Сравнение показателей качества с заданными значениями или между собой с помощью проверки статистических гипотез.

При статистических исследованиях параметров качества объектов обработки выдвигается и подтверждается ряд статистических гипотез. Наиболее важные из них: 1) гипотеза о доверительных интервалах определения выборочных характеристик генеральной совокупности; 2) гипотеза о равенстве двух выборочных средних арифметических значений; 3) гипотеза о равенстве двух и более дисперсий; 4) гипотеза о законах распределения случайной величины показателя качества объектов обработки.

При решении подобных задач математической статистике выдвигается, так называемая, нулевая гипотеза. Под ней понимается допущение об отсутствии интересующего нас различия между выборками и статистическими характеристиками. То есть мы выдвигаем гипотезу об отсутствии отличия между эмпирическим и теоретическим расширением и должны эту гипотезу подтвердить или опровергнуть.

Для проверки статистических гипотез в математической статистике пользуются рядом критериев, которые называются критериями согласия. Статистический критерий – специально подобранная случайная величина, точное или приближённое распределение которой известно и которая служит для проверки нуль – гипотезы. Для того что бы принять или забраковать нуль-гипотезу при помощи статистических критериев устанавливают уровни их значимости. Уровень значимости (α) представляет собой достаточно малое значение вероятности, отвечающее событиям, которые в данных условиях испытания считается почти невозможным.

Практически при решении задач принимается α=(5;1;0,1)%. При выборе таких уровней значимости они соответствуют классификации явлений на редкие, очень редкие, чрезвычайно редкие. Задавшись уровнем значимости устанавливают уровень доверительной вероятности Р=1-α, с которым принимается или отвергается нуль-гипотеза Р=1-0,05=095; Р=1-0,01=0,99; Р=1-0,0001=0,999.

Критерий согласия, используемый для установления равенства двух дисперсий.

Две выборочные дисперсии S₁² и S₂² двух нормальных генеральных совокупностей сравнивают с помощью F –критерия Фишера. Для этого вычисляют отношение большей дисперсии к меньшей. Если дисперсионное отношение F=S₁²/ S₂² при S₁² >S₂² больше F_кр, то принимают гипотезу о неравенстве двух генеральных дисперсий (S₁² ≠S₂²). В случае соблюдения условия F ≤ F_кр принимают гипотезу о равенстве генеральных дисперсий (S₁² = S₂²).

Значения F_кр определяют по табл. 4 Приложения, в зависимости от принятого уровня значимости α и степени свободы f₁ = n₁-1; f₂ = n₂-1.

Задача №3

На токарном полуавтомате изготавливают втулки. Из партии втулок взята выборка объемом n=20 и измерены наружные диаметры втулок. По результатам измерений подсчитаны средний диаметр =60,12 мм и среднее квадратическое отклонение σ=0,322 мм. Полуавтомат настроен на размер d₀=60 мм. Проверить правильность настройки станка.

Решение

Уровень значимости принимаем равным α = 0,05. Доверительная вероятность в этом случае будет равна P = 1-α = 0,95.

Определим критерий Стьюдента.

Определим доверительный интервал ∆

Вывод: станок настроен верно, так как настроечный размер попадает в доверительный интервал.

Задача №4

Погрешность закрепления ε_з в пневматическом приспособлении характеризуется средним квадратическим отклонением σ=0,224 мкм. Приспособление было усовершенствованно для стабилизации силы закрепления. Погрешности закрепления на новом приспособлении следующее: 0,6; 0,5; 0,4; 0,5; 0,3 мкм. Можно ли считать усовершенствование эффективным?

 

Решение

Для начала определимся с термином эффективное усовершенствование. Эффективным будет являться такое усовершенствование, при котором поле рассеяния приспособления уменьшится, в сравнении с полем рассеяния приспособления до усовершенствования.

Выразим неравенством эффективное усовершенствование

,

где σ₁ – поле рассеяния до усовершенствования, σ₂ – поле рассеяния после усовершенствования.

Определим σ₂

По результатам вычисления видно, что σ₁>σ₂.

Вывод: так как новое значение поля рассеяния меньше, усовершенствование приспособления можно считать эффективным.

Задача №5

На двух станках изготавливают втулки. Результаты измерений 10 деталей, изготовленных на первом станке и 8 деталей, изготовленных на втором станке, приведены в табл. 2.

Таблица 2

Исходные данные к задаче 5

d1 ,мм	30,02	30,12	30,24	30,16	30,20	30,08	30,16	29,98	30,00	29,96
d2,мм	30,02	30,04	30,06	30,08	30,05	30,24	29,98	30,10

 

Проверить предположение о том, что станки обладают различной точностью.

