Вопрос. Доказать, что если хотя бы один положительный действительный корень, или пара комплексно-сопряженных корней с положительной действительной частью, система будет неустойчивой

Рассмотрим математическую сущность устойчивости и неустойчивости линейных стационарных САУ. Согласно данному выше физическому определению устойчивость зависит только от характера свободного движения системы. Свободное движение линейной или линеаризованной системы описывается однородным дифференциальным уравнением

,

где x(t) = xсв(t) - свободная составляющая выходной величины системы.

Вынужденная составляющая выходной величины, зависящая от вида внешнего воздействия и правой части дифференциального уравнения (2.1), на устойчивость системы не влияет.

Система является устойчивой, если свободная составляющая xсв(t) переходного процесса с течением времени стремится к нулю, т.е. если

Очевидно, что при этом выходная величина системы будет стремиться к вынужденной составляющей, определяемой правой частью уравнения. Устойчивость в смысле условия (4.2) принято называть асимптотической.

Если свободная составляющая неограниченно взрастает, т.е. если

,

то система неустойчива.

Наконец, если свободная составляющая не стремится ни к нулю, ни к бесконечности, то система находится на границе устойчивости.

Найдем общее условие, при котором система, описываемая уравнением, устойчива. Решение уравнения

xсв(t) = ,

где Ck - постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий;

pk - корни характеристического уравнения

.

Корни характеристического уравнения могут быть действительными (pk=ak), мнимыми (pk=jbk) и комплексными

pk=ak ± jbk,

причем как комплексные, так и мнимые корни попарно сопряжены.

Свободная составляющая (4.4) удовлетворяет условию устойчивости, если каждое слагаемое вида . Характер этой функции времени зависит от вида корня pk.

Рассмотрим все возможные случаи расположения корней характеристическо­го уравнения на комплексной плоскости и соответствующие им функции xсв(t), которые показаны внутри кругов (как на экране осциллографа)

1) Каждому действительному корню pk=ak в решении соответствует слагаемое вида

xсвk(t) = .

Если ak<0 (корень p1), то функция плавно стремится к нулю. Если ak>0 (корень p3), то функция неограниченно возрастает. Если ak=0 (корень p2), то эта функция остается постоянной.

2) Каждой паре сопряженных комплексных корней pk=ak+jbk и pk+1=ak‑jbk в решении соответствуют два слагаемых, которые могут быть объединены в одно слагаемое

xсвk(t) = 2 sin(bkt+yk).

Функция представляет собой синусоиду с частотой bk и амплитудой, изменяющейся по экспоненте. Если ak < 0 то колебательная составляющая будет затухать.

Если ak > 0 (корни p8 и p9),то амплитуда колебаний будет неограниченно возрастать. Наконец, если ak = 0 (корни p6 и p7), т.е. оба сопряженных корня - мнимые (pk=jbk, pk+1=-jbk), то xсвk(t)=2 sin(bkt+yk) - незатухающая синусоида bk.

Если среди корней характеристического уравнения (4.5) имеются l равных между собой корней pl, то в решении (4.4) вместо l слагаемых вида появится одна составляющая

.

Учитывая, что функция вида при любом b убывает быстрее, чем возрастают слагаемые вида , можно доказать, что и в случае кратности корней решение будет стремиться к нулю лишь при отрицательности действительной части кратных корней pl.