История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2022-12-20 | 35 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Системе координат
Всякое комплексное число удобно изображать точкой на комплексной плоскости (рис. 1). Оси и прямоугольной декартовой системы координат на этой плоскости называются соответственно действительной и мнимой осями. Между точками плоскости и изображенными на ней комплексными числами существует взаимно однозначное соответствие.
Одновременно с этим каждая точка плоскости определяет вектор с началом в начале системы координат и концом в этой точке, проекции которого на оси координат будут соответственно х и y. Длина (модуль) этого вектора
. (2.8)
Действительные числа изображаются на комплексной плоскости точками (х, о) оси или векторами, параллельными этой оси, а число будет являться единичным вектором оси .
Действительные числа изображаются на комплексной плоскости точками (х, 0) оси или векторами, параллельными этой оси, а число будет являться единичным вектором оси .
Чисто мнимым числам будут соответствовать точки оси или векторы, параллельные этой оси. Число изображается точкой (0, 1) мнимой оси и одновременно являться единичным вектором оси . Любая пара комплексно-сопряженных чисел z и на комплексной плоскости изображается векторами и , симметричными действительной оси (рис. 1).
Векторы являются свободными векторами, поэтому их начало можно совмещать с любой точкой комплексной плоскости путем параллельного переноса. Сложение и вычитание комплексных чисел можно рассматривать как сложение и вычитание соответствующих векторов, совмещая их начало с точкой О (рис. 2).
Рис. 1 Рис. 2
|
С помощью комплексных чисел можно задавать различные множества точек комплексной плоскости , что используется при анализе различных функций комплексной переменной и графическом изображении области их определения.
Полярная система координат. Тригонометрическая формула
Комплексного числа
Совместим начало координат системы xOy с полюсом т. О и ось Ох с полярной осью p (рис.1) Введем в рассмотрение длину | z | вектора z { x, y } и угол φ, образованный вектором z с положительным направлением оси Ох. Этот угол называется аргументом комплексного числа и обозначается . Угол , если отсчет его производится против направления движения часовой стрелки, и , если по часовой стрелке. Очевидно, что для всякого комплексного числа справедливы формулы:
; ;
; ; ; (2.9)
где , .
При этом необходимо учитывать, что для любого комплексного числа его аргумент А rgz при может иметь бесконечное множество значений, отличающихся одно от другого на слагаемое кратное . Поэтому условия равенства комплексных чисел заключается в том, что длины (модули) должны быть равны, а аргументы φ могут отличаться на величины, кратные .
Из множества значений Argz для практических расчетов выделяют одно, лежащее в интервале ,которое обозначают а rgz. Оно называется главным значением аргумента комплексного числа:
или . (2.10)
Очевидно , где . (2.11)
Для нахождения главного аргумента комплексного числа удобно использовать следующие формулы:
для точек z первой и второй четверти
комплексной плоскости,
для точек второй четверти, (2.12)
для точек третьей четверти.
Числа и углы является полярными координатами точки z, т.е. .
Используя алгебраическую форму и формулы (2.9) получим тригонометрическую форму комплексного числа
|
. (2.13)
В тригонометрическом виде комплексно-сопряженное число , т.к. , выражается формулой
(2.14)
Пример. Изобразить комплексные числа и на комплексной плоскости и записать их в тригонометрической форме.
Решение. Оба числа представлены в алгебраической форме. Изобразим эти числа на комплексной плоскости и определим сначала модули и и главные аргументы и (рис. 3).
Рис. 3
1. , .
Число или его вектор находятся в III четверти. Используя формулу (2.12) для этой четверти, имеем
, или .
Если воспользоваться положительным значением угла , показанным на рис. 3, тогда или . Тригонометрическая форма числа принимает вид:
или .
Подставив в последние формулы значения и , придем к исходной алгебраической форме этого числа .
2. , .
Число и его вектор находятся во II четверти. На основании формулы (2.12) получим
рад, или ;
или .
|
|
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!