Влияние параметров выращивания мультикремния на гидродинамику и сопряжённый теплообмен в системе тигель-расплав-кристалл

Очевидно, что чем выше скорость опускания тигля с расплавом, тем выше темп роста кристалла. Однако при таком представлении сложно наглядно оценить разницу форм фронта. Поэтому фронты кристаллизации, приписываемые изотерме плавления кремния в приближении нормального роста атомно-шероховатой поверхности [118], для разных значений скорости роста в расчётной области совмещены возле стенки тигля. Из рисунка 45 (а, б) видно, что чем меньше скорость, тем большая масса кристалла получается при достижении фронтом кристаллиза­ции заданной отметки на боковой внутренней стенке тигля. Поскольку как в промышленных, так и в лабораторных условиях довольно трудно обеспечить абсолютно одинаковый температурный профиль в каждой рабочей установке, а также учесть эксплуатационный износ теплового узла, дополнительный интерес представляет влияние начального перегрева расплава (рис. 45 - c, д) на эволюцию формы фронта кристаллизации.

Влияние скорости опускания тигля на эволюцию формы фронта при перегреве расплава на 40 К («1» - 0,7 см/ч, «2» - 1,4 см/ч, «3» - 2,8 см/ч)	z а r	z б r
Влияние начального перегрева расплава на эволюцию фронта при скорости опускания тигля 1,4 см/ч («1» - 15К, «2» - 40К, «3» - 75К)	z с r	z д r

Рис. 45. Влияние скорости опускания тигля и начального перегрева расплава на эволюцию формы фронта для стадий кристаллизации около 50% объёма кремния (а, с) и более (б, д) в режиме термогравитационной конвекции.

С ростом перегрева характерные стадии процесса кристаллизации происходят с большей задержкой во времени. Понятно, что на ход процесса сильно влияет тепловая инерция перегретого расплава и, кроме того, верхняя часть тигля при значительных начальных перегревах остается при более высокой температуре, поэтому плотность тепловых потоков через фронт кристаллизации в сторону дна тигля будет выше. Это отражается в том, что для начала кристаллизации при заданной скорости опускания тигля с ростом перегрева тигель должен находиться во все более охлажденной зоне печи.

Если же реальный фронт кристаллизации кремния представлять не совпадающим с изотермой плавления и плоским, то по расчётной области мы можем говорить о повышении (рис. 45 а, с) или понижении (рис. 45 б, д) температуры кристаллизации в периферийной части растущего кристалла. На рис. 46 расчётная область отображает эволюцию формы фронта кристаллизации, а также изолинии функции тока для стадии кристаллизации около 60% объёма кремния, осевые и радиальные компоненты скорости конвекции во взаимно перпендикулярных сечениях через центр конвективной ячейки для режимов термогравитационной и гравитационно-центробежной конвекции. Центры вращения расплава смещаются по вертикали по мере продвижения фронта кристаллизации вверх, но не смещаются в радиальном направлении. Вне зависимости от скорости опускания тигля во всех режимах практически сразу после начала процесса начинается эффективное охлаждение расплава через дно тигля. Из-за различия коэффициентов теплопроводности расплава кремния и материала тигля, одновременно с теплоотводом через охлаждаемое дно, наиболее сильным в приосевой области, идёт тепловой поток по стенке тигля к периферии дна. В режиме термогравитационной конвекции это возникшее течение имеет торообразную структуру (рис. 22), а фронт является вогнутым у центра тигля (рис. 45 а) до стадии кристаллизации объёма кремния <70% (в зависимости от скорости опускания тигля <2,8 см/ч) из-за того, что эффективный конвектив­ный подвод тепла мешает его продвижению в этой области. После этого, при малой скорости опускания тигля успевает сказываться теплоотдача в центральную часть кристалла, поэтому темп кристаллизации в центральной части становится заметно выше, чем на периферии (рис. 45 б). По контрасту изображения зёрен и МЗГ у выращенных на недостаточно низких скоростях слитков (рис. 37 а, б) видно, что вогнутая форма фронта имеет место быть и на ранних стадиях кристаллизации, т.к. визуально выделяемые МЗГ обычно перпендикулярны фронту кристаллизации [87].

без вращения тигля (1)	ω=1 об/ мин-1 (2)
а	б

Рис. 46. Влияние скорости вращения тигля на эволюцию фронта кристаллизации (при скорости 1,4 см/ч через каждые 10 минут) и изолинии функции тока в режиме термогравитационной конвекции. Осевая (a) и радиальная (б) компоненты скорости конвекции в сечениях r=0,03 м и z=0,048 м при кристаллизации 60% объёма кремния.

