Ренты с начислением процентов q раз в год

1. Годовая рента.

В этом случае платеж Р делается один раз в конце каждого года, а проценты начисляются q раз в год по ставке r_q то есть по r_q /q,%. Изобразим эту ренту на оси времени (рис.9.1).

Р 1

Р 2

Р n-1

Р n

n-1

n

%

%

%

%

%

%

%

 

Рис.9.1. Логика решения задачи годовой ренты с начислением процентов несколько раз в год

 

Найдем наращенную к моменту n сумму такой ренты. Последний платеж входит в наращенную сумму без изменения. Предпоследний платеж делается за 1 год до момента n и на него начисляются сложные проценты q раз по ставке r_c, то есть наращенная на этот платеж сумма в момент n определяется по формуле (9.8).

(9.8)

Третий от конца платеж делается за 2 года до момента n, и наращенная на этот платеж сумма в момент n определяется по формуле (9.9).

(9.9)

Первый платеж делается за (n − 1) год до момента n, следовательно, в момент n наращенная на него сумма определяется по формуле (9.10).

(9.10)

Для вычисления наращенной суммы каждый раз применяется формула (9.11).

(9.11)

Вся наращенная сумма определяется как (9.12):

(9.12)

 

Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии с первым членом b₁ = P, знаменателем q = (1 + r_c/q)q и числом членов n. Подставляя эти значения в формулу (8.7) находим FV, получая выражение (9.13).

 

(9.13)

Например. Ежегодный вклад в банк 5000 руб. по ставке 12% годовых (сложных). Определить сумму вклада через 6 лет, если проценты начисляются ежеквартально. Это годовая рента с начислением процентов четыре раза в год.

 

2. p-срочная рента.

В этом случае ежегодно p раз производятся платежи через равные промежутки времени. Каждый платеж равен P/p. Проценты начисляются q раз в году по ставке r_c, то есть процент за один период равен r_c/q,%. На оси времени эту ренту можно изобразить так же, как и на рисунке 9.1. Найдем наращенную в момент n сумму этой ренты. На последний платеж проценты не начисляются, и он входит в наращенную сумму без изменения, то есть в размере Р/p. На предпоследний платеж начисляются проценты по ставке r_c за период, равный 1/p части года, и наращенная к моменту n на этот платеж сумма по формуле (9.14).

(9.14)

На второй с конца платеж начисляются проценты по ставке r_c за период, равный 2/p части года, и наращенная к моменту n на этот платеж сумма определяются по формуле (9.15).

(9.15)

 

Последний платеж делается за (n−1)p лет до момента n, то есть наращенная в момент n на этот платеж сумма определяется по формуле (9.16).

(9.16)

Вся наращенная на ренту сумма определяется как (9.17):

(9.17)

Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии с первым членом b₁ = P/p, знаменателем q = (1 + r_c/q)^q/p и числом членов qp. Подставляя эти значения в формулу (8.7) находим FV, получая выражение (9.18).

(9.18)

Например, Ежегодный вклад в банк 15000 руб. по ставке 12% годовых (сложных). Вклад вносится за четыре платежа в год. Определить сумму вклада через 6 лет, если проценты начисляются один раз в полгода.

Это р-срочная рента с начислением процентов два раза в год.