Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2022-12-20 | 26 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.
II. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Уравнение поперечных колебаний струны.
Физическая интерпретация
А). Распространение волны отклонения
При нулевой начальной скорости из формулы Даламбера получаем
В этом случае колебания представляют собой процесс распространения начального отклонения .
Функция вида в физике называется распространяющейся волной – неизменный профиль перемещается вправо со скоростью . Аналогично функция представляет неизменный профиль , перемещающийся влево со скоростью .
Значит, решение представляет собой сумму двух полуволн: прямой, бегущей вправо со скоростью , и обратной, бегущей влево с той же скоростью. При этом начальная форма обеих волн определяется функцией – половиной начального отклонения .
Рассмотрим фазовую плоскость .
Линии суть характеристики. Функция сохраняет постоянное значение на характеристиках , а функция – на характеристиках .
Предположим, что начальное отклонение отлично от нуля только в промежутке , а вне этого промежутка равно нулю.
Характеристики и представляют собой передний и задний фронты прямой волны, а характеристики и – соответственно передний и задний фронты обратной волны. Эти характеристики разбивают фазовую плоскость на несколько областей. Через область проходит прямая (обратная) волна, а в области взаимодействуют обе волны. В область (и ) до некоторого момента времени еще не дошла прямая (обратная) волна; через область с некоторого момента волны уже прошли и наступил покой.
Б). Распространение волны импульса
При нулевом начальном отклонении колебания вызываются начальной скоростью (или импульсом) и решение задачи Коши можно представить в виде разности обратной и прямой волны:
|
Здесь – первообразная функции .
Например, пусть и тогда
Графики функций и приведены на рисунке.
Начальный импульс Функция – профиль волны
Полуограниченная и ограниченная струна.
Метод продолжения.
Задача о распространении волн на полуограниченной прямой важна при изучении процесса отражения волны от края. Рассмотрим, например, задачу о распространении начального возмущения в струне с закрепленным краем.
Найдем решение уравнения колебаний
удовлетворяющее начальным условиям
и одному из граничных условий (или ).
Непосредственно воспользоваться формулой Даламбера мы не имеем права, т.к. заданные начальные функции и определены только на полупрямой . Для возможности применения решения Даламбера следует продолжить начальные данные влево от . С физической точки зрения это означает, что мы хотим задать такое начальное возмущение бесконечной струны, чтобы колебания ее участка были такими же, как если бы конец был закреплен (или свободен).
В случае закрепления конца (граничное условие ) начальные данные следует продолжить на всю прямую нечетным образом. Тогда из формулы Даламбера при получается
в силу нечетности функций и .
В случае свободного конца (граничное условие ) начальные данные следует продолжить на всю прямую четным образом.
Тогда из формулы Даламбера при получаем
так как производная от четной функции является нечетной.
Например, пусть в задаче для полубесконечной струны с закрепленным краем начальное отклонение отлично от нуля только в промежутке и имеет форму треугольника; начальная скорость равна нулю. Строим нечетное продолжение начального отклонения и смотрим, что происходит на фазовой плоскости (нас интересует реальная струна, то есть область ). На рисунке совмещены фазовая плоскость и плоскость . В заштрихованных полосах отклонение отлично от нуля. Знаки плюс и минус указывают на знак фазы отклонения.
|
Здесь область – процесс отражения обратной волны от закрепленного края, область – отраженная волна (в противофазе).
Чтобы воспользоваться формулой Даламбера для ограниченной струны , продолжаем начальные данные для закрепленных концов нечетным образом влево от и вправо от . Для свободных концов продолжаем начальные данные четным образом.
Задачи для самостоятельного решения
I. Решить следующие уравнения:
1) . Ответ: .
2) . Ответ:
3) . Ответ: .
4) . Ответ: .
5) .
Ответ: .
6) . Ответ: .
7)
Ответ:
II. Пользуясь формулой Даламбера, решить задачи:
1)
Ответ:
2)
Ответ:
III. Решить задачу Коши (найти решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям
1) ,
.
Ответ: .
2) .
Ответ: .
3)
Ответ:
4)
Ответ: .
IV. Применить метод распространяющихся волн для решения задач.
1) Колебания бесконечной струны вызваны начальным отклонением
Начальная скорость и внешняя возмущающая сила равны нулю. Построить профиль струны в момент времени На фазовой плоскости проследить за процессом при изменении от 0 до (вдоль вертикали) и при изменении от до (вдоль горизонтали).
2) Бесконечной струне на отрезке сообщена поперечная начальная скорость , вне этого отрезка начальная скорость равна нулю. Построить профиль струны для моментов времени
3) Полубесконечная струна, закрепленная в конце , возмущена начальным отклонением (см. рис.). Построить профиль струны для моментов времени На фазовой плоскости проследить за процессом.