Анализ профилей скорости (рис. 46 а, б) показывает, что основной вихрь имеет восходящий поток у боковой стенки и опускной поток в центре. Амплитуда конвективного течения при включении скорости вращения тигля меняется незначительно, однако сама структура конвекции становится более сложной. При равномерном вращении тигля конвективная ячейка за счет действия сил инерции смещается к боковой стенке (рис. 47), оставляя в приосевой области тигля за счет вязкого трения один или несколько дополнительные вихрей (рис. 48), вращающихся в противоположном направлении с амплитудой скорости значительно меньшей, чем у основного потока. Для их проявления в расчётной области необходимо сильно мельчить шаг в ходе численных расчётов, что сопровождается слиянием линий главного вихря в сплошное пятно. Поэтому главный и вторичный вихри показаны раздельно.

ω=0 min-1

ω=0,25 min-1

ω=0,50 min-1

ω=1,00 min-1

Рис. 47. Изолинии функции тока для основного вихря на стадии кристаллизации около 1/4 объёма кремния в зависимости от скорости вращения системы тигель-расплав-кристалл.

Рис. 48. Изолинии функции тока в центральной части на начальной стадии роста в режиме термогравитационной конвекции в системе тигель-расплав-кристалл, вращающейся со скоростью 1 об/мин.

 

Такая перестройка структуры конвективного течения оказывает заметное влияние на теплообмен в системе. Поскольку расплав кремния обладает высокой теплопроводностью, то слабое течение в приосевой области не способно оказывать ощутимое влияние на поле температуры и препятствовать эффективному охлаждению расплава через дно тигля. По строению полученных кристаллов (рис. 37 а, б) можно видеть, что это выражается в корреляции радиальных расположений области слабой конвекции (рис. 48) и областей с ячеисто-дендритной структурой в промежуточных слоях слитков. Ведь переход от гладкой поверхности раздела фаз к ячеисто-дендритной структуре может произойти раньше, чем скорость кристаллизации совершит хотя бы одно колебание [131]. Весьма обнадеживающим в этом отношении является пример, приведённый на стр. 84 [130].

Ещё одной задачей численного моделирования было определить влияние равномерного вращения в указанном диапазоне скоростей на поле температур в системе тигель-расплав-кристалл при постоянной скорости её перемещения 0,5 см/ч через градиент температуры 5 К/см. Результаты показаны на рис. 49-50. Построенные для двух стадий процесса, поля температур также показывают заметную чувствительность к скорости вращения системы тигель-расплав-кристалл. В режиме гравитационно-центробежной конвекции влияние структуры течения на поле температуры выражается в том, что в приосевой области изотермы становятся слегка выпуклыми. В отсутствии вращения системы изотермы становятся вогнутыми у центра тигля из-за того, что эффективный конвективный поднос горячего расплава в сторону фронта мешает росту кристалла в приосевой области.

Тем не менее, эксперимент показывает, что при столбчатом росте кремния вращение не оказывает влияния на действительную форму фронта кристаллизации (рис. 41, а и рис. 42, б).

Рис. 49. Поле температур в системе тигель-расплав-кристалл на стадии кристаллизации четверти объёма кремния в режиме без вращения (а) и с вращением 1 об/мин (б). Цифра в кружке показывает отличие температуры на внешней стенке тигля (1685 К) от температуры на оси вращения системы.

 

Рис. 50. Поле температур в системе тигель-расплав-кристалл на стадии кристаллизации половины объёма кремния в режиме без вращения (а) и с вращением 1 об/мин (б). Цифры в кружке показывают отличие температуры на внешней стенке тигля (1685 К) от температуры на оси вращения системы.

 

Необходимо ещё раз подчёркнуть, что численная модель конвективного тепломассопереноса не предсказывает кристаллическое строение слитка, т.к. максимум справедлива лишь в описании нормального роста атомно-шероховатой поверхности, при котором достаточно очень незначительного переохлаждения ΔT на поверхности раздела, необходимого для создания движущей силы кинетического процесса (V~ΔT). Создаваемое в целом переохлаждение имеет дополнительные составляющие [24]:

, (37)

где ΔT_R - понижение равновесной температуры плавления вследствие избытка поверхностной энергии; ΔT_L - переохлаждение, связанное с отводом скрытой теплоты; ΔT_C - концентрационное переохлаждение, возникающее при избытке примесей. В нашем случае, необходимо учитывать:

1) Отвод теплоты кристаллизации в твёрдую фазу учитывается в уравнении теплопроводности при помощи введения эффективной теплоёмкости (стр. 60).

2) Кривизна изотерм в расчётной области и предполагаемая плоская форма реального фронта не исключают влияния слагаемого ΔT_R.

