
Решение: Найдем направляющие косинусы вектора :
.
Далее находим значения частных производных от функции в точке :
Наконец, вычисляем производную по направлению в точке и градиент:
,
.
Задание 3. Дана функция , точка и вектор . Найти: производную по направлению вектора в точке ; в этой точке.
Решение.
1.Для решение задачи воспользуемся формулой для нахождения производной от функции в заданной точке по направлению вектора :
,
где , - направляющие косинусы вектора , которые вычисляются по формулам: , .
По условиям задачи вектор имеет координаты , . Тогда его длина равна: .
Следовательно, для направляющих косинусов вектора получим следующие значения: , .
Для решения задачи необходимо найти все частные производные первого порядка от функции :
Вычислим значения этих частных производных первого порядка в точке
В заключении подставим полученные значения для направляющих косинусов вектора и значения частных производных первого порядка от функции z в точке в формулу производной по направлению в заданной точке:
2.
|
|
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!