4) Конечная струна, закрепленная на концах , , возмущена начальным отклонением (см. рис.). Построить профиль струны для моментов времени На фазовой плоскости проследить за процессом.
Задача Штурма – Лиувилля
А). Постановка задачи
Применение метода Фурье к решению задач математической физики (уравнений любого из трех типов) приводит к краевым задачам для обыкновенного линейного дифференциального однородного уравнения второго порядка, содержащего параметр. С нулевыми граничными условиями такие задачи, как правило, при любом значении параметра имеют тождественно равное нулю решение. Но при некоторых значениях параметра возможны и нетривиальные решения. В этих задачах требуется найти такие значения параметра, при которых существует отличное от нуля решение однородного уравнения, удовлетворяющее на концах отрезка однородным граничным условиям.
|
Сформулируем задачу Штурма-Лиувилля (Ш. – Л.):
Найти значения параметра при которых уравнение
(1)
имеет нетривиальные решения удовлетворяющие однородным краевым условиям
, (2)
и найти эти решения.
Б). Нахождение собственных значений и собственных функций.
Пусть выполнены условия регулярности: при Предполагается, что решение задачи Значение параметра при котором существует нетривиальное решение задачи Ш. – Л., называется собственным значением, а соответствующее нетривиальное решение собственной функцией.
При сделанных предположениях существует фундаментальная система решений , уравнения (1). Общее решение этого уравнения имеет вид
(3)
Здесь – произвольные постоянные. Так как нас интересуют только нетривиальные решения, то должно быть .
Подставим функцию (3) в краевые условия (2):
Получим алгебраическую линейную однородную систему относительно и :
(4)
Однородная система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю:
(5)
Значит, те значения , при которых условия (2) будут выполняться, являются корнями уравнения (5). Иначе: корни этого уравнения суть собственные значения задачи Ш. – Л. (1) – (2). Если уравнение (1) записать в виде , то совокупность собственных значений – это спектр линейного оператора .
Пусть корень уравнения (5), тогда имеем ненулевое решение системы (4) , , свободное неизвестное. Соответствующие собственные функции определяем по формуле (3) при :
Собственные (спектральные) функции определены с точностью до постоянного множителя .
В) Свойства собственных значений и собственных функций.
Свойство 1. Краевая задача (1) – (2) имеет счетное множество собственных значений и все они вещественны. Если собственные значения рассматривать в порядке возрастания: , то .
|
Свойство 2. Все собственные значения задачи Штурма – Лиувилля (1) – (2) простые, то есть каждому собственному значению соответствует одна собственная функция.
Свойство 3. Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны на , то есть удовлетворяют равенству
.
Свойство 4. Если краевые условия таковы, что
,
то все собственные числа задачи (1) – (2) неотрицательны.
Свойство 5. (Теорема Стеклова). Пусть функция и удовлетворяет на концах отрезка условиям (2). Тогда разлагается в равномерно и абсолютно сходящийся при ряд Фурье по собственным функциям краевой задачи (1) – (2)
,
где коэффициенты Фурье, определяемые по формуле:
Задача 1. Найти собственные значения и собственные функции задачи Ш. – Л.
,
, .
Решение. Ищем решение уравнения в виде . Запишем характеристическое уравнение: .
1. Пусть , тогда корни характеристического уравнения действительны и различны: . Фундаментальная система решений , . Общее решение уравнения имеет вид:
,
где и произвольные постоянные. Используя заданные краевые условия, получим систему для определения , :
Определитель этой системы Значит, система имеет единственное решение . Поэтому в случае данная задача собственных значений и собственных функций не имеет.
2. Пусть . Тогда оба корня характеристического уравнения равны нулю Фундаментальная система решений , . Общее решение уравнения – линейная функция . Подставляя краевые условия, получим , . Значит, не является собственным значением рассматриваемой задачи Ш. – Л.
3. Пусть . Корни характеристического уравнения мнимые: . Фундаментальная система решений , . Общее решение уравнения
.
Определим , из краевых условий. При (на левом конце) . При (на правом конце) получаем . Нас интересует нетривиальное решение, то есть , поэтому . Тогда должен быть равен нулю второй множитель
Итак, собственные значения, тогда решения собственные функции данной задачи Ш. – Л. ●
Замечание. Иногда в уравнении удобнее вместо брать . Тогдасобственные значения задачи 1 можно записать в виде
Задача 2. Найти собственные значения и собственные функции задачи Штурма – Лиувилля
Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни
1. Пусть , то есть . Тогда корни характеристического уравнения действительны и различны. Общее решение уравнения имеет вид
Краевые условия приводят к системе для определения , :
Определитель этой системы
Тривиальное решение является единственным. Значит, задача в случае не имеет собственных значений и собственных функций.
|
2. Пусть . У характеристического уравнения кратные корни . Общее решение Из краевых условий получим систему
Отсюда , так как по условию . Значит, не является собственным значением.