3) В отсутствии крупных включений (более 100 мкм) примесей в слитке слагаемым ΔT_C можно пренебречь. В противном случае для стадий кристаллизации четверть и половина объёма кремния оно ориентировочно составляет ΔT_C≈0,5K и ΔT_C≈0,8K, соответственно.

Выше уже был затронут вопрос устойчивости плоской границы раздела фаз к примеси. Для таких поверхностей вопрос о продолжительности пребывания системы кристалл–расплав в состоянии, когда и граница плоская, и ΔT_C не мало, у специалистов по росту кристаллов пока даже не возникал [131]. Захват примесей в данном случае провоцирует скорость опускания тигля, принимая значение выше критического. Кроме того, кристаллическое строение определяется таким же образом, каким образом поверхность растущего кристалла стремится минимизировать свою свободную энергию [55,56]. Поэтому, в относительно чистой системе (ΔT_C ≈0) остаются два переменных слагаемых:

, (38)

При постоянной скорости перемещения системы тигель-расплав-кристалл остаётся одно переменное слагаемое в выражении (37):

. (39)

Если допустить постоянство плоской формы действительного фронта кристаллизации с ростом скорости равномерного вращения системы, то по расчётной области на рис. 49, 50 с изотермами мы можем оценить разницу температур роста в центральной части для режимов термогравитационной и гравитационно-центробежной конвекции. В рассматриваемом интервале угловых скоростей для стадии кристаллизации четверти объёма кремния это снижение примерно составляет 1К и для стадии кристаллизации половины объёма кремния это снижение примерно составляет 1+2,3 =3,3 К. Для случая атомно-гладкой поверхности подобный прирост переохлаждения приводит к увеличению в десятки раз скорости и переходу к нормальному росту [52,53,54]. В работе [56] изменению типа поведения двух смежных зёрен в кремнии, противопоставленных друг другу по критерию Джексона (см. формулу 7 и рис. 12 1-й главы), соответствовало возрастание переохлаждения на 2,5 К. Пунктирная линия на рис. 51 показывает зависимость скорости роста от переохлаждения для грани кремния {111} в отсутствии выходов винтовых дислокаций.

Рис. 51. Взаимосвязь скорости роста и переохлаждения для послойно растущей поверхности {111} [56]

Если скорость роста в работе [56] авторами была измерена напрямую, то переохлаждение ими выведено с использованием следующего выражения для скорости послойного роста кристалла [51]:

, (39)

где V(м/с) – скорость роста, h(м) – высота монослоя, J(м^-2с^-1) – скорость двумерного зародышеобразования, S(м) – площадь поверхности кристалла, v(м/с) – скорость распространения моноатомных ступенек, b – геометрический фактор формы зародыша (b=π для круга, b=4 для квадрата), и β=0,97 – числовой коэффициент. Теперь, J и v в уравнении (39) являются функциями переохлаждения.

В работе [52] авторы смоделировали рост на грани кремния (111) при нескольких разных переохлаждениях (13К≤∆Т≤20К) с использованием метода Монте-Карло, и показали v и J, как:

, (40)

, (41)

После подстановки этих величин в уравнение (39) получается взаимосвязь между скоростью роста и переохлаждением.

Кроме этого необходимо также учитывать, что:

а) в случае присутствия плоскости {111} на межфазной поверхности в виде входящих углов (рис. 12 и 13), критический размер зародыша и переохлаждение для соответствующих скоростей роста будут составлять 70-80% в зависимости от геометрии поверхности, определяемой одной из возможных ориентаций (<110>, <100>, <211>) материнского зерна [133];

б) при одной и той же скорости роста, грань, растущая по послойно-спиральному механизму [118], требует существенно меньшего переохлаждения, чем грань зерна, растущего в отсутствии выходов винтовых дислокаций (рис. 43 и 44).

Несмотря на сопоставимое с литературными данными снижение температуры кристаллизации в приосевой зоне растущего кристалла возрастания скорости роста в действительности не происходит, так как фактически сохраняется плоская форма реального фронта кристаллизации (см. рис. 41, а и рис. 42, б). Интегрированная в кристалл примесь, вероятно, влияет некоторым образом на слагаемое ΔT_R, но, даже если бы на промежуточной стадии кристаллизации возникла зона концентрационного переохлаждения, то слагаемого ΔT_C было бы недостаточно для снижения температуры кристаллизации, показанного на рис. 49 и 50.

Таким образом, с ростом скорости равномерного вращения системы тигель-расплав-кристалл в приосевой области растущего mc-Si возникает избыток поверхностной энергии, уходящей на образование МЗГ общего типа.