Краткие теоретические сведения

 Второй закон Ньютона. В рассматриваемых ниже математических моделях физических процессов фундаментальную роль играет второй закон Ньютона. Он гласит, что ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально действующей на него силе (если их несколько — то равнодействующей этих сил) и обратно пропорционально его массе:

                                               (1)

Свободное падение тела. Математическая модель свободного падения тела — уравнение второго закона Ньютона с учетом двух сил, действующих на тело — силы тяжести и силы сопротивления среды. Движение является одномерным; проецируя силу тяжести , силу сопротивления , скорость и перемещение  на ось, направленную вертикально вниз, получаем : 

                    (2)

Сила сопротивления имеет две составляющие: .

Коэффициенты и  определяется свойствами среды и формой тела. Например, для шара  — так называемая формула Стокса, где  — динамическая вязкость среды, — радиус шара. Обычно принимают , где S - площадь сечения тела, поперечного по отношению к потоку,   - плотность среды, c — безразмерный коэффициент лобового сопротивления (см. рис. 1). В конкретных задачах можно одной из составляющих силы сопротивления пренебречь (если она значительно меньше другой).

 

Диск         Полусфера     Шар   «Каплевидное» тело

c=1,11     c=0,55     c=0,4   c=0,045

Рис. 1. Значения коэффициента лобового сопротивления для некоторых тел, поперечное сечение которых имеет указанную на рисунке форму

 

Взлет ракеты. Исследуем ситуацию, когда масса тела не является величиной постоянной. Запишем второй закон Ньютона в более общей математической форме.

Построим простейшую модель вертикального взлета ракеты, приняв следующие гипотезы:

1) масса ракеты уменьшается во время взлета по линейному закону:

,             (3)    

где m₀ ¾ начальная масса ракеты, заправленной топливом; m_кон ¾ остаточная масса после полного выгорания топлива;a ¾ расход топлива;

           

2) Сила тяги двигателя  постоянна на всем участке взлета.

3) плотность воздуха r, входящая в коэффициент k2, убывает по мере подъема ракеты по закону r = r₀ . 10^-bh, где h ¾ высота, b » 5,6 . 10^-5 м^-1 .

Таким образом, модель будет описываться системой двух дифференциальных уравнений для функций v(t) и h(t):

 

             (4)

 

Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Дифференциальные уравнения модели получаются из второго закона Ньютона проецированием скорости и перемещения на горизонтальную и вертикальную оси координат:

                           (5)

Здесь  m ¾ масса тела;  v _x = vcos a , v_y = vsin a  - величины проекций  начальной скорости v на горизонтальную и вертикальную оси; a ¾ угол начального наклона вектора скорости к горизонту; k ₁ и k ₂ – коэффициенты, входящие в в формулу силы сопротивления.

Движение небесных тел. Рассмотрим модель движения космического тела (планеты, кометы, спутника) под действием силы всемирного тяготения в гравитационном поле, создаваемом телом с многократно большей массой.

Примем следующие предположения: «большое» тело находится в начале системы координат, другие тела на движение «малого» тела влияния не оказывают. Дифференциальные уравнения модели имеют вид

,    (6)

где M- масса «большого» тела; x, y - координаты «малого» тела, движение которого изучается; v_x, v_y – величины проекций скорости «малого» тела на горизонтальную и вертикальную оси, G = 6,67. 10^-11 м³/кг с² ¾ гравитационная постоянная .

Обезразмеривание. В задаче о движении небесных тел особенно неудобно работать с размерными величинами, измеряемыми миллиардами километров, секунд и т.д. В качестве величин для обезразмеривания удобно принять характерное расстояние от Земли до Солнца ρ = 1,496∙10¹¹ м, (так называемая астрономическая единица), период круговой орбиты , соответствующий этому расстоянию, скорость движения по ней , т.е. принять

После обезразмеривания получаем

 (7)

В безразмерных переменных уравнения вообще не содержат параметров. Единственное, что отличает разные режимы движения друг от друга – это начальные условия.

Движение заряженных частиц. Рассмотрим модель движения заряженной частицы в кулоновском поле другой заряженной частицы, положение которой фиксировано.

