Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2017-06-12 | 651 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотренный выше метод нахождения числовых характеристик функций случайных величин без определения закона распределения этих функций применим в основном к линейным функциям.
На практике очень часто встречаются случаи, когда исследуемая функция случайных величин хотя и не является строго линейной, но практически мало отличается от линейной и при решении задачи может быть приближенно заменена линейной. Это связано с тем, что во многих практических задачах случайные изменения фигурирующих в них величин выступают как незначительные «погрешности», накладывающиеся на основную закономерность. Вследствие сравнительной малости этих погрешностей обычно фигурирующие в задаче функции, не будучи линейными во всем диапазоне изменения своих аргументов, оказываются почти линейными в узком диапазоне их случайных изменений.
Действительно, из математики известно, что любая непрерывная дифференцируемая функция в достаточно узких пределах измененияаргументов может быть приближенно заменена линейной (линеаризована). Ошибка, возникающая при этом, тем меньше, чем уже границы изменения аргументов и чем ближе функция к линейной. Если область практически возможных значений случайных аргументов настолько мала, что в этой области функция может быть с достаточной для практики точностью линеаризована, то, заменив нелинейную функцию линейной, можно применить к последней тот аппарат числовых характеристик, который разработан для линейных функций. Зная числовые характеристики аргументов, можно будет найти числовые характеристики функции, Конечно: при этом мы получим лишь приближенное решение задачи, но в большинстве случаев точного решения и не требуется.
|
При решении практических задач, в которых случайные факторы сказываются в виде незначительных возмущений, налагающихся на основные закономерности, линеаризация почти всегда оказывается возможной именно в силу малости случайных возмущений.
Рассмотрим вначале задачу линеаризации функции одного случайного аргумента.
Пусть имеется случайная величина X и известны ее числовые характеристики: mx и Dx.
Допустим, что практически возможные значения случайной величины X ограничены пределами т. е.
Имеется другая случайная величина У, связанная с X функциональной зависимостью:
(4.8)
причем функция хотя не является линейной, но мало отличается от линейной на участке .
Требуется найти числовые характеристики величины - математическое ожидание ту и. дисперсию Dy.
Рассмотрим кривую на участке и заменим её приближенно касательной, проведенной в точке с абсциссой mx. Уравнение касательной имеет вид:
(4.9)
Учитывая малое отличие прямой (4.9) от функции (4.8) на интервале , заключаем, что случайные величины X и Y приближенно связаны линейной зависимостью:
(4.10)
К линейной функции (3.10) можно применить известные приемы определения числовых характеристик линейных функций. Так как математическое ожидание аргумента в (4.10) равно нулю, то математическое ожидание функции (4.10):
(4.11)
Дисперсия величины определится по формуле
(4.12)
а СКО
(4.13)
Очевидно, что формулы (4.11), (4.12), (4.13) являются приближенными.
Таким образом, чтобы найти математическое ожидание почти линейной функции, нужно в выражение функции вместо аргумента подставить его математическое ожидание. Чтобы найти дисперсию почти линейной функции, нужно дисперсию аргумента умножить на квадрат производной функции в точке, соответствующей математическому ожиданию аргумента.
Рассмотрим линеаризацию функции нескольких случайных аргументов.
Имеется система случайных величин (n – мерный случайный вектор):
,
заданы числовые характеристики системы: математические ожидания
|
и ковариационная матрица
Случайная величина есть функция аргументов :
(4.14)
причем функция не линейна, но мало отличается от линейной в области практически возможных значений всех аргументов («почти линейная» функция). Требуется приближенно найти числовые характеристики величины - математическое ожидание и дисперсию .
Для решения задачи подвергнем линеаризации функцию
(4.15)
Разложим функцию (4.15) в ряд Тейлора в окрестности точки сохраняя члены только до первого порядка малости включительно
Введём обозначение:
Тогда зависимость (4.14) можно приближенно заменить линейной зависимостью
(4.16)
Имея в виду, что центрированные аргументы имеют математические ожидания, равные нулю, и ту же ковариационную матрицу , найдем числовые характеристики линейной функции (4.16):
(4.17)
(4.18)
(4.19)
где - коэффициент корреляции величин .
Если величины не коррелированы, т.е. при , то
(4.20)
Формулы (4.18)-(4.20) находят широкое применение в практических задачах.
В некоторых задачах практики возникает сомнение в применимости метода линеаризации в связи с тем, что диапазон изменений случайных аргументов не настолько мал, чтобы в его пределах функция могла быть с достаточной точностью линеаризована.
В этих случаях для проверки применимости метода линеаризации и для уточнения полученных результатов может быть применен метод, основанный на сохранении в разложении функции не только линейных членов, но и некоторых последующих членов более высоких порядков и оценке погрешностей, связанных с этими членами-
Пример
Расстояние от некоторой точки О до объекта R (рис. 1 ) определяется следующим образом:
Рис. 1
измеряется угол , под которым виден объект из точки О; далее, зная линейный размер объекта X и считая угол малым, определяют расстояние по приближенной формуле:
.
Линейный размер объекта X, видимый из точки О, в зависимости от его случайного поворота может изменяться в пределах от 8 до 12 м; угол определяется с точностью до 0,0001 радиана. Расстояние велико по сравнению с размером объекта X. Угол измеряется без систематической ошибки. Результат измерения радиана. Найти приближенно среднее квадратическое отклонение ошибки в определении расстояния .
|
Решение. Применяя метод линеаризации, имеем
Линейный размер будем считать равномерно распределенным в интервале (8; 12) - :
;
Результат измерения угла будем считать нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением (в соответствии с правилом «трёх сигм»): . Тогда
|
|
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!