Конвертация валюты и наращение сложными процентами

Рассмотрим финансовую операцию вида: обмен СКВ в количестве на рубли, наращение в течение времени n на полученную сумму P сложных процентов m раз в год по годовой номинальной ставке r_m и конвертирование наращенной суммы F _nв исходную валюту, получение окончательно при этом суммы _.

rm P (Руб.)

Fn (Руб.)

(СКВ)

Наращенная сумма в валюте после двойной конвертации определяется по формуле:

 

(7.13)

Доходность такой операции определяется по формуле:

(7.14)

Если на валютном депозите происходит начисление сложных процентов l раз в год по годовой номинальной ставке r_l, тогда двойное конвертирование не приносит никакой выгоды, если:

т.е.

(7.15)

 

(7.16)

 

Наращенная сумма в валюте после двойной конвертации с применением сложной учетной ставки(d_m) определяется по формуле:

(7.17)

Доходность такой операции определяется по формуле:

(7.18)

Обозначим через d_l сложную учетную ставку наращения вклада в данном виде СКВ, получим формулу для определения такого отношения курсов валют, выше которого двойная конвертация и сама финансовая операция) не имеет смысла [4 с. 161]:

(7.19)

Задания для самостоятельной работы

Задание 7.1. Клиент собирается поместить в банке 3000 долларов на рублевом депозите сроком на 9 месяцев под 12% годовых. Курс покупки долларов на начало срока 34 руб.50 коп. Ожидаемый курс продажи через 9 месяцев - 34руб. 62коп. Процентная ставка при долларовом депозите – 10% годовых. При любом депозите начисляются простые проценты. Найти наращенную сумму:1) при конвертации валюты; 2) непосредственно на валютном депозите; 3) выяснить максимальное значение курса, выше которого нет смысла в конвертировании при помещении денежных средств на депозит.

Задание 7.2. Клиент имеет сумму 500 тыс. руб. Он предполагает поместить ее на валютном депозите на 6 месяцев под 6% годовых. Выяснить целесообразность этой финансовой сделки с банком, если в начале срока евро можно было купить по курсу 46 руб. 88 коп. и ожидается, что через 6 месяцев евро можно будет продать по курсу 46руб.92 коп. Годовая процентная ставка на рублевом депозите – 12%.

Задание 7.3. Индивидуальный предприниматель собирается поместить свободную сумму в 10тыс. долларов на рублевый или долларовый депозит на три месяца. Проценты начисляются по простой учетной ставке. Курс покупки долларов на начало срока 33,97руб, ожидаемый курс продажи через три месяца 34рубля. Определить наращенную сумму: 1) при конвертации валюты; 2) непосредственно на валютном депозите, если учетные ставки при рублевом и долларовом депозитах соответственно равны 10% и 7%.

Задание 7.4. Вы можете свои свободные денежные средства в евро на один год поместить в одном банке на валютном депозите под 5,5% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов, или в другом банке эту же сумму поместить на рублевом депозите под 11% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов. Как лучше поступить, если курс покупки евро на начало срока составляет 36 руб., а ожидаемый курс продажи через год 36,15руб.

Задание 7.5. Определить на какой депозит выгоднее поместить 5 млн. руб. – рублевый или валютный, при следующих условиях: курс покупки долларов на начало срока депозита – 34,33руб., курс продажи долларов на конец финансовой операции 34,29 руб. Срок депозита 2,5 года. Процентная ставка по рублевому депозиту 9% годовых, процентная ставка по депозитам в валюте – 5% годовых.

 

Тема 8. Денежные потоки

В процессе управления операционной и инвестиционной деятельностью организаций возникает необходимость в осуществлении специальных расчетов, связанных с движением денежных потоков в различные периоды. Ключевую роль в этих расчетах играет оценка стоимости (ценности) денег во времени. Концепция такой оценки исходит из предпочтительности денег сегодня, чем завтра. Многие предприниматели придерживаются этой методики, поскольку:

1) существует риск того, что деньги могут быть не получены в будущем;

2) если деньги имеются в наличии сегодня, то их можно вложить в бизнес с целью получения прироста авансированной стоимости (в форме прибыли) в текущем или будущем периодах.

