Распределительное свойство умножения

Практическое занятие

Тема: «Методика изучения приемов внетабличного умножения и деления.

Приемы деления с остатком».

План.

Вопрос 1

В основе устных приемов внетабличного умножения и деления лежат несколько свойств арифметических действий.

Распределительное свойство умножения

Распределительное свойство умножения изучают в виде двух правил, но при изучении приемов устного внетабличного умножения и деления используется только первое правило.

Правило 1 - умножение суммы на число

Данное правила обычно изучается в третьем классе и опирается на знание конкретного смысла действия умножения. На его основе раскрывается прием умножения двузначного числа на однозначное.

При знакомстве с этим свойством используется метод эмпирического обобщения.

Учащимся предлагаются несколько (3) заданий типа: Положите перед собой 3 ряда треугольников, в каждом из которых по 5 синего цвета и по 3 желтого. Сколько всего треугольников пред вами?

Каждый раз учащиеся находят общее количество предметов двумя способами:

1) сначала выполняют действие в скобках, а потом умножают - (5+3)*2 = 8*2 = 16;

2) сначала каждое из слагаемых в скобках умножают, а потом складывают получившиеся числа – (5+3)*2 = 5*2+3*2 = 10+6 = 16.

И каждый раз видят, что результат при обоих способах вычисления одинаков.

Решив ряд подобных заданий, учащиеся на основе полученных записей делают вывод, что,чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

 

Ознакомление учащихся с первым правилом распределительного свойства умножения в разных программах

По программе М. И. Моро

(М3Мч2 стр. 6)

 

По данной программе это правило изучается в третьем классе. При его изучении используется метод эмпирического обобщения с опорой на изображение. Учащиеся находят решение двумя способами, сравнивают полученные результаты и видят, что они одинаковые. После выполнения нескольких подобных заданий дети сравнивают получившиеся записи и делают общий вывод, что,чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить. Четкого правила в учебнике не дается, но дети могут сами сформулировать его. Затем даются задания на закрепление.

По программе И. И. Аргинской

(М3Ач2 стр. 104)

 

По данной программе это правило изучается в третьем классе. Оно вводится на основе сравнения выражений. Детям предлагают сравнить, чем похожи, чем отличаются, две пары выражений типа: (3+5)*3 … 3*3+5*3(т.е. два способа решения), найти значения этих выражений и сравнить полученные результаты, определить их особенности, самостоятельно составить еще три пары похожих выражений, найти их значение и сделать вывод. После выполнения этого задания в учебнике дается правило:При умножении суммы на число значения выражения не измениться, если умножить на число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.  Дается пояснение, что это распределительное свойство умножения относительно сложения. Детям предлагается записать это правило в общем виде, используя буквы, а затем сравнить свою запись с записью, которая дана в учебнике. Затем даются задания на закрепление.

 

 

По программе Л. Г. Петерсон

(М2Пч3 стр. 60)

 

По данной программе это правило изучается во втором классе. В этом учебнике правило изучается на основе анализа записи к рисунку, где дается два способа решения, которые предлагается сравнить. Дается несколько подобных заданий на основе которых дети определяют, как умножить сумму на число. После этого дается общая формулировка правила умножения суммы на число: Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить. Дается пояснение, что это распределительное свойство умножения и запись правила в общем виде. Затем даются задания на закрепление.

 

По программе М. И. Моро

(М3Мч2 стр. 13)

 

По данной программе это правило изучается в третьем классе. Изучение осуществляется методом эмпирического обобщения. Дается похожих заданий. Решение осуществляется двумя способами, которые потом сравниваются. После выполнения этих заданий, полученные записи анализируются и на основе этого делается общий вывод, что, чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.Четкой формулировки правила в учебнике не дается. Затем даются задания на закрепление.

 

По программе Л. Г. Петерсон

(М2Пч3 стр. 68)

 

По данной программе это правило изучается во втором классе. Правило деления суммы на число изучается в процессе решения задачи. Детям предлагается прочитать условие задачи, объяснить данной решение задачи и найти ответ, далее проанализировать решение задачи и составить буквенное равенство. И на основе решенной задачи сделать вывод о том, как разделить сумму на число. Далее дается общая формулировка правила: Чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить и запись правила в общем виде. Затем даются задания на закрепление.

 

 

Вопрос 2

Кроме табличных случаев умножения и деления учащихся знакомят свнетабличными случаями, т. е. такими, которые не входят в таблицу умножения и деления. Рассмотрим каким образом их изучают по программе М.И.Моро и др.:

М3М, ч . 2 стр.4

20∙3 =

2дес. ∙3 = 6дес.

20∙3=60

Т.О.1)Соотношение между разрядными единицами(1дес. = 10 ед.);
2) Таблица умножения.

