Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
 2022-12-20 |
 31 |
из
5.00
|
Заказать работу |
|
|
|
|
Разрабатывая теорию элементарных функций комплексной переменной Леонард Эйлер ввел комплексную переменную в качестве наиболее общего понятия переменной величины. Им в 1748 г. была получена замечательная формула, впоследствии носящая его имя, которая устанавливает связь показательной комплексной функции с тригонометрическими функциями
, 
. (2.24)
Так как модуль 
, то при непрерывном изменении 
точка 
описывает на комплексной плоскости окружность радиуса 
с центром в начале координат. С помощью этой формулы можно возводить число е (основание натуральных логарифмов) в любую комплексную степень.
Справедливы равенства:
, 
, 
. (2.25)
Для произвольной комплексной переменной 
функция
. (2.26)
Используя формулу Эйлера (2.24) и тригонометрическую форму комплексного числа 
(2.13) можно записать равенство 
и получить показательную форму комплексного числа:
. (2.27)
Показательную форму комплексного числа целесообразно использовать при умножении, делении, возведении в степень.
Если 
и 
, то справедливы формулы:
(2.28)
2.6. Условие заданий 1 и 2. Решение типового варианта
Задание 1. Даны два комплексных числа 
и 
, например,
и 
.
1) Найти действительную (Re z) и мнимую (Jmz) части комплексных чисел и ; построить и на комплексной плоскости.
2) Найти 
, 
, 
, 
. Записать числа и в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.
3) Вычислить 
, 
, используя алгебраическую форму записи чисел.
|
|
4) Вычислить 
и 
в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.
5) Найти 
, используя тригонометрическую форму записи числа.
6) Найти все значения корней 
, выразить их в алгебраической форме. Построить значения корней на комплексной плоскости.
Решение. Оба рассмотренных выше комплексных числа и не представлены в одной из общеприняты форм. Используя формулу (2.4) выразим их в алгебраической форме.
1) 
.
Следовательно, 
, 
.
,
, 
.
2) Изобразим и на комплексной плоскости 
, рис. 5.
Найдем модули комплексных чисел и :
,
.
Рис. 5
Из рис. 5 видно, что находится в III четверти, а - во II-ой.
По определению из (2.12) имеем
,
или 
.
Найдем .
.
Запишем числа в тригонометрической форме:
,
;
в показательной форме:
,
.
3) Запишем и в алгебраической форме:
,
.
4) Вычислим и в алгебраической форме:
,
;
в тригонометрической форме:
,
;
в показательной форме:
,
.
5) Найдем , используя тригонометрическую форму записи числа:
.
6) Найдем все значения , используя тригонометрическую форму, и установим их значения в алгебраической форме. Для этого воспользуемся формулой (2.23).
В нашем случае 
; 
; 
; 
; 
.
Получим значения
, 
,
, 
,
, 
,
, 
.
Строим корни на комплексной плоскости, рис. 6.
Рис. 6
Итак, корень 4-й степени из комплексного числа имеет 4 различных значения, которые располагаются в вершинах правильного 4-х угольника, вписанного в окружность радиусом 
с центром в точке 
.
Варианты задания 1
Вариант 1.
а) 
б) 
Вариант 2.
а) 
б) 
Вариант 3.
а) 
б) 
Вариант 4.
а) 
б) 
Вариант 5.
а) 
б) 
|
|
Вариант 6.
а) 
б) 
Вариант 7.
а) 
б) 
Вариант 8.
а) 
б) 
Вариант 9.
а) 
б)
Вариант 10.
а) 
б) 
Вариант 11.
а) 
б) 
Вариант 12.
а) 
б)
Вариант 13.
а) 
б)
Вариант 14.
а) 
б)
Вариант 15.
а) 
б) 
Вариант 16.
а) 
б) 
Вариант 17.
а) 
б) 
Вариант 18.
а) 
б) 
Вариант 19.
а) 
б)
Вариант 20.
а) 
б) 
Вариант 21.
а) 
б) 
Вариант 22.
а) 
б) 
Вариант 23.
а) б)
Вариант 24.
а) 
б) 
Вариант 25.
а) 
б) 
Вариант 26.
а) 
б) 
Вариант 27.
а) б) 
Вариант 28.
а) 
б) 
Вариант 29.
а) 
б) 
|
|
Вариант 30.
а) 
б) 
Задание 2. Вычислить значения приведенных выражений а); б).
Пример: 
Вариант 1. Вариант 2. Вариант 3.
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
Вариант 4. Вариант 5. Вариант 6.
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
Вариант 7. Вариант 8. Вариант 9.
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
Вариант 10. Вариант 11. Вариант 12.
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
Вариант 13. Вариант 14. Вариант 15.
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
Вариант 16. Вариант 17. Вариант 18.
а) 
а) а) 
б) 
б) 
б) 
Вариант 19. Вариант 20. Вариант 21.
а) а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
|
|
Вариант 22. Вариант 23. Вариант 24.
а) а) 
а) 
б) б) 
б) 
Вариант 25. Вариант 26. Вариант 27.
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
Вариант 28. Вариант 29. Вариант 30.
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
Задание 3.
Найти корни приведенных выражений а); б).
Пример: а) 
; б) 
;
1) Решение: 
, 
.
,
.
Ответ: ;
2) Решение: 
,
Запишем число 
в тригонометрической форме:
Тогда 
,
,
,
,
Вариант 1 Вариант 2
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 3 Вариант 4
а) 
б) 
а) 
б)
Вариант 5 Вариант 6
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 7 Вариант 8
а) 
б) а) 
б) 
Вариант 9 Вариант 10
а) б) 
а) 
б) 
Вариант 11 Вариант 12
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 13 Вариант 14
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 15 Вариант 16
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 17 Вариант 18
а) 
б) 
а) 
б) 
|
|
Вариант 19 Вариант 20
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 21 Вариант 22
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 23 Вариант 24
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 25 Вариант 26
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 27 Вариант 28
а) 
б) 
а) 
б) 
Вариант 29 Вариант 30
а) 
б) 
а) 
б) 
Библиографический список
1. Рыбников К.А История математики. – М.: Издательство МГУ, 1994. -496 с.
2. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. – М.: Просвещение, 1975 - 158 с.
3. Жевержеев В.Ф., Кальницкий Л.А., Сапогов Н.А. Специальный курс высшей математики для вузов. – М.: Высшая школа, 1970 – 416 с.
4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Наука, 1984 – 432 с.
5. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989 – 656 с.
6. Мантуров О.В. Курс высшей математики. – М.: Высшая школа, 1996 – 448 с.
7. Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Ч. 2 – Мн.: Высшая школа, 1991. – 352 с.
|
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!