Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2017-06-04 | 252 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Дифференциальные уравнения
Основные теоретические сведения
Основные понятия теории дифференциальных уравнений 1-го порядка
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой аргумент, функцию, ее производные: .
Порядок дифференциального уравнения равен порядку высшей производной, содержащейся в уравнении. Дифференциальное уравнение первого порядка .
Решение (интеграл) − явная (неявная) функция , обращающая дифференциальное уравнение в тождество.
Общим решением (совокупность всех решений) − функция, которая удовлетворяет трем условиям:
1. содержит n произвольных постоянных величин, если n − порядок дифференциального уравнения;
2. при любых значениях произвольных постоянных является решением;
3. при произвольных начальных условиях позволяет решать задачу Коши (по заданным начальным условиям определить частное решение).
Решение уравнения существует в области X, где функция непрерывна.
Геометрический смысл основных понятий
Дифференциальное уравнение первого порядка геометрически представляет собой поле направлений касательных к интегральным кривым.
Общее решение − однопараметрическое семейство интегральных кривых , где C − параметр.
Решения, получающиеся из общего решения при определенном значении произвольной постоянной C, называется частными.
График всякого решения данного дифференциального уравнения, построенный на плоскости , называется интегральной кривой этого уравнения.
Частное решение уравнения − интегральная кривая , угловые коэффициенты касательных к которой определяются данным дифференциальным уравнением. Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям (другая запись или ), называется задачей Коши.
|
Пример. Пусть дано дифференциальное уравнение .
Что есть что?
1) Дифференциальное 2) Общее решение 3) Частное решение
уравнение
у y у
Интегральная кривая,
соответствующая начальному
условию .
Рис. 10.
2. Рассмотрим методы нахождения решений дифференциальных уравнений 1-го порядка. Отметим, что общего метода нахождения решений не существует. Обычно рассматривают типы уравнений, и для каждого из них находят свой способ нахождения решения.
Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнение вида
, (6.1)
где, − непрерывные функции, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Для отыскания решения уравнения (6.1) нужно, как говорят, разделить в нем переменные. Для этого
1. заменим в (6.1) ,
2. умножим обе части уравнения ,
3. разделим обе части уравнения .
Тогда уравнение принимает вид
Тогда уравнение принимает вид
. (6.2)
В этом уравнении переменная x входит только в правую часть уравнения, а переменная y − только в левую часть. Следовательно, переменные разделены. Далее необходимо проинтегрировать уравнение (6.2) и записать общий интеграл (решение).
Однородные дифференциальные уравнения. Функция называется однородной функцией измерения k относительно аргументов x и y если равенство справедливо для любого числа , при котором функция определена, .
Например, функция является однородной четвертого измерения , так как
.
Если , то функция будет однородной нулевого измерения, т.е.
.
Дифференциальное уравнение в нормальной форме
(6.3)
называется однородным относительно переменных x и y, если - однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.
Так как однородное дифференциальное уравнение (6.1) в нормальной форме всегда можно записать в виде , то, положив , получим . Следовательно, уравнение (6.3) с помощью замены сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно x и новой функции .
|
Что необходимо для решения
Вариант контрольной работы
1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:
а) ; | в) ; |
б) ; | г) . |
2. Найти общее решение дифференциального уравнения
а) , б) .
3. Определить и записать структуру частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения по виду функции
Дифференциальные уравнения
Основные теоретические сведения
Основные понятия теории дифференциальных уравнений 1-го порядка
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой аргумент, функцию, ее производные: .
Порядок дифференциального уравнения равен порядку высшей производной, содержащейся в уравнении. Дифференциальное уравнение первого порядка .
Решение (интеграл) − явная (неявная) функция , обращающая дифференциальное уравнение в тождество.
Общим решением (совокупность всех решений) − функция, которая удовлетворяет трем условиям:
1. содержит n произвольных постоянных величин, если n − порядок дифференциального уравнения;
2. при любых значениях произвольных постоянных является решением;
3. при произвольных начальных условиях позволяет решать задачу Коши (по заданным начальным условиям определить частное решение).
Решение уравнения существует в области X, где функция непрерывна.
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!