 В системе координат, начало которой привязано к «большому» телу, дифференциальные уравнения модели имеют вид

                           (8)

Они получаются из второго закона Ньютона и закона Кулона.  = 0,85 ^. 10^-12 ф/м ¾ электрическая постоянная. Знак “-” в двух последних уравнениях соответствует разноименно заряженным частицам; в случае одноименных зарядов он меняется на “+”.  Здесь q и Q ¾ соответственно заряды движущейся и закрепленной частиц; m ¾ масса движущейся частицы; x и y - координаты движущейся частицы; v _x , v_y - величины проекций скорости v движущейся частицы.на горизонтальную и вертикальную оси;

Метод Эйлера решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим задачу Коши: Найти решение дифференциального уравнения для при начальном условии . Для численного решения уравнения проведем дискретизацию следующим простейшим способом: заменим непрерывные промежутки изменения t и y дискретными множествами значений, непрерывные функции –дискретными, производную – конечноразностным отношением. Получим : откуда получаем разностную схему Эйлера:

        (9)

Здесь отрезок  разбит на n равных частей длиной , так что .

 Вопрос о выборе конкретного значения  весьма непрост и определяется следующими соображениями. При компьютерном моделировании можно получить решение задачи о движении тела на некотором дискретном множестве значений t ₀ , t ₀ + D t, …, t ₀ +( n -1) D t. Чем больше величина Dt, тем меньшая точность в передаче значений непрерывных функций их дискретными представлениями. Однако, уменьшение шага Dt не всегда ведет к улучшению результатов моделирования. Одна из причин заключается в том, что чем меньше шаг, тем больше арифметических действий, ведущих к увеличению глобальной погрешности округления. Более эффективными при моделировании процессов, описываемых дифференциальными уравнениями, являются методы Эйлера-Коши или Рунге-Кутта более высокого порядка аппроксимации, чем метод Эйлера.

Пример выполнения задания

Задача. Парашютист спрыгивает с высоты h₀ и раскрывает парашют на высоте h₁. Определить, будет ли скорость приземления безопасной.

Цель моделирования. Определить конечную скорость движения тела и сравнить ее с безопасной (10 м/с).

Формализация. Будем считать, что форма человека близка к сферической, форма парашюта – полусферической. Тело характеризуется массой m, радиусом (r- человека и r₁ – парашюта) и площадью поперечного сечения ( S и S₁ соответственно). Среда характеризуется плотностью ρ и вязкостью μ. В ходе движения меняются время t, скорость v и высота h. Задача состоит в том, чтобы определить v_кон в момент времени, когда h станет близкой к  нулю.

Построение математической модели. Воспользуемся моделью (2):

Выбор метода исследования. Применим для решения системы дифференциальных уравнений метод Эйлера:

; ;

Построение компьютерной модели и ее проверка Выберем для моделирования среду табличного процессора Excel. Для проверки модели на адекватность рассмотрим движение без сопротивления среды (k ₁ =0 и k ₂ =0)

Свободное падение тела
Параметры движения		Параметры тела		Параметры среды		Коэффициенты
Время t0	0	Масса m	80	Вязкость	0,0182	k1	0,000
Скорость v0	0	Радиус r	0,3	Плотность	1,2	k2	0,000
Высота h0	1000	Радиус r1	1,5
Высота h1	800	Площадь S	0,053
Шаг ∆t	0,5	Площадь S1	7,069
		Коэффициент с	0,40
		Коэффициент с1	0,55

Рис. 2 Исходные данные задачи о свободном падении (сопротивление среды не учитывается)

Изменение скорости и высоты со временем

 

t	v		h
0	0		1000
0,5	4,9		1000,0
1	9,8		997,6
1,5	14,7		992,7
2	19,6		985,3
2,5	24,5		975,5
3	29,4		963,3
3,5	34,3		948,6
4	39,2		931,4
4,5	44,1		911,8
5	49,0		889,8
5,5	53,9		865,3
6	58,8		838,3
t	v	h
6,5	63,7	808,9
7	68,6	777,1
7,5	73,5	742,8
8	78,4	706,0
8,5	83,3	666,8
9	88,2	625,2
9,5	93,1	581,1
10	98,0	534,5
10,5	102,9	485,5
11	107,8	434,1
11,5	112,7	380,2
12	117,6	323,8
12,5	122,5	265,0

 

В отсутствие сопротивления среды скорость растет со временем по линейному закону, что соответствует аналитическому решению уравнений

 

Добавим силу сопротивления ( и )

Свободное падение тела с учетом сопротивления
Параметры движения		Параметры тела		Параметры среды		Коэффициенты (без парашюта)
Время t0	0	Масса m	80	Вязкость	0,0182	k1	0,045
Скорость v0	0	Радиус r	0,3	Плотность	1,2	k2	0,013
Высота h0	1000	Радиус r1	1,5			Коэффициенты (с парашютом)
Высота h1	800	Площадь S	0,053			k1	0,515
Шаг ∆t	0,5	Площадь S1	7,069			k2	2,333
		Коэффициент с	0,40
		Коэффициент с1	0,55