3. Пусть , то есть . Характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни Общее решение уравнения
Из краевых условий получаем
Случай дает тривиальное решение, то есть нас не интересует. Выясним, при каком значении может обращаться в нуль выражение в скобках
Приходим к уравнению
Обозначим , тогда уравнение для определения собственных значений запишется так:
Это трансцендентное уравнение, которое можно решить, например, графически. Обозначим последовательные положительные корни этого уравнения Тогда и , собственные значения, а , собственные функции этой задачи. ●
Задача 3. Найти собственные значения и собственные функции задачи Штурма – Лиувилля:
Решение. Запишем характеристическое уравнение
1. Пусть Тогда корни характеристического уравнения действительны и различны: Общее решение уравнения
Краевые условия приводят к системе
Определитель этой системы
Система имеет единственное решение , поэтому в случае задача Ш. – Л. не имеет собственных значений и собственных функций.
2. Пусть . Корни характеристического уравнения . Тогда
.
Из краевых условий находим , тогда решение имеет вид Таким образом, собственное значение, собственная функция рассматриваемой задачи Ш. – Л.
3. Пусть . Корни характеристического уравнения . Тогда
Вычислим значения производной на концах отрезка
Используя краевые условия, получим систему для и :
Определитель системы
Найдем те значения , при которых определитель равен нулю.
.
Собственные значения задачи . Подставляя найденные в первое (например) уравнение системы, находим
.
Из общего решения получаем собственные функции
Итак, рассматриваемая задача Ш. – Л. имеет собственные значения (подключили сюда ) и собственные функции
,
В частности, если , собственные значения и собственные функции выглядят так:
:
: ●
Задачи для самостоятельного решения
a)
b)
c)
Закрепленной на концах
Метод Фурье (метод разделения переменных) является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Подробное изложение метода проведем для задачи о свободных колебаниях струны, концы которой закреплены.
Задача сводится к решению однородного уравнения
(1)
при начальных условиях
(2)
и краевых условиях
(3)
Метод разделения переменных (метод Фурье) состоит в том, что сначала решается основная вспомогательная задача. А именно, разыскиваются нетривиальные решения однородного уравнения (1), удовлетворяющие однородным краевым условиям (3), в виде
(4)
Дифференцируем функцию (4) дважды по и по :
и подставляем эти производные в уравнение(1):
Переменные разделяются:
(5)
Так как функция (4) – предполагаемое решение уравнения (1), равенство (5) должно выполняться тождественно в области . Но правая часть равенства (5) не зависит от , а левая – от , поэтому в обеих частях равенства (5) должна быть постоянная величина, которую обозначим .
(6)
Отсюда следует, что функции и суть решения обыкновенных дифференциальных уравнений:
Займемся сначала функцией . Из граничных условий (3) и представления (4) следует: для всех .
Так как (ищем нетривиальные решения!), то должно быть и . Получили к краевую задачу для функции :
(7)
(8)
Пришли к задаче Штурма – Лиувилля: требуется найти такие значения параметра (собственные значения), при которых задача (7) – (8) имеет нетривиальные решения, и найти эти решения (собственные функции).
Выше (см. замечание к задаче 1 п.1) было показано, что вместо постоянной можно взять . В той же задача 1 были найдены собственные значения и собственные функции
Как и должно быть, полученные собственные функции ортогональны на , то есть
при
Теперь следует отыскать функцию . Функция , соответствующая собственному значению , удовлетворяет уравнению
общее решение которого имеет вид:
Подставляя найденные функции и в формулу (4), получим множество решений уравнения (1), удовлетворяющих краевым условиям (3):
(9)
Здесь введены обозначения
Решения (9) называются собственными функциями задачи (1), (3); соответствующие им колебания струны – собственными колебаниями.
Переходим к заключительной части метода Фурье: при помощи собственных функций (9) построить решение, удовлетворяющее начальным условиям (2). Для этого составим ряд:
(10)
Осталось подобрать произвольные постоянные и так, чтобы удовлетворить начальным условиям (2). При из соотношения (10) легко получить
(11)
Для второго начального условия дифференцируем ряд (10) по :
и подставляем :
(12)
Формулы (11) и (12) означают, что числа и являются коэффициентами разложения начальных функций и в ряд Фурье по синусам на отрезке , то есть
(13)
Таким образом, при реализации метода Фурье для задачи (1), (2), (3) надо разложить начальные данные и в ряд Фурье по синусам на .
Подставив найденные , , в ряд (10), получим формально решение задачи. Для того чтобы сумма ряда (10) была решением задачи (1), (2), (3), функции и
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!