Решение

Первоначально определим среднее арифметическое и среднее квадратическое для первого и второго станка.

Следующий шаг - расчет дисперсий

мм²

мм²

Рассчитаем критерий Фишера, который представляет собой отношение дисперсий, по следующей формуле:

В нашем случае S₁>S₂, поэтому отношение не изменяется.

Для нашего случая критическое значение критерия Фишера равно

F_кр = 3,45

F<F_кр

Это говорит об отсутствии значительного различия в дисперсиях, то есть может быть принята гипотеза о равенстве двух значений. Следовательно, можно сделать вывод, что оба станка настроены с одинаковой точностью.

Рассчитаем t-критерий Стьюдента, который вычисляется по следующей формуле:

,

где x₁и x₂– выборочные средние, S|x| - средневзвешенное среднее квадратическое отклонение.

Величины средневзвешенного среднего квадратического отклонения определим через средневзвешенную дисперсию.

Средневзвешенная дисперсия определяется по формуле

Для нашего случая значение средневзвешенной дисперсии равно

Средневзвешенное среднее квадратическое отклонение равно

Тогда t-критерий Стьюдента равен

Для нашего случая критическое значение t-критерия Стьюдента равно

t_кр = 2,12

t < t_кр

Вывод: поскольку оба критерия имеют значения меньше критических, то теорию о равенстве дисперсий принимаем, следовательно, станки обладают одинаковой точностью.

Задача №6

По результатам измерения диаметров пяти валов, обработанных на токарном полуавтомате, сразу после настройки станка и через некоторый промежуток времени получены следующие значения выборочных средних: и дисперсий и . Определить изменится ли настроечный размер.

Решение

Рассчитаем критерий Фишера, который представляет собой отношение дисперсий, по следующей формуле:

В нашем случае S₁<S₂, поэтому отношение изменяется на противоположное.

Для нашего случая критическое значение критерия Фишера равно

F_кр = 6,4

F < F_кр

Рассчитаем t-критерий Стьюдента, который вычисляется по следующей формуле:

,

где x₁и x₂– выборочные средние, S|x| - средневзвешенное среднее квадратическое отклонение.

Величины средневзешенного среднего квадратического отклонения определим через средневзвешенную дисперсию.

Средневзвешенная дисперсия определяется по формуле

Для нашего случая значение средневзвешенной дисперсии равно

Средневзвешенное среднее квадратическое отклонение равно

Тогда t-критерий Стьюдента равен

Для нашего случая критическое значение t-критерия Стьюдента равно

t_кр = 2,306

t<t_кр

Вывод: поскольку оба критерия имеют значения меньше критических, гипотеза о равенстве двух средних принимается, следовательно, настроечный размер станка с течением времени не изменился.

Задача №7.3

Сравнить среднее значение наибольшей высоты профиля шероховатости шлифованных поверхностей валов на двух технологических режимах в зависимости от уровня значимости объёма n мгновенных выборок и дисперсий σ² (табл. 3).

Таблица 3

Исходные данные к задаче 7.1

Вариант	Уровень значимости α	Объем выборки	Шероховатость, мкм	Дисперсия, мкм2
n1	n2	Rmax1	Rmax2
	0.05			12,5		1,2	3,4

Решение

Уровень значимости в данной задаче α = 0,05. Доверительная вероятность в этом случае P = 1-α = 0,95.

Рассчитаем критерий Фишера, который представляет собой отношение дисперсий, по следующей формуле:

В нашем случае S₁<S₂, поэтому отношение изменяется на противоположное.

Для нашего случая критическое значение критерия Фишера равно

F_кр = 3,75; F < F_кр

Рассчитаем t-критерий Стьюдента, который вычисляется по следующей формуле:

,

где x₁и x₂– выборочные средние, S|x| - средневзвешенное среднее квадратическое отклонение.

Величины средневзешенного среднего квадратического отклонения определим через средневзвешенную дисперсию.

Средневзвешенная дисперсия определяется по формуле

Для нашего случая значение средневзвешенной дисперсии равно

Средневзвешенное среднее квадратическое отклонение равно

Тогда t-критерий Стьюдента равен

Для нашего случая критическое значение t-критерия Стьюдента равно

t_кр = 2,145

t<t_кр

 

Вывод: поскольку оба критерия имеют значения меньше критических, то гипотеза о незначительном различии средних подтверждается, следовательно, можно утверждать, что средние шероховатости на двух участках при различных технологических режимах отличаются не существенно.