Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2022-12-20 | 38 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Комплексные числа
Методические указания и индивидуальные задания по разделу «Комплексные числа» для студентов всех специальностей
очной формы обучения
Самара 2007
УДК 517
Высшая математика: методические указания и индивидуальные задания по разделу «Комплексные числа» для студентов всех специальностей очной формы обучения / составители: В.А. Паняев, Н.М. Латыпова. – Самара: СамГАПС, 2007. – 24 с.
Утверждено на заседание кафедры 03.10.2006, протокол №2.
Печатается по решению редакционно-издательского совета академии.
Методические указания и индивидуальные задания составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом и действующей программой по высшей математике для технических вузов.
Составители: к.т.н., доцент В.А. Паняев
к.ф.-м.н., доцент Н.М. Латыпова
Рецензенты: к.т.н., доцент СГАУ В.В. Максимов
к.ф.-м.н., доцент СамГАПС В.Л. Шур
Под редакцией составителей
Подписано в печать 19.04.2007. Формат 60 84 1/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. п. л. 1,5.
Тираж 150 экз. Заказ № 68.
© Самарская государственная академия путей сообщения, 2007
Комплексные числа
Геометрическое изображение комплексных чисел в декартовой
Системе координат
Всякое комплексное число удобно изображать точкой на комплексной плоскости (рис. 1). Оси и прямоугольной декартовой системы координат на этой плоскости называются соответственно действительной и мнимой осями. Между точками плоскости и изображенными на ней комплексными числами существует взаимно однозначное соответствие.
|
Одновременно с этим каждая точка плоскости определяет вектор с началом в начале системы координат и концом в этой точке, проекции которого на оси координат будут соответственно х и y. Длина (модуль) этого вектора
. (2.8)
Действительные числа изображаются на комплексной плоскости точками (х, о) оси или векторами, параллельными этой оси, а число будет являться единичным вектором оси .
Действительные числа изображаются на комплексной плоскости точками (х, 0) оси или векторами, параллельными этой оси, а число будет являться единичным вектором оси .
Чисто мнимым числам будут соответствовать точки оси или векторы, параллельные этой оси. Число изображается точкой (0, 1) мнимой оси и одновременно являться единичным вектором оси . Любая пара комплексно-сопряженных чисел z и на комплексной плоскости изображается векторами и , симметричными действительной оси (рис. 1).
Векторы являются свободными векторами, поэтому их начало можно совмещать с любой точкой комплексной плоскости путем параллельного переноса. Сложение и вычитание комплексных чисел можно рассматривать как сложение и вычитание соответствующих векторов, совмещая их начало с точкой О (рис. 2).
Рис. 1 Рис. 2
С помощью комплексных чисел можно задавать различные множества точек комплексной плоскости , что используется при анализе различных функций комплексной переменной и графическом изображении области их определения.
Комплексного числа
Совместим начало координат системы xOy с полюсом т. О и ось Ох с полярной осью p (рис.1) Введем в рассмотрение длину | z | вектора z { x, y } и угол φ, образованный вектором z с положительным направлением оси Ох. Этот угол называется аргументом комплексного числа и обозначается . Угол , если отсчет его производится против направления движения часовой стрелки, и , если по часовой стрелке. Очевидно, что для всякого комплексного числа справедливы формулы:
|
; ;
; ; ; (2.9)
где , .
При этом необходимо учитывать, что для любого комплексного числа его аргумент А rgz при может иметь бесконечное множество значений, отличающихся одно от другого на слагаемое кратное . Поэтому условия равенства комплексных чисел заключается в том, что длины (модули) должны быть равны, а аргументы φ могут отличаться на величины, кратные .
Из множества значений Argz для практических расчетов выделяют одно, лежащее в интервале ,которое обозначают а rgz. Оно называется главным значением аргумента комплексного числа:
или . (2.10)
Очевидно , где . (2.11)
Для нахождения главного аргумента комплексного числа удобно использовать следующие формулы:
для точек z первой и второй четверти
комплексной плоскости,
для точек второй четверти, (2.12)
для точек третьей четверти.
Числа и углы является полярными координатами точки z, т.е. .
Используя алгебраическую форму и формулы (2.9) получим тригонометрическую форму комплексного числа
. (2.13)
В тригонометрическом виде комплексно-сопряженное число , т.к. , выражается формулой
(2.14)
Пример. Изобразить комплексные числа и на комплексной плоскости и записать их в тригонометрической форме.
Решение. Оба числа представлены в алгебраической форме. Изобразим эти числа на комплексной плоскости и определим сначала модули и и главные аргументы и (рис. 3).
Рис. 3
1. , .
