Определение закона распределения показателей качества с проверкой соответствия распределения теоретическому, а также анализ точности обработки методом кривых распределения.

В результате возникновения случайных погрешностей при обработке партии заготовок на настроенном станке истинный параметр качества заготовки является случайной величиной и может принимать любое значение в границах определённого интервала. Совокупность значений истинных параметров качества заготовок, обработанных при одинаковых условиях и расположенных в возрастающем (ранжированном) порядке с указанием частоты появления m их повторения или частостей m/n, называется распределением параметра качества заготовок. Частота m соответствует количеству заготовок одинакового значения параметра качества. Частость – отношение числа заготовок одинакового параметра качества к общему числу заготовок n выборки.

Распределение параметров качества заготовок можно представить в виде таблиц или графов. На практике измерение значения истинных значений параметров качества заготовок разбивают на интервалы таким образом, чтобы цена деления интервала (разность между максимальным и минимальным значением в пределах интервала) была несколько больше цены деления шкалы измерительного устройства, которым контролируется параметр качества.

Это позволяет компенсировать погрешность измерения показателей качества. В этом случае под частостью будет пониматься отношение числа заготовок, соответствующих каждому интервалу, к общему числу заготовок в выборке.

Распределение истинных параметров качества может быть представлено в виде:

По оси абсцисс откладываются интервалы параметров качества, а по оси ординат соответствующие частоты m или частости m/n. В результате появляется ступенчатая линия 1 – гистограмма распределения. Если последовательно соединить между собой точки, соответствующие середине каждого интервала, будет ломаная линия 2 – эмпирическая кривая распределения (полигон распределения).

На основании построенных эмпирических кривых распределения определяют статистические характеристики эмпирического распределения.

– среднее арифметическое значение случайной величины качества объектов обработки.

S – среднеквадратическое отклонение случайной величины х от .

Li – среднее значение параметра качества для итого интервала, на которые разбито поле рассеяния параметров качества;

m_i – частота (число значений параметра качества, соответствующее этому интервалу);

n – количество деталей в выборке;

N – число интервалов, на которые разбито поле рассеивания параметров качества.

При определении S по небольшим выборкам возникает погрешность ΔS, которая зависит от общего количества N, измеренных объектов обработки, и в отдельных случаях может быть весьма значительна.

Учитывая это, для предотвращения возможного появления брака при статистических исследованиях качества целесообразно действительное значение σ находить как: σ = p*S.

р – коэффициент, устанавливающий погрешность определения S при малых объёмах выборки n (р = f (n)).

При разных условиях обработки заготовок истинное распределение значений параметра качества может подчиняться различным математическим законам. В ТМС большинство эмпирических распределений близко к следующим теоретическим распределениям:

1) Закон нормального распределения (Гаусса);

2) Закон равнобедренного треугольника (Симпсона);

3) Закон эксцентриситета (Релея);

4) Закон равной вероятности;

5) Распределения, представляющие собой комбинации вышеперечисленных законов.

Фактическое поле рассеивания ω параметров качества заготовок, соответствующее этим теоретическим законам находится из приближенных выражений.

ω ≈ 6σ (закон Гаусса);

ω ≈ 4,9σ (закон Симпсона);

ω ≈ 3,46σ (равной вероятности);

ω ≈ 3,44σ (закон Релея).

Задача №8.1

По результатам измерений (табл. 4) линейных размеров валов от базового торца до уступа, обработанных на токарном полуавтомате, построить эмпирические гистограмму и полигон распределения. Проверить предположение о том, что распределение размеров подчинятся нормальному размеру закону. Определить параметры такого распределения.

