Основные положения расчета на прочность роторов центрифуг

Нагрузка, действующая на ротор

Основной деталью большинства конструкций роторов центрифуг является цилиндрическая или коническая обечайка. Напряжения в обечайке ротора возникают под действием: а) центробежных сил инерции собственных масс конструкции; б) гидравлического давления центрифугируемой жидкости, вращающейся вместе с ротором.

Нагрузка от собственных сил инерции ротора. Пусть интенсивность сил инерции массы обечайки- сила инерции массы обечайки, приходящаяся на единицу ее боковой поверхности. Она равна:

Рисунок 63 - Схема ротора.

, (4.78)

Нагрузка от сил инерции жидкости

Найдем теперь удельное давление вращающейся жидкости на обечайку ротора.

Рисунок 64 - Форма свободной поверхности жидкости во вращающемся цилиндре

Рассмотрим прямой круговой цилиндр, закрытый снизу днищем, а сверху- кольцевой крышкой и вращающийся с угловой скоростью w вокруг своей вертикальной оси. Ввиду симметрии системы ограничимся рассмотрением осевого сечения цилиндра с системой координат x, y (рисунок 64).

Предполагаем, что жидкость вращается вместе с цилиндром, не перемещаясь относительно его стенок. На элементарную массу dm на свободной поверхности вращающейся жидкости действует центробежная сила и сила тяжести , результирующая которых должна быть перпендикулярна поверхности, являющейся поверхностью уровня. Если касательная к сечению поверхности, то:

, (4.79)

Интегрируя находим уравнение сечения свободной поверхности поверхностью xy:

, (4.80)

Полученное выражение- уравнение параболы, отнесенной к осевой оси. Следовательно, свободная поверхность жидкости- параболоид вращения.

При , имеем , следовательно и:

, (4.81)

При имеем и

, (4.82)

Из уравнения (3.82), положив находим, что скорость, при которой жидкость поднимается на высоту h, равна:

, (4.83)

Положим теперь, что скорость вращения . Жидкость будет стремиться подняться на высоту и при отсутствии крышки начнет переливаться через край. Так как крышка этого не допускает, жидкость начнет скапливаться под крышкой и покроет ее по кольцу с внутренним радиусом r (рисунок 65). Рассуждая совершенно так же, как в случае открытого цилиндра, мы приходим к выводу, что уравнение (4.80) остается в том же виде, другим будет лишь значение постоянной С, которое мы найдем, положив в уравнение (4.80) при

Рисунок 65 - Форма свободной поверхности жидкости во вращающемся цилиндре с крышкой

, (4.84)

Подставляя значение С в уравнение (4.80), получим:

, (4.85)

Из уравнения (3.85) имеем:

, (4.86)

При получаем:

, (4.87)

т.е. при достаточно больших скоростях вращения ротора (соответствующих рабочим условиям) свободная поверхность жидкости может считаться цилиндрической.

Установив форму свободной поверхности во вращающемся цилиндре, найдем теперь давление ее на обечайку.

Давление жидкости на обечайку

Выделим в кольце вращающейся жидкости элементарное кольцо массой

, (4.88)

Центробежная сила, действующая на это кольцо, равна:

, (4.89)

Давление от этой силы на соседний слой жидкости:

, (4.90)

Давление на обечайку ротора:

, (4.91)

, (4.92)

где r,r₀ - внутренний и наружный радиусы слоя жидкости в роторе.

Умножив и разделив правую часть на , получаем:

, (4.93)

где - степень заполнения ротора; V- окружная скорость ротора, м/с.

Расчет цилиндрической обечайки ротора по безмоментной теории

Согласно мембранной (безмоментной) теории тангенсальное напряжение в обечайке, нагруженной внутренним давлением, равно:

, (4.94)

, (4.95)

, (4.96)

где -допускаемое напряжение для материала ротора, МПа/м²; j - коэффициент ослабления сварного шва.

Учет перфораций в роторе

Перфорированные элементы роторов центрифуг рассчитываются на прочность как эквивалентные сплошные элементы, имеющие такие же приведенные физические характеристики: плотность r, модуль упругости Е, коэффициент ослабления сварного шва j.

Данная методика расчета применима для роторов, изготовленных из пластичных материалов, при условии, что выполняются неравенства:

, (4.97)

где r_отв -радиус отверстия, м; F_отв,м² -площадь всех отверстий перфорированного элемента; F, м² -площадь срединной поверхности сплошного элемента; r₀, м- радиус срединной поверхности ротора.

Формулы для пересчета величин Е, r, j имеют вид:

, (4.98)

, (4.99)

, (4.100)

где поправочный коэффициент С_n рассчитывается по формуле:

, (4.101)

Здесь А- коэффициент, зависящий от схемы разбивки отверстий; d-диаметр отверстий; t-шаг между отверстиями.

Коэффициент ослабления j _n применяется в расчете вместо коэффициента j сварного шва (формула (3.96) в том случае, когда , в противном случае j _n вообще не применяется.