Число или его вектор находятся в III четверти. Используя формулу (2.12) для этой четверти, имеем
, или .
Если воспользоваться положительным значением угла , показанным на рис. 3, тогда или . Тригонометрическая форма числа принимает вид:
или .
Подставив в последние формулы значения и , придем к исходной алгебраической форме этого числа .
2. , .
Число и его вектор находятся во II четверти. На основании формулы (2.12) получим
|
рад, или ;
или .
Формула Муавра
Использование комплексных чисел в тригонометрической форме удобно при выполнении над ними действий умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.
Умножение и деление
Пусть , .
Тогда .
Используя известные формулы и , окончательно получим:
. (2.15)
Доказано для любого числа сомножителей: при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме достаточно перемножить их модули, а аргументы сложить.
Так как , то подставляя в это выражение , и в тригонометрической форме и проводя соответствующие преобразования получим:
.
Формула принимает вид
. (2.16)
Для выполнения деления двух комплексных чисел в тригонометрической форме следует их модули разделить, а аргументы вычесть.
2.4.2. Возведение в натуральную степень n
Используем равенство (2.15) для возведения произвольного комплексного числа в натуральную степень n, принимая во внимание, что . (n раз).
Получим . (2.17)
Равенство (2.17) называется формулой Муавра (1707 г.)
Из формулы Муавра следует, что для возведения комплексного числа в любую натуральную степень необходимо его модуль возвести в эту степень, а аргумент умножить на показатель степени.
При формула (2.16) принимает вид
. (2.18)
Замечание. Если комплексное число задано в алгебраической форме, для возведения его в степень по формуле Муавра необходимо предварительно записать число в тригонометрической форме, найдя модуль и главный аргумент .
Библиографический список
1. Рыбников К.А История математики. – М.: Издательство МГУ, 1994. -496 с.
2. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. – М.: Просвещение, 1975 - 158 с.
3. Жевержеев В.Ф., Кальницкий Л.А., Сапогов Н.А. Специальный курс высшей математики для вузов. – М.: Высшая школа, 1970 – 416 с.
4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Наука, 1984 – 432 с.
5. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989 – 656 с.
|
6. Мантуров О.В. Курс высшей математики. – М.: Высшая школа, 1996 – 448 с.
7. Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Ч. 2 – Мн.: Высшая школа, 1991. – 352 с.
Комплексные числа
Методические указания и индивидуальные задания по разделу «Комплексные числа» для студентов всех специальностей
очной формы обучения
Самара 2007
УДК 517
Высшая математика: методические указания и индивидуальные задания по разделу «Комплексные числа» для студентов всех специальностей очной формы обучения / составители: В.А. Паняев, Н.М. Латыпова. – Самара: СамГАПС, 2007. – 24 с.
Утверждено на заседание кафедры 03.10.2006, протокол №2.
Печатается по решению редакционно-издательского совета академии.
Методические указания и индивидуальные задания составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом и действующей программой по высшей математике для технических вузов.
Составители: к.т.н., доцент В.А. Паняев
к.ф.-м.н., доцент Н.М. Латыпова
Рецензенты: к.т.н., доцент СГАУ В.В. Максимов
к.ф.-м.н., доцент СамГАПС В.Л. Шур
Под редакцией составителей
Подписано в печать 19.04.2007. Формат 60 84 1/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. п. л. 1,5.
Тираж 150 экз. Заказ № 68.
© Самарская государственная академия путей сообщения, 2007
Комплексные числа
Числовые множества и комплексные числа
История введения в математику понятия комплексного числа отражает общую тенденцию развития математических исчислений, когда использование новых математических операций приводило к необходимости расширения числовой области.
Понятие числа, являясь первичным и основным в математике, прошло, как известно, длительный путь исторического развития.
Множество натуральных чисел появилось в связи с необходимостью проводить счет (сложение и умножение) реальных предметов. Потребности практики и развитие математики привели к необходимости введения обратных операций – вычитания, деления и извлечения корня. Натуральный ряд был дополнен противоположными натуральным по значению отрицательными числами и нулем, что привело к возникновению множества целых чисел , затем рациональных , , и иррациональных . Последние были введены в связи с необходимостью измерения отрезков, длина которых не является рациональным числом.
Операция извлечения корня явилась причиной введения общего понятия действительного числа. Как известно, множества рациональных и иррациональных чисел в совокупности образуют упорядоченное множество действительных чисел , где , т.е. , и изображают точками непрерывной числовой оси . С их помощью можно выразить длину любого реального отрезка.
|
Для рассмотренных числовых множеств имеет место такое последовательное включение:
Понятие комплексного числа z представляет расширение понятия действительных чисел, которые можно рассматривать как некоторое подмножество в множестве комплексных чисел , т.е.