3 ∙20=

3.20=20.3

20∙3=60

3∙20=60

Т.О.1) Переместительное свойство умножения;
2) Приём умножения круглого числа на однозначное.         

60:3=

6дес.: 3 = 2дес.

60:3=20

Т.О.1) Соотношение между разрядными единицами;
2)Таблица умножения и соответствующие случаи деления.

М3М, ч . 2 стр.5

 

80:20=        

20∙4=80

80:20=4

 

Т.О. 1) Связь между делимым, делителем и частным (если частное умножить на делитель, получимделимое);
2) Приём умножения круглого числа на однозначное.  

 

М3М, ч . 2 стр.8

15*3=(10+5)*3=10*3+5*3=45

 

Т.О. 1) Разрядный состав числа;
2) Распределительное свойство умножения (правило умножения суммы на число М3М, ч.2стр.6, см. предыдущую лекцию);

    3) Приём умножения круглого числа на однозначное;

4)Таблица умножения;

5)Сложение в пределах 100.

 

М3М, ч . 2 стр.8

4 ∙ 23=      

       4 ∙ 23= 23 ∙ 4

23 ∙ 4 = 92

 

Т.О. 1) Переместительное свойство умножения;

    2) Приём умножения двузначного числа на однозначное.

 

5.Деление двухзначного числа на однозначное.

М3М, ч . 2 стр.15

- Рассматривают 3 случая:

А)69:3 =

(60+9):3= 60:3 +9:3 = 20+3=23

Т.О. 1) Разрядный состав числа;

2) Правило деления суммы на число (М3М ч.2 с.13- изучение рассмотреть самостоятельно);

    3) Случаи деления круглого числа на однозначное;

    4) Табличные случаи деления;

 5) Сложение в пределах 100.

Это самый простой случай в данном приеме, так как действуем также, как при умножении двузначного числа на однозначное.

Б) 36:2=

(20+16): 2= 20:2+16:2=10+8=18

 

Если 36 заменить суммой разрядных слагаемых (30+6), то на 2 разделить будет сложно т.к. 30:2 дети делить не умеют. Поэтому подбираем удобные слагаемые, такие, чтобы каждое из них было удобно делить на 2.

В данном случае это 20 и 16, можно подобрать и другие слагаемые,

(например: 18 и 18, 24 и 12), но мы выбираем такой вариант удобных слагаемых,чтобы первое слагаемое было круглым числом, которое удобно делить на делитель и при его делении должно получиться тоже круглое число. А второе слагаемое – это оставшиеся единицы делимого.

Чтобы облегчить детям поиск этих удобных слагаемых, предлагаем взять делитель и приписать к нему 0 (в данном случае получим 20). Это – 1-ое удобное слагаемое, второе слагаемое – это оставшиеся единицы делимого (36-20=16)

Получаем: 36:2=(20+16): 2= 20:2+16:2=10+8=18

 

В)72:2=                                       или 90:5=

(60+12): 2= 60:2 +12:2=30+6=36; (80+10):2=50:5+40:5=10+8=18

 

В этих случаях способ нахождения удобных слагаемых такой же, как в Б), но если делать как в Б), то – не получим удобные слагаемые.

Если 72:2=(20+52):2, то  52:2 – мы не разделим, поэтому первое удобное слагаемое 20 мы предлагаем умножить на 2, на 3… и т.д. Так, чтобы получилось круглое число, самое близкое к делимому, но не больше его, которое удобно делить на 2, т.е. 72:2=(60+12):2 … .

СЛЕДОВАТЕЛЬНО, первое удобное слагаемое,это круглое число, самое близкое к делимому, которое удобно делить на делительтак, чтобы при этом получилось тоже круглое число, второе удобное слагаемое находят вычитанием, это оставшиеся единицы делимого.

Случай В)самый сложный, поэтому отводим для него несколько уроков.

 

6. Деление двузначного числа на двузначное способом подбора частного.

 

М3М, ч . 2 стр.18

 

Т.О. 1) Правило взаимосвязи между делимым, делителем и частным(если частное умножить на делитель, то получим делимое)

 

87:29 = подбираем частное (берем 2,3…)

29 ∙ 2= 58, 58 меньше ,чем 87 значит  2 не подходит

29 ∙ 3= 87, 87=87 , т.е. 3 подходит.

 

С каждым из этих вычислительных приемов работают по плану:

1- Повторение теоретической основы приема (Т.О.) (1 урок);

2- Ознакомление с приёмом (1урок);

3- Формирование вычислительного умения (отрабатывают правильность, осознанность действий), поэтому используют задания с подробным объяснением и записью (1 урок);

4- Формирование вычислительного навыка. В данном случае результаты наизусть не учат, но добиваются автоматизма, быстроты, свёрнутости действий (3-4 урока).