Критическая скорость валов

Для центрифуг характерно наличие некоторого эксцентриситета масс загруженного ротора относительно оси вращения. Это вызвано как неидеальной балансировкой ротора, так и не вполне симметричным распределением осадка в роторе. При вращении вала с ротором наличие эксцентриситета масс вызывает появление соответствующей центробежной силы, которая вызывает деформацию вала. Возникают периодические биения вала. В том случае, когда частота этих биений совпадает с собственной частотой колебания вала возникает резонанс. Соответствующее моменту резонанса число оборотов вала называется критическим.

Рисунок 66 Схема к расчету критических скоростей вала центрифуги

Ротор укреплен на консольно выступающей части вращающегося в двух опорах, как это показано на рисунок 66. Масса ротора с наполняющей его суспензией настолько велика по сравнению с массой вала и укрепленных на последнем деталей, что последней можно пренебречь. При определении исходят из теории, что при критической скорости w кр ось вала принимает форму плоской кривой, а плоскость изгиба вращается вокруг линии подшипников.

При этом будем иметь следующую картину вращения вала. Ротор вращается вокруг плоско изогнутой оси вала со скоростью вращения вала, а сам вал вращается вокруг своей оси с той же угловой скоростью w и в том же направлении, что и ротор. Можно показать, что а этом случае на ротор будет действовать центробежная сила и момент , стремящийся повернуть ось вала в первоначальное положение. Момент М представляет собой гироскопический эффект быстровращающейся массы, I_o и I_э- моменты инерции массы цилиндра относительно его оси и относительно его диаметра, проходящего через центр тяжести.

Если оба подшипника жесткие, то критическая скорость ротора такой центрифуги определяется следующим выражением:

, (4.102)

где

, (4.103)

, (4.104)

где a - расстояние центра вращающихся масс от точки крепления ротора.

, (4.105)

Величины --коэффициенты, называемые коэффициентами влияния, которые определяются по следующим выражениям:

, (4.106)

, (4.107)

, (4.108)

, (4.109)

где l_1, м-длина консоли; I₁,Н_м- момент инерции сечения консоли; l_2, м- длина пролета между подшипниками; I₂ ,H_м- момент инерции сечения вала в пролете.

Рассмотренный здесь случай, когда вращение плоскости изогнутой оси вала происходит в том же направлении, что и вращение вала вокруг своей оси, называется прямой прецессией.

Другой возможный случай- обратная прецессия, когда плоскость изогнутого вала вращается со скоростью w, но в сторону, обратную вращению вала вокруг своей оси. В этом случае формула (4.102) остается в силе, но формулы для расчета коэффициентов Аи Ввидоизменяются.

Очевидно, что для обеспечения правильной работы центрифуги необходимо, чтобы рабочая скорость была достаточно далека от критической скорости, вычисленной для положительной и отрицательной прецессий, и может находиться как вне интервала между ними, так и внутри его.

В некоторых конструкциях центрифуг подшипник закреплен между рядом пружин так, что вал может отклоняться от вертикали. Смысл такой конструкции заключается в уменьшений критической скорости вращения вала. Если , то вибрации исчезают, центрифуга работает спокойно, без биений. Практически хорошие результаты получаются .

Если , то вал, как известно, называется гибким. Очевидно, что установка упругого подшипника особенно целесообразна, если обработке подлежат штучные материалы, равномерная укладка которых практически недостижима. Установка упругого подшипника полезна, так как смягчает эффект конструктивных и монтажных дебалансов, которые в той или иной мере могут возникнуть даже при тщательной балансировке машины.

Определение критической скорости в случае гибкого подшипника также производится по формуле (4.102), но изменяются значения коэффициентов А и В, а также значения коэффициентов влияния.

Влияние отдельных факторов на критическую скорость

Общий принцип таков: чем гибче вал, тем ниже его критическая скорость, а чем он жестче, тем критическая скорость выше. Другими словами, чем больше при заданных силах, деформация вала, тем критическая скорость ниже, поэтому всякое изменение параметров системы, вызывающее увеличение деформаций, влечет за собой уменьшение критической скорости.

К снижению w _кр ведут: уменьшение диаметра вала; увеличение длины вала (пролета между опорами и консоли); уменьшение (I₀ - I_э), поскольку при этом уменьшается гироскопический момент; увеличение вылета d, ведущее к увеличению деформаций; установка упругого горлового подшипника. Валы могут работать как при скорости ниже критической , так и при . В первом случае вал называют жестким, во втором, как уже отмечалось, гибким.

Опыт показал, что для жестких валов должно быть:

, (4.110)

а для гибких:

, (4.111)

Для хорошей работы центрифуги рекомендуется:

, (4.112)

Изложенные соображения о влиянии отдельных факторов указывают пути, ведущие к изменению w _кр в желательную сторону. Следует, однако, не упускать из виду, что каждый из этих путей может быть использован в определенных пределах. Так, диаметр вала может быть уменьшен в пределах, совместимых с его прочностью. Увеличение длины вала может привести к нежелательному увеличению габаритов. Пружины упругого подшипника не должны садиться и т.д.