Фактор времени, особенно в долгосрочных операциях, играет часто большую роль, чем размеры денежных сумм. Чтобы учесть его на практике, в коммерческих контрактах приводят соответствующие сроки и периодичность выплат. Необходимость учета временного фактора вытекает из экономической природы процессов финансирования, кредитования, инвестирования и выражается в принципе неравноценности денежных средств, относящихся к разным моментам времени.

Под влиянием инфляции, неопределенности и риска стоимость денег с течением времени изменяется также с учетом нормы прибыли, сложившейся на финансовом рынке. В качестве последней часто выступает ставка ссудного или депозитного процента, а также норма доходности по государственным ценным бумагам. В данном случае под процентом понимают сумму доходов, полученных инвестором (кредитором, вкладчиком) от использования денег на финансовом рынке.

Учитывая длительность инвестиционного процесса, приходится сравнивать стоимость денег при их возврате в форме будущих денежных поступлений (прибыли, основной суммы долга и др.), что требует проведения соответствующих финансовых вычислений.

Ранее были рассмотрены случаи финансовых операций, состоящих из отдельного разового платежа, например, получение и погашение долгосрочной ссуды. Вместе с тем, погашение такой ссуды возможно не только единовременным платежом, но множеством распределенных во времени выплат.

Потоки платежей являются неотъемлемой частью всевозможных финансовых операций: с ценными бумагами, в управлении финансами предприятий, при осуществлении инвестиционных проектов, в кредитных операциях, при оценке бизнеса, при оценке недвижимости, выборе альтернативных вариантов финансовых операций и т. п.

Потоки платежей весьма часто встречаются на практике. Заработная плата выплачивается, как правило, в виде потока платежей 2 раза в месяц, примерно через 15 дней. Плата за квартиру – поток, как правило, ежемесячных платежей. Семья откладывает на покупку автомобиля, внося ежемесячно на счет в банк некоторую сумму, и т.д.

Погашение долгосрочных банковских кредитов, облигационных займов, коммерческого кредита, инвестирование средств в различные программы (проекты), создание целевых денежных фондов в организациях, лизинговые и другие платежи часто предусматривают выплаты через определенные промежутки времени.

Ряд распределенных во времени выплат и поступлений называется потоком платежей.

Члены потока платежей – это величина каждого отдельного платежа.

Члены потока могут быть как положительными величинами (поступления), так и отрицательными величинами (выплатами), а временные интервалы между членами такого потока могут быть равными и неравными.

Если платеж осуществляется в конце временного интервала, то денежный поток называется постнумерандо, если вначале – пренумерандо.

При изучении потока платежей могут возникнуть две основные задачи.

Первая (прямая) задача предполагает суммарную оценку наращенного денежного потока (amount of cash flow), т.е. в ее основе лежит будущая стоимость (future value). В частности, если денежный поток представляет собой регулярные начисления процентов на вложенный капитал (P) по схеме сложных процентов, то в основе суммарной оценки наращенного денежного потока лежит формула (8.1).

(8.1)

Логика решения прямой задачи постнумерандо представлена на рис. 8.1

Р n

n-1

n

Р 1

Р 2

Р 3

Р 4

Р 5

Р n-1

 

 

Рис.8.1. Логика решения прямой задачи постнумерандо

 

На сумму Р₁ будут начисляться проценты за период времени t=n-1 по формуле (8.2).

(8.2)

На сумму Р₂ будут начисляться проценты за период времени t=n-2 по формуле (8.3).

(8.3)

На сумму Р_n-1 будут начисляться проценты за период времени t=1 по формуле (8.4).

(8.4)

На сумму P_n проценты не начисляются. Следовательно, наращенный денежный поток для исходного потока постнумерандо имеет вид (8.5) или (8.6).

(8.5)

 

(8.6)

Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии, первый член которой b1 = P, знаменатель q = 1+r_c и число членов равно n. По формуле (8.7) находим сумму первых n членов этой геометрической прогрессии (8.8).

(8.7)

 

(8.8)

Вторая (обратная) задача предполагает суммарную оценку дисконтированного (приведенного) денежного потока (present value of cash flow). Поскольку отдельные элементы денежного потока генерируются в различные временные интервалы, а деньги имеют временную ценность, непосредственное их суммирование невозможно. Приведение денежного потока к одному моменту времени осуществляется с помощью формулы (8.9), выведенной из формулы (8.1).

 

(8.9)

Логика решения обратной задачи постнумерандо представлена на рис. 8.2.

 

Р 1

Р 2

Р 4

Р 3

Р 5

Р n-1

Р n

n-1

n

 

Рис.8.2. Логика решения обратной задачи постнумерандо

 

Основным результатом расчета является определение общей величины приведенного денежного потока (8.10).

 

(8.10)

 

Слагаемые этой суммы также являются членами геометрической прогрессии, первый член которой b₁ = P(1+r_c)^-1, знаменатель q = 1/(1+r_c) и число членов равно n. По формуле (8.5) находим сумму первых n членов этой геометрической прогрессии (8.11).

 

(8.11)

Логика решения прямой задачи пренумерандо (платеж в начале периода) представлена на рис. 8.3.

 

Р 1

Р 2

Р 4

Р 3

Р 5

Р n

n-1

n

Рис.8.3. Логика решения прямой задачи пренумерандо

 

На сумму Р₁ будут начисляться проценты за период времени t=n по формуле (8.12).

(8.12)

На сумму Р₂ будут начисляться проценты за период времени t=n-1 по формуле (8.13).

(8.13)

На сумму Р_n будут начисляться проценты за период времени t=1 по формуле (8.14).

(8.14)

Следовательно, наращенный денежный поток для исходного потока постнумерандо имеет вид (8.15) или (8.16).

(8.15)

 

(8.16)

 

Логика решения обратной задачи пренумерандо представлена на рис. 8.4.

 

Р 1

Р 2

Р n-1

Р n

n-1

n

Р 3

n-2

 

Рис.8.4. Логика решения обратной задачи пренумерандо

 

Основным результатом расчета является определение общей величины приведенного денежного потока (8.17).

(8.17)

Таким образом, используемые расчетные формулы различны в зависимости от вида потока – постнумерандо или пренумерандо.

Тема 9. Финансовая рента

Поток платежей, все члены которого имеют одинаковое направление (знак), а временные интервалы между последовательными платежами постоянны, называется финансовой рентой или аннуитетом.

Финансовая рента (или просто рента) может быть охарактеризована рядом параметров:

1) член (элемент) ренты (P) – величина каждого отдельного платежа;

2) период ренты (t) – временной интервал между двумя платежами;

3) срок ренты (n) – время от начала реализации ренты до момента начисления последнего платежа;

4) процентная ставка (r) – ставка, применяемая для вычисления наращения или дисконтирования платежей, формирующих ренту.

Кроме перечисленных параметров, ренту характеризует ряд дополнительных показателей:

- количество платежей в течение года (p);

- частота начисления процентов, т.е. количество периодов в году, когда начисляют проценты (q);

- момент осуществления платежей (в начале, середине или в конце года) и др.

Поскольку условия финансовых сделок весьма разнообразны, постольку разнообразны и виды потоков платежей. В основе классификации финансовых рент положены различные качественные признаки:

1. В зависимости от периода продолжительности ренты выделяют:

- годовую ренту, которые представляют собой ежегодные платежи, т.е. период ренты равен 1 году;

- срочную ренту, при которой период ренты может быть как более, так и менее года.

2. По числу начислений процентов различают:

- ренты с начислением процентов один раз в год;

- ренты с начислением процентов несколько раз в год;

- непрерывное начисление.

3. По величине членов ренты могут быть:

- постоянные ренты, где величина каждого отдельного платежа постоянна, т.е. рента с равными членами;

- переменные ренты, где величина платежа варьируется, т.е. рента с неравными членами.

4. По числу членов ренты они бывают:

- с конечным числом членов (ограниченные ренты), когда число членов ренты конечно и заранее известно;

- с бесконечным числом (вечные ренты), когда число ее членов заранее не известно.

5. По вероятности выплаты ренты делятся на:

- верные ренты, которые подлежат безусловной выплате, т.е. не зависят не от каких условий, например, погашение кредита;

- условные ренты, которые зависят от наступления некоторого случайного события.

6. По методу выплаты платежей выделяют:

- обычные ренты, которые на практике встречаются чаще всего,– с выплатой платежа в конце периода ренты (постнумерандо);

- ренты, с выплатой в начале периода ренты (пренумерандо).

 

9.1 Оценка постоянного аннуитета постнумерандо (прямая задача)