 

К концу темы все приёмы должны быть усвоены на уровне навыка, поэтому на каждом уроке проводим математические диктанты, игры и т.д. Добиваемся правильности и быстроты вычислений.

 

По программе Л. Г. Петерсон

  (М2Пч3 стр. 52)                                  (М2Пч3 стр. 56)

                (М2Пч3 стр. 60)                   (М2Пч2 стр. 61)

 

             (М2Пч3 стр. 68)                     (М2Пч3 стр. 72)

По данной программе изучение этой темы идет во втором классе. По этой программе изучаются почти все приемы внетабличного умножения и деления. По этой программе изучают: прием умножения круглого числа на однозначное (стр. 52), прием умножения однозначного числа на круглое число (стр. 52), прием деления круглого числа на однозначное (стр. 56), прием деления круглого числа на круглое (стр. 56), прием умножения двузначного числа на однозначное (стр. 60-61), прием деления двузначного числа на однозначное (стр. 68), прием деления двузначного числа на двузначное (стр. 72). Все рассмотренные в учебнике приемы изучаются подробно, каждый раз дается правило и его запись в общем виде и подробный пример. Перед тем как дети увидят правило им предлагают, выполнив упражнения, самим попробовать догадаться, вывести принцип, изучаемого приема.

Вопрос 3

Этапы	Деятельность учителя	Деятельность ученика
1. Организационный момент	Чтобы спорилось нужное дело, Чтобы в жизни не знать неудач, В мир математики отправимся смело, В мир примеров и разных задач. А девизом нашего урока буду такие слова: Думать – коллективно! Решать – оперативно! Отвечать – доказательно! Работать – старательно! И открытия нас ждут обязательно! А какие именно нас ждут открытия, вы догадайтесь сами.
2. Актуализация знаний	Устный счет. Игра «Кто быстрее полетит в космос?» (Каждый ряд получает лист бумаги с изображением ракеты. На ракете записаны примеры на умножение и деление по количеству учеников в ряду. По команде учителя первый ученик начинает решать пример. Затем передает ракету следующему ученику своего ряда. После окончания игры учитель открывает ответы на доске. Побеждает ряд, который решит все примеры быстрее других и не допустит ошибок). 90:3 90:3 30*2 30*2 60:20 60:20 3*6 3*6 18:9 18:9 2*40 2*40 80:4 80:4 60:10 60:10 (Проверка по доске, проверяет первый ученик) (30, 60, 3, 18, 2 80, 20, 6)   Минутка чистописания. - Запишите число, обозначающее количество дней в неделе - Запишите число, обозначающее количество пальцев на руках - Эту отметку любят все школьники - Запишите число, обозначающее количество ног у человека - Запишите число, обозначающее количество месяцев в году Проверьте запись: 7, 10, 5, 2, 12.	7     10   5   2   12   7, 10, 5, 2, 12
3. Постановка учебной задачи	Постановка учебной проблемы На какие группы можно разделить эти числа? Умножьте каждое число на 8 и запишите полученные выражения в тетрадь. - Какой пример у вас вызвал затруднение?   – В чём затруднение?   – Кто догадался, какая задача стоит сегодня перед вами?   – Кто догадался, какая тема нашего урока сегодня?   - Какие цели мы поставим перед собой на этот урок? - Приступим к поиску решения. Для этого вы поработаете в группах. Каждая группа получает карточку с выражением 12 х 8 и пытается выдвинуть свою гипотезу решения. По окончании работы представители групп озвучивают свой вариант решения. (Принимается каждая гипотеза, даже ошибочная.) Карточки помещены на доску. Если есть верные способы решения, то вопрос таков: - Выберите самый удобный способ решения. Если правильных способов решения нет, то предложение учителя следующее: - Посмотрите, как выполнила это задание я: 12 х 8 = 10 х 8 + 2 х 8 = 80 + 16 = 96 10 2 - А какие выражения из устного счёта могли бы помочь нам найти значение данного выражения? - Какой цели мы достигли на данном этапе? - Какова следующая цель? - Над созданием алгоритма вы поработаете в парах. Возьмите разрезанные карточки и составьте из них алгоритм умножения двузначного числа на однозначное.   Давайте решим задачу «У стола 4 ножки, А вопрос таков, Сколько вместе будет ножек У 16 столов ?» - Как умножим однозначное число на двузначное.     - Найдём значения выражений 28*2, 4*19. -Проговорите пример в паре, пользуясь алгоритмом на доске. Внимательно слушайте соседа.	чётные - нечётные, однозначные - двузначные     Возникла проблемная ситуация: 12 х 8 Не умеем умножать двузначное число на однозначное   Научиться умножать двузначное число на однозначное   Умножение двузначного числа на однозначное   Научиться умножать двузначное число на однозначное, составить алгоритм умножения двузначного числа на однозначное, применять его при решении примеров и задач   10х8=80, 2х8=16, 80+16=96   Создание алгоритма   Умножаю каждое слагаемое на число. Нахожу значение. Измеряю длину отрезка. Заменяю первый множитель суммой разрядных слагаемых. Складываю полученные результаты Представить 16 в виде суммы разрядных слагаемых, умножить каждое слагаемое на 4 и сложить произведения   56, 76