 

 

Таблица 4

Отклонение линейных размеров валов (к задачам 8, 10)

Номер строки	Выборка №1
	0,04	0,07	0,01	-0,03
	0,05	0,05	0,01	-0,02
	0,04	0,03	-0,04	-0,05
	0,07	0,02	-0,05	-0,05
	-0,01	0,01	-0,01	-0,06
	-0,02	-0,05	0,04	-0,07
	0,06	-0,09	-0,05	0,06
	-0,04	-0,04	-0,03	0,02
	-0,09	-0,06	-0,04	0,02
	-0,08	-0,05		-0,04
	-0,09	-0,07	-0,04	0,13
	-0,01	-0,01	0,04	0,04
	-0,04	-0,09	-0,04	-0,09
	-0,08	-0,1	-0,07	-0,09
	-0,07	0,04	-0,12	-0,08
	-0,14	-0,01	-0,14	0,03
	-0,05	-0,03	-0,06	-0,04
	-0,08	0,07	-0,01	-0,03
	-0,04	0,05	-0,07	-0,08
	-0,05	-0,02	-0,13	-0,11
	-0,04	0,02	-0,03	-0,12
	-0,03	0,09	0,05	-0,01
	-0,06	-0,02	-0,01	-0,07
	-0,07	0,02	-0,08	0,04
	-0,01	0,04	-0,04	0,07

Рассматривая выборку № 1 (таблица 4), найдем максимальное и минимальное значения отклонения линейных размеров валов.

max= +0,13.

min= -0,14.

Поле рассеивания данного параметра качества ω= x_max–x_min = 0,13 – (-0,14) = 0,27 мм.

Строим гистограмму эмпирического распределения. Интервал равен 0,01. На основе гистограммы строим полигон эмпирического распределения отклонения линейных размеров валов, соединив середины вершин каждого столбца для всех интервалов.

=-0,0251

Рис. 1. Полигон эмпирического распределения отклонения линейных размеров валов.

Рассчитываем среднее арифметическое значение:

,

где n=100 шт, N=28 интервалов.

Находим среднее квадратическое отклонение:

Погрешность определения среднеквадратического отклонения равна ∆S=21,2 % (n=100).

Значение коэффициента p, учитывающего погрешность определения S, будет равно p=1,2.

Находим действительное значение среднеквадратического отклонения:

Проверяем предположение о подчинении распределения размеров нормальному закону.

ω≈6*σ, ω=0,28, тогда

Значение коэффициента меньше 6, гипотеза о подчинении распределения размеров нормальному закону не подтверждается.

Вывод: По значению рассчитанного коэффициента можно сделать вывод о том, что эмпирическое распределение относится к закону равной вероятности.

Задача 9.3

По результатам измерений (табл. 5) шлифовальных отверстий диаметром ø80 проверить предположение о том, что распределение размеров подчиняется закону Гаусса.

Таблица 5

Результаты измерений шлифованных отверстий

 

Диаметр вала, мм	Частота повторяемости размера, m
80,057
80,052
80,050
80,047
80,043
80,040
80,038
80,034
80,031
80,029
80,024

Решение

Рассмотрим выборку в столбце 3 варианта.

Максимальное значение: 80,057 мм.

Минимальное значение: 80,024 мм.

Поле рассеивания данного параметра качества ω= x_max – x_min = 80,057 –80,024 = 0,033 мм.

Определим статистические характеристики эмпирического распределения.

1. Среднее арифметическое

В нашем примере n=118 шт, N=11 интервалов.

мм

2. Среднее квадратическое отклонение

Для нашего случая значение среднего квадратического отклонения равно

мм

Погрешность определения среднеквадратического отклонения для нашего случая равна ∆S≈20,084 % (n=118).

Значение коэффициента p, учитывающего погрешность определения S, будет равно p≈1,191.

Исходя из этого, действительное значение среднеквадратического отклонения будет равно

Для проверки предположения о подчинении распределения размеров нормальному закону выполним следующее. Известно, что ω≈6*σ.

В нашем случае ω=0,033. Тогда

Вывод: по значению рассчитанного коэффициента можно сделать заключение о том, что эмпирическое распределение близко к закону Симпсона.

Задача 10.3

По данным задачи 8.1 определить, по какому квалитету точности может быть выполнена токарная обработка валов, если номинальный размер от базового торца до уступа равен 28, 52 и 165 мм.

Решение

Поле рассеяния выборки №1 равно ω=0,27.

Определим по какому квалитету может быть выполнена токарная обработка валов для следующих номинальных размеров от базового торца до уступа:

1) при ø28мм квалитет 13;

2) при ø52мм квалитет 12;

3) при ø165мм квалитет 12.

Вывод: При увеличении номинального диаметра при одинаковом поле рассеивания квалитет уменьшается.