Исторически комплексные числа z обязаны своим возникновением попыткам найти решение алгебраических уравнений. Частные случай, связанный с необходимостью извлечения квадратного корня или корня четной степени из отрицательного числа привел к необходимости введения мнимых чисел, в отличие от действительных, и появлению множества комплексных чисел .
В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Рассмотрим решение простейшего кубического уравнения :
(1.1)
Чтобы объяснить парадокс – извлечение квадратного корня из отрицательного числа, итальянский ученый-алгебраист эпохи Возрождения Джироламо Кардано в 1545 г. предложил ввести в математические операции числа новой природы, назвав их «чисто отрицательными», однако считая их бесполезными для приложений. В 1572 г. итальянский алгебраист Раффаэле Бомбелли установил первые арифметические операции над такими числами.
Название «мнимые числа» ввел в 1637 г. французский математик и философ Рэне Декарт. В 1777 г. один из крупнейших математиков XVIII века Леонард Эйлер для обозначения предложил использовать первую букву французского слова (мнимый, воображаемый, несуществующий), т.е. ввести обозначение в структуру комплексных чисел. Тогда корни z2,3 выше приведенного кубического уравнения записываются в виде
(1.2)
т.е. в алгебраической форме комплексное число принимает вид , где a и b – действительные числа, мнимая единица.
Общая теория корней n -й степени из отрицательных и любых комплексных чисел основана на формуле английского математика французского происхождения Абрахама де Муавра, и была построена на рубеже XVII – XVIII веков.
В конце XVIII – начале XIX века было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Независимо друг от друга датчанин Каспар Вессель, француз Жан Аргон и крупнейший немецкий математик Карл Гаусс предложил изображать комплексное число точкой М(а, b) на координатной комплексной плоскости. Позднее пришли к выводу, что такое число удобнее изображать не самой точкой, а радиусом-вектором , проведенным в точку М из начала координат, что позволило рассматривать операции сложения и вычитания комплексных чисел как операции над соответствующими векторами.
Геометрический подход к изображению комплексных чисел и накопленные знания об их свойствах создали предпосылки для разработки теории функций комплексной переменной. Комплексные числа в настоящее время находят широкое применение в различных областях науки и техники: при расчетах электрических цепей, решении обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений математической физики, при изучении течения жидкостей и газа (аэро и гидродинамика), решении задач теории упругости, проблем квантовой теории поля и многих других задач.
2. Различные формы представления комплексных чисел и операции над ними
Для каждого комплексного числа возможны три формы его представления: алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы. В зависимости от конкретного случая и проводимых операций над комплексными числами используется та или иная форма. При необходимости всегда возможен переход из одной формы комплексного числа в другую.
Рассмотрим каждую из этих форм отдельно.
2.1. Алгебраическая форма комплексного числа. Рациональные действия над комплексными числами
Множество, состоящее из выражений вида
, (2.1)
где , а - действительные числа, называется множеством комплексных чисел, представленных в алгебраической форме*.
Числа х и y называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа и обозначаются , ; - мнимая единица (i 2= -1).
При комплексное число совпадает с действительным числом х; если , то имеем комплексное число , которое называется чисто мнимым. Отождествляя комплексные числа вида с действительными числами х, убеждаемся в том, что действительные числа являются частным случаем комплексных чисел z (подмножеством множества комплексных чисел , т.е. )
Два комплексных числа и считаются равными только в том случае, если их действительные и мнимые части соответственно равны:
, если и .
В противном случае . Отношений для комплексных чисел не существует.
Комплексное число равно нулю только в том случае, если равны нулю его действительная и мнимая части:
, если и .
Числа вида и , являющиеся корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом (, см. решение кубического уравнения ), называются комплексно-сопряженными числами.
* Общепринятой является u форма записи комплексного числа , где a и b – действительные числа, о чем говорилось ранее.
Операции сложения, вычитания, умножения и деления над комплексными числами и производятся как над алгебраическими двучленами, принимая во внимание, что :
1) ; (2.2)
2) . (2.3)
3) При делении комплексных чисел «уничтожается мнимость в знаменателе», для чего умножают числитель и знаменатель на число, комплексно-сопряженное знаменателю:
, где , (2.4)
или . (2.5)
Рассмотренные операции над комплексными числами обладают всеми свойствами соответствующих операций над действительными числами.
4) Сумма и произведение комплексно-сопряженных чисел и есть всегда действительное число, в чем нетрудно убедиться:
(2.6)
5) Для комплексных чисел остаются верными также алгебраические формулы сокращенного умножения:
(2.7)
Примеры.
1. .
2. .
|
|
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!