Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2017-06-04 | 287 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1) Уметь составить характеристическое уравнение по виду дифференциального уравнения. Для этого нужно формально заменить любой буквой в степени n: заменить , заменить , заменить .
2) Уметь решать квадратное уравнение по формуле
или по теореме Виета .
3) Знать на память вид общего решения в зависимости .
5. Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами основывается на следующей теореме.
Теорема. Если - некоторое частное решение неоднородного уравнения и - общее решение соответствующего однородного уравнения , то общее решение неоднородного уравнения имеет вид .
Правило нахождения частного решения неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов.
1. Пусть , где - многочлен степени n, тогда:
а) , где - многочлен той же степени n с неопределенными коэффициентами, если и ;
б) , если (или );
в) , если .
2. Пусть , тогда:
а) , если ;
б) , если (или );
в) , если .
3. Пусть , где и - многочлены, наибольшая степень которых n, тогда:
а) , если ;
б) , если , где и - многочлены с неопределенными коэффициентами.
Пример 1. Найти общее решение уравнения .
▲ Так как функции и - однородные второго измерения, то данное уравнение – однородное (см. п. 2). Сделаем замену . Тогда
.
Предполагая, что , сокращаем обе части уравнения . Далее имеем:
.
Разделяя переменные (для разделения переменных необходимо перенести все, что содержит t в одну сторону, а все, что содержит x - в другую, при этом и должны быть только в числителях), последовательно находим:
.
В последнее выражение вместо переменной t подставим значение . Получим общий интеграл . Разрешив его относительно y, найдем общее решение исходного дифференциального уравнения: . ▼
|
Пример 2. Найти общее решение уравнения .
▲ 1. Убедившись, что данное уравнение линейное (см. п. 2), полагаем
, тогда
и данное уравнение преобразуется к виду
.
Составим систему для определения u и v:
Решаем первое уравнение системы (при определении v не нужно писать произвольную постоянную величину, ибо достаточно знать с точностью до постоянной величины). Подставляем во второе уравнение системы и решаем полученное уравнение:
.
Зная u и v, находим искомую функцию y: .
2. Перепишем данное уравнение так: . Рассмотрим однородное уравнение . Так как (значение не является решением неоднородного уравнения), то
-
общее решение однородного уравнения.
Применяем далее метод вариации произвольной постоянной C. Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде
.
Подставив значения y и в неоднородное уравнение, получим
.
Т.к. , то .
Подставив это значение в общее решение неоднородного уравнения, получим - общее решение неоднородного уравнения. ▼
Пример 3. Найти общее решение уравнения .
▲ В уравнении нет в явном виде искомой функции y. Понизим порядок этого уравнения, положив . Тогда и исходное уравнение превращается в уравнение с разделяющимися переменными
.
Т.к. , то последнее уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными
.
Получили общее решение исходного уравнения . ▼
Пример 4. Найти общее решение уравнения .
▲ В уравнении нет в явном виде аргумента x. Понизим порядок уравнения подстановкой , тогда и исходное уравнение превращается в уравнение с разделяющимися переменными
.
Т.к. , то последнее уравнение является дифференциальным уравнением 1-го порядка с разделяющимися переменными
. ▼
Пример 5. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , .
|
▲ Рассмотрим однородное уравнение . Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид , откуда , . Следовательно, - общее решение однородного уравнения.
Подберем вид частного решения для данного уравнения.
Подставляя и в неоднородное исходное уравнение, получим тождество ( - решение данного уравнения). Для удобства вычислений будем выписывать выражения , , в отдельные строки и слева за вертикальной чертой помещать коэффициенты, стоящие перед ними в уравнении. Умножая эти выражения на коэффициенты, складывая и приводя подобные члены, имеем:
.
Приравнивая коэффициенты при подобных членах в левой и правой части последнего тождества, находим и :
Итак, частное решение неоднородного уравнения имеет вид
,
а общее решение неоднородного уравнения -
.
Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
Искомое частное решение таково:
. ▼
Вариант контрольной работы
1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:
а) ; | в) ; |
б) ; | г) . |
2. Найти общее решение дифференциального уравнения
а) , б) .
3. Определить и записать структуру частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения по виду функции
|
|
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!