4. Физминутка	А теперь на месте шаг. Выше ноги! Стой, раз, два! (Ходьба на месте.) Плечи выше поднимаем, А потом их опускаем. (Поднимать и опускать плечи.) Руки перед грудью ставим И рывки мы выполняем. (Руки перед грудью, рывки руками.) Десять раз подпрыгнуть нужно, Скачем выше, скачем дружно! (Прыжки на месте.) Мы колени поднимаем — Шаг на месте выполняем. (Ходьба на месте.) От души мы потянулись, (Потягивания — руки вверх и в стороны.) И на место вновь вернулись. (Дети садятся.)
5. Практическая часть	-Работаем в учебнике на с. 8 №1 ( Решение примеров на умножение двузначного числа на однозначное и однозначного числа на двузначное 36*2 24*4 18*35*16 13*3 2*45 ) Посмотрите внимательно на эти столбики. Разделите все выражения на 2 группы. -Найдём значения выражений, пользуясь алгоритмом.   -Прочтите задачу №2 с.8 . Для краткой записи условия задачи нам надо заполнить таблицу. Какие 3 величины мы возьмём в таблицу ? -Что известно в задаче? Что надо узнать? Заполните таблицу. -Кто хорошо разобрался в задаче, может приступать к её решению. - Составим план решения задачи. Можно ли сразу узнать, массу посылок с фруктами? -А что сказано про количество посылок? -Можно ли узнать, сколько было посылок с книгами? -Хорошо. Теперь мы узнали, сколько было посылок с книгами, значит посылок с фруктами было столько же. Можем узнать, сколько было посылок с фруктами? -Кто понял решение задачи, приступайте к решению. «Слабым» раздаю карточки - помощники: 1)□:□=□(п.) 2)□*□=□(кг) «Сильным» ученикам, уже решившим задачу предлагается изменить, вопрос задачи так, чтобы она решалась в 3 действия. -Давайте проверим решение -Проверим, какой новый вопрос придумали ребята к задаче. -Сколько получилось? -Кто составил другой вопрос?	-Масса 1 посылки, количество посылок, общая масса. -Масса 1 посылки с книгами 8 кг, масса 1 посылки с фруктами 6 кг. Общая масса посылок с книгами 32 кг. Количество посылок с книгами и с фруктами одинаковое. Надо узнать общую массу посылок с фруктами. Некоторые дети приступают к работе. С остальными идёт разбор задачи фронтально. -Нет, мы не знаем, сколько посылок с фруктами приняли на почте. -Количество посылок с книгами и с фруктами одинаковое -Да. Надо 32 разделить на 8. -Да. Чтобы узнать массу всех посылок с фруктами, надо массу одной посылки с фруктами умножить на количество посылок. Дети решают задачу. 1)32:8=4 (п.) 2)6*4=24(кг) -Найди массу всех посылок? 3) 32 +24=60 (кг) -На сколько кг масса посылок с книгами больше, чем масса посылок с фруктами? 3) 32-24=8(кг)
6. Рефлексия	- Наш урок подошёл к концу. -Достигли мы поставленной цели? - Ребята, определите, насколько важна та работа, которой мы сегодня занимались? -Как мы можем применить полученные знания в жизни? -Что нового вы узнали? Вы молодцы!

 

Вопрос 4

 

Подготовительная работа

Перед введением приема деления двузначного числа на однозначного необходимо повторить теоритическую основу приема. В данном случае нужно дать задание на повторение разрядного состава числа, правило деления суммы на число, случаи деления круглого числа на однозначное число, табличные случаи деления, сложение в пределах ста. Повторение может проходить в форме выполнения какого-либо упражнения, фронтального опроса, математического диктанта или даже в игровой форме, т.е. форму, в которой будет проходить повторение материала учитель выбирает на свое усмотрение.

Практическое занятие

Тема: «Методика изучения приемов внетабличного умножения и деления.

Приемы деления с остатком».

План.

Вопрос 1

В основе устных приемов внетабличного умножения и деления лежат несколько свойств арифметических действий.

Распределительное свойство умножения

Распределительное свойство умножения изучают в виде двух правил, но при изучении приемов устного внетабличного умножения и деления